经济学人身保险的数理基础.pptx

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1、寿险精算的概念寿险精算的起源寿险精算的内容寿险精算的意义寿险精算的基础2.1寿险精算概论第1页/共307页寿险精算的概念保险精算的概念保险精算就是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理,对保险业经营管理中的各个环节进行数量分析,为保险业提高管理水平、制定策略和做出决策提供科学依据和工具的一门学科保险精算：寿险精算和非寿险精算第2页/共307页一个案例2000年初成立了XYZ人寿保险公司，注册资本为20亿元。假设该公司出售一种两全保单“一生如意”，该保单是这样设计的：保险金额为10万元，当被保险人在60岁前死亡时或活到60岁时支付。第3页/共307页问题问题一：该保单应该如何

2、定价？问题二：在资产负债表上，如何确定该保单相应的负债？问题三：被保险人如果退保，该返还其多少？问题四：如果该产品是分红保单，如何确定红利的分配原则？问题五:如何对该保单的利润进行敏感性分析？问题六：保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理？问题七：怎样才能确保该公司的偿付能力？问题八:如何确定该公司的价值？第4页/共307页寿险精算的概念概念:是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上,考虑资金投资回报率及其变动,根据保险种类.保险金额.保险期限.保险金给付方式.保险费缴纳方式及保险人对经营费用等的估计等,对投保人需缴纳的保险费水平.保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人

3、身保险的其他方面等进行的科学精确的计算.第5页/共307页1693年，英国天文学家、数学家爱德华.哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率。18世纪，托马斯.辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来，詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表。1724年，法国数学家亚伯拉罕.德.莫伊维提出了死亡法则。寿险精算的起源第6页/共307页寿险精算的内容人身保险按投保人数的不同，可分为一元生命人身保险复合生命人身保险第7页/共307页随机事件与概率大数定律及其在保险中的应用寿险精算的基础第8

4、页/共307页寿险精算的基础随机事件与概率随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就表示某种事件出现的可能性就大.0P(A)1第9页/共307页寿险精算的基础大数定律及其在保险中的应用大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出的估计损失概第10页/共307页精算师的职业排名 第11页/共307页The Best and Worst Jobs(2008)The BestThe

5、 Worst1.Mathematician 200.Lumberjack2.Actuary 199.Dairy Farmer3.Statistician 198.Taxi Driver4.Biologist 197.Seaman5.Software Engineer 196.EMT6.Computer Systems Analyst 195.Roofer 7.Historian 194.Garbage Collector8.Sociologist 193.Welder9.Industrial Designer 192.Roustabout10.Accountant 191.Ironworker

6、11.Economist 190.Construction Worker12.Philosopher 189.Mail Carrier13.Physicist 188.Sheet Metal Worker14.Parole Officer 187.Auto Mechanic15.Meteorologist 186.Butcher16.Medical Laboratory Technician 185.Nuclear Decontamination Tech17.Paralegal Assistant 184.Nurse(LN)18.Computer Programmer 183.Painter

7、19.Motion Picture Editor 182.Child Care Worker20.Astronomer 181.Firefighter第12页/共307页什么是精算学和精算师?精算学是指综合运用数学、统计学和金融理论研究经济市场，特别是其中涉及保险、养老金计划中的随机现象的一门学科;精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门。第13页/共307页保险精算的发展和现状 精算职业范围的发展精算职业团体的发展精算学作为一门学科的发展

8、第14页/共307页专门职业和精算师它的基本目的是为公众及公众利益提供服务；它为成员个人提供支持，并提高成员集体的社会地位；它是一个学习性的社团，鼓励研究，促进成员之间的交流；它的成员具有专业技能；对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员，它经常以签名证书的形式给予资格证明；它通过提供后续职业教育，帮助并要求成员保持职业技能；它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准；它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准。第15页/共307页精算职业的目标正确和实用的理论；高尚的道德标准和服务客户、雇主或其他公共利益的意愿；精算师在为公共利益提供服务中的角色，比如保险公司的指定精算师；组织形成具

9、有凝聚力的自我管理团体；愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献；保持资质标准，提高职业声誉。第16页/共307页保险精算的发展和现状从传统产品到非传统产品从寿险到非寿险、养老金、财务和投资从保险公司到咨询机构、政府部门从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准第17页/共307页精算在我国的发展 精算职业团体在我国的发展精算教育在我国的发展精算师资格考试 第18页/共307页如何才能成为合格的精算师 第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表，一般只要在大学取得相应的学位后，在实务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师；第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职业组织举行的职

10、业资格考试来认可精算师资格。我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格。第19页/共307页精算师应该具有的三项基本素质 职职业业道道德德：其基本原则有：精算师应该为公众利益服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精算职业组织的惩罚。专专业业素素质质：精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力。也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一。

11、沟通能力沟通能力：精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题，也必须懂得如何向包括政府监管部门、公司管理层和股东、投保人和其他相关公众交流自己的研究结果。第20页/共307页保险精算的主要内容 寿险精算寿险精算利息理论利息理论生命表理论生命表理论寿险精算数学寿险精算数学非寿险精算非寿险精算非寿险精算数学非寿险精算数学养老金精算和其它精算理论养老金精算和其它精算理论投资和财务理论投资和财务理论第21页/共307页利息概述及度量利息力利率、贴现率及息力之间的关系现金流的现值与终值的计算确定年金2.2利息理论第22页/共307页l是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬。l从投资

