积分中值定理的推广及应用张艳丽.pdf

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1、-积分中值定理的推广及应用 张艳丽 德州学院 2010 级信息与计算科学 摘要 论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理,而且还给出了这些定理的详细证明过程。在积分中值定理的推广方面,我们由最初的在闭区间,a b讨论函数()f x的积分中值定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小,证

2、明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。关键词 积分中值定理；推广；应用 积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用,在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。1、积分中值定理的证明.1 定积分中值定理 定理(定积分中值定理):如果函数()f x在闭区间,a b上连续,则在区间,a b上至少存在一个点，使下式()()(),()baf x dxfbaab 成立。证明：因为(x)在a，上连续，所以 f（）在a,b上有最大值 M和最小值,即()mf xM，我们对不等式进行积

3、可得 ()bbbaaamdxf x dxMdx 由积分性质可知 ()()()bam baf x dxM ba-由于0ba，对不等式同时除以ba可得 1()bamf x dx Mba。此式表明1()baf x dxba介于函数()f x的最大值M和最小值m之间。由闭区间上连续函数的介值定理,在闭区间,a b上至少存在一点，使得函数()f x在点处的值与这个数相等,即应该有 1()()baf x dxfba，成立,将上式两端乘以ba即可得到 ()()(),()baf x dxfbaab,命题得证。备注 1:很显然，积分中值定理中公式 ()()()baf x dxfba(在a与b之间）不论ab或ab

4、都是成立的。.2 积分第一中值定理 定理(第一积分中值定理）：如果函数()f x在闭区间,a b上连续,()g x在(,)a b上不变号，并且()g x在,a b上是可积的，则在,a b上至少存在一点,使得()()()(),()bbaaf x g x dxfg x dxab 成立。-证明：由于()g x在,a b上不变号，我们不妨假设()0g x,并且记()f x在,a b上的最大值和最小值为M和m,即()mf xM，将不等式两边同乘以()g x可知，此时对于任意的,xa b都有()()()()mg xf x g xMg x 成立。对上式在,a b上进行积分,可得()()()()bbbaaam

5、g x dxf x g x dx Mg x dx。此时在,m M之间必存在数值,使得mM,即有()()()bbaaf x g x dxg x dx 成立。由于()f x在区间,a b上是连续的,则在,a b上必定存在一点，使()f成立。此时即可得到()()()()bbaaf x g x dxfg x dx，命题得证。1.3 积分第二中值定理 定理(积分第二中值定理）：如果函数()f x在闭区间,a b上可积，而()g x在区间(,)a b上单调,则在,a b上至少存在一点，使下式成立()()()()()()bbaaf x g x dxg af x dxg bf x dx(-2）特别地，如果()

6、g x在区间(,)a b上单调上升且()0g a ，那么存在，使下式成立()()()()bbaf x g x dxg bf x dx （2-3）如果()g x在区间(,)a b上单调下降且()0g b,那么存在,使下式成立()()()()baaf x g x dx g af x dx (2-）-证明：由题设条件知(),()f xg x在区间,a b上都是可积的,由积分性质可知()()f xg x也是可积的。我们先证明（3)式，即在()g x非负、且在区间(,)a b上单调上升的情形下加以证明。对于（-4）式证明是类似的,最后我们再将其推导到一般情形,即可证明（-2)式。在区间,a b上取一系列

7、分点使011iinaxxxxxb，记1iiixxx，其中i为()g x在ix上的幅度，即11sup ()inf ()iiiiixxxxg xg x,再将所讨论的积分作如下改变:将积分限等分为如下n等份，并且记 11()()()iinxixif x g xg xdx,11()()iinxixig xf x dx。则11()()()()iinbxaxif x g x dxf x g x dx 1111()()()()()iiiinnxxiixxiig xf x dxf x g xg xdx，因为()f x在,a b上可积,且区间,a b是有限的，所以()f x在,a b上有界，此时我们不妨假设()

8、f xL。估计如下:11()()()iinxixif x g xg xdx 11()()()iinxixif xg xg xdx 11()()()iinxiixif xg xg xdx111iinnxiiixiiLdxLx 由于()g x可积，所以当max0ix时,有10niiix，从而有0lim0,从而可知000()()lim()limlimbaf x g x dx 1001limlim()()iinxixig xf x dx-我们记()()bxF xf x dx,由于函数()f x在闭区间,a b上可积，那么函数()F x是,a b上的连续函数,并且有最大值和最小值M和m，记为()imF

9、xM，很显然11()()()iixiixf x dxF xF x，0()()0F xF b,从而 11()()iinxixig xf x dx11()()()niiiig xF xF x 111()()()()nniiiiiig x F xg x F x 110121()()()()()()nniiiiiig x F xg x F xg x F x 11011()()()()()niiiig x F xg xg xF x 因为()g x是非负的，并且在区间(,)a b上单调上升，即有10()()()0g xg xg a、1()()0iig xg x成立，所以有下式成立 11111111()()

10、()()()()nniiiiiim g xg xg xM g xg xg x。即有 ()()mg bMg b成立。从而可以得到lim()g b，其中满足mM。由于函数()F x连续，则在,a b之间存在一点，使()()bFf x dx成立，从而有公式(23）成立,即()()()()bbaf x g x dxg bf x dx成立，(-3)式得证。对于()g x单调下降且()0g b 的情形即公式(2-4)的证明过程是类似的，证明略。对于()g x是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()xg xg a,其中为单调上升且()0a，此时公式（2）对于()x是成立的，即存在使()()()()()

11、()bbaf xg xg a dxg bg af x dx-成立，这就证明了公式(2-2)()()()()()()bbaaf x g x dxg af x dxg bf x dx。对于()g x是一般单调下降的情形，此时应用公式(2-4)，同样可得到(2-）式，此命题得证。.积分中值定理的推广 2.定积分中值定理的推广 定理（推广的定积分中值定理)：如果函数()f x在闭区间,a b连续，则在开区间(,)a b至少存在一个点,使得下式()()(),()baf x dxfbaab 成立。证明:作辅助函数()F x如下：()(),xaF xf t dtxa b。由于()f x在闭区间,a b连续，

12、则()F x在,a b上可微,且有()()F xf x成立。由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b,使得()()()()F bF aFba成立。并且有()()baF bf t dt，()0F a，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dtfbaa b，命题得证。2.定积分第一中值定理的推广 定理（推广的定积分第一中值定理):若函数()f x是闭区间,a b上可积函数，()g x在,a b上可积且不变号,则在开区间(,)a b上至少存在一点，使得()()()(),(,)bbaaf x g x dxfg x dxa b成立。-证明：由于函数()f x在闭区间,a b上是可积的,()

13、g x在,a b上可积且不变号,令()()()xaF xf t g t dt，()()xaG xg t dt，很显然(),()F x G x在,a b上连续。并且()0,()()()baF aF bf t g t dt，()0,()()baG aG bg t dt,()()()Ffg，()()Gg。由柯西中值定理即可得到 ()()(),(,)()()()F bF aFa bG bG aG,即()()()()()()babaf t g t dtfggg t dt,()()()(),(,)bbaaf t g t dtfg t dta b,命题得证。3.3 推广定积分第二中值定理 定理（推广定积分第

14、二中值定理):如果函数()f x在闭区间,a b可积，()g x在区间,a b上可积且不变号，则在(,)a b上必存在一点,使得()()()()()(),(,)bcbaacf x g x dxg af x dxg bf x dxa b 成立。证明过程详见参考文献 1。3 积分中值定理的应用 31 估计积分值 例 1 估计2010.5sinxdxx的积分 解：由于11110.510.5sin10.5x，即212310.5sin x。于是2044310.5sinxdxx 此时可得到估计的积分值为 2084(1)10.5sin33xdxx。例 2 估计2sin,(0)bax dxab的积分-解:设x

15、t，则2221sinsin2bbaatx dxdtt,其次，假设()sinf tt和12()tt，则()t单调下降，并且有()0t。于是,22221sin11sin(coscos)222baatdxtdxaaat 2211sinsin22aaaa 其中22ab，1。因此2sin(1)bax dxa。例 证明等式sinlim0npnnxdxx。证明:由第一积分中值定理可知 sinsinlimlim0npnnnnnxdxpx,其中n位于n和np之间的某个值。3.2 求含定积分的极限 例 4 求极限120lim1nnxx 解：利用广义积分中值定理 1122001lim11nnnxdxx dxx110

16、2211,(01)11(1)(1)nxnn 则 12201limlim01(1)(1)nnnxdxxn 33 确定积分号 例 5 确定积分131xx e dx的符号-解：101013333311010()()xxxtxx e dxx e dxx e dxxtt e dtx e dx 010113333310100()txtxxxt e dtx e dxt e dtx e dxx eedx 由积分中值定理可知1331()0 xx e dxee其中(01)。又3xx e在 1,1上不恒为,则有1310 xx e dx,即131xx e dx的符号为正号。比较积分大小 例 6 比较积分340sin

17、x和240sin x的大小 解：当(0,)4x时,0sin1x,从而有320sinsin1xx，于是我们有324400sinsinxx，即340sin x小于等于240sin x。3.证明函数的单调性 例设函数()f x在(0,)上连续,其中0()(2)()xF xxt f t dt,试证:在(0,)内,若()f x为非减函数,则()F x必为非增函数。证明:利用分歩积分法,将()F x化为 000()(2)()()2()xxxF xxt f t dtxf t dttf t dt 对上式求导,可以得到：00()()()2()()()xxF xf t dtxf xxf xf t dtxf x。由

18、积分中值定理,可得：()()()()(),(0)F xxfxf xx ff xx。若()f x为非减函数,则有()()0ff x成立,因此可以得到()0F x，故()F x为非增函数，命题得证。3 证明定理-例 8 证明（阿贝尔判别法)如果()f x在,)a 上可积，()g x单调有界,那么()()af x g x dx收敛。证明：由假设条件,利用第二中值定理,在任何一个区间,A A上(其中,A Aa)，存在,A A,使得()()()()()()AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dx。因为()f x在,)a 上可积，则()af x dx收敛，所以对于任何0,存在0Aa

19、，使得当0,A AA时，成立(),()AAf x dxf x dx。又由0(),g xLA AA所以当时，有()()()()()()AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dx()()()()2AAg Af x dxg Af x dxL,根据柯西收敛原理可推知积分()()af x g x dx收敛。例 9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF Af x dx有界,即存在0K,使得(),()Aaf x dxK g x单调且当x 时趋向于零,那么积分()()af x g x dx收敛。证明：因为()0()g xx,所以对任意的0，存在0A，当0,A AA时，()g A,()g A。又因()Aaf x dxK,所以()()()2AAaaf x dxf x dxf x dxK，-同样我们有 ()2Af x dxK。由第二积分中值定理，只要0,A AA,就有()()()()()()4AAAAf x g x dxg Af x dxg Af x dxK 所以积分()()af x g x dx收敛，命题得证。参考文献 1 陈纪修、於崇华、金路.数学分析(第二版上册).北京:高等教育出版社，200.24-30