12、的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。l利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失l理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定是资本或货币l实际中，利息多用货币资本表示利息的基本概念利息=得到的-付出的第23页/共307页基本概念：n本金：每项业务开始时投资的金额称为本金；n终值：业务开始一定时期后回收到的总金额称为该时刻的积累值（或积累值）；n利息=终值-本金（或积累值-本金）；暂时假定，在投资期间不再加入或抽回本金，以后将放松这一假设。时间单位-“度量期”或“期”。除非特别声明，一个度量期就是一年。利息概述及度量第24页/共307页利息的度量终值函数1

13、终值函数2第N期利息单位货币的终值函数，期初投资的1元本金在时刻t时所得到的总价，是度量利息和利率最基本的工具。K个货币单位的终值函数n终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=Ka(t),有时也称为t期积累因子，累积函数简称a(1)为积累因子。第25页/共307页终值函数金额函数贴现函数第N期利息1-K-10t=n终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K第26页/共307页性质性质:（1 1）初始值，本金（2 2）（3 3）若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；否则为非

14、连续涵数（4 4）累积涵数必然通过（0，1）和（1，1+i）两点第27页/共307页 四种常见终值函数的图形第28页/共307页贴现函数a-1(t)：也叫为t期贴现因子。a-1(1)简称为贴现因子，并简记为v;为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）现值函数一个货币单位的终值在期初的价值，也称贴现函数第29页/共307页n现值函数a-1(t)A-1(t)=K.a-1(t)终值函数金额函数贴现函数第N期利息1-K-10t=第30页/共307页例题2.1：假设终值函数如果期初的100元在第三年末可以累积到172元，试计算在第五年末可以累积到多少元?第31页

15、/共307页例题：1、第32页/共307页例题2.2如果A（t）=t2+2t+3，试确定对应的终值函数a(t)，并验证a(t)是否满足三个基本性质满足三个基本性质满足三个基本性质第33页/共307页利息概述及度量2.利息的定义:资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬，即使用资本的代价。影响利息大小的三要素n本金n利率n时期长度第34页/共307页利率=利息/本金利率的本质：反映资金增长速度l3.利息计算的方法第35页/共307页3.利息计算的方法l线形积累l单利l指数积累l复利第36页/共307页实际利率：是指在某一时期开始时，投资一单位本金时，在此时期内应获之利息。实际利率是在期末

16、支付且整个时期内只支付一次利息。用i表示如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率 l3.利息计算的方法第37页/共307页例2.3 某人以1万元本金进行5年投资，前2年的利率为5，后3年的利率为6，分别以单利和复利计算5年后的累计积累值。第38页/共307页答案 第39页/共307页单利（simple interest）一、含义：1、每期只对本金计算利率 2、每期的利息为常数 3、利息总量与时期数线性正相关二、单利的累积涵数：单利具有线性累积涵数三、单利累积涵数的特点：三、单利累积涵数的特点：利息利息=本金本金 利率利

17、率 时期数时期数实际利率是时间的减涵数实际利率是时间的减涵数第40页/共307页例题2.4 如果 ，试计算i5第41页/共307页复利（compound interest）一、复利的含义：1、每期都对本金和上期的利息计算利息2、每期的利息是变数二、复利的累积涵数三、特点：三、特点：第42页/共307页例题2.5复利的实际利率复利的实际利率就等于复利率就等于复利率第43页/共307页单利与复利的区别相同点：1、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2、原始投资利率在整个投资期间不变。区别：1、单利的实际利率是时间的减涵数，复利的实际利率是一常数2、在时刻0和时刻1时，单利和复利的累积值相等，该期

18、间内产生的利息相等3、单利在相等的期间内有相等的利息额，复利在相等的期间内有相等的利息增长率4、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化5、复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算第44页/共307页单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。第45页/共307页单/复利场合积累函数示图第46页/共307页单利与复利的比较例、以年利率5%为例，比较单利和复利计算方法的异同

19、效果。解：1）单利情况下，每年的实际利率水平n123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年内，实际利率水平降低了一个百分点第47页/共307页2）复利的实际利率等于复利率3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻n123456单利1.051.101.151.21.251.3复利1.051.10251.15761.21551.27631.3401复利超过单利的%00.2270.6631.292.13.1可见，经过6年的时间，复利方式比相同单利方式的累积值超过了3%第48页/共307页利息概述及度量4.利息的度量实际利率:i名义利率:i(m)名义利率和实际利率的相互转化i=1+

20、i(m)/mm-1名义贴现率和实际贴现率D=1-1-d(m)/mm第49页/共307页利息转换频率不同实质利率 ：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率名义利率 ：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，有 。利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。第50页/共307页名义利率与实际利率转化 名义利率11第51页/共307页实际利率与名义利率关系名义利率：（1）一个度量周期内结转m次利息的利率（2）度量的是资本在一个小区间 内的实际利率（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系 名义利率与实际利率

21、的关系：在年名义利率一定的条件下，m越大，年实际利率越大休息休息第52页/共307页名义贴现率 名义贴现率11第53页/共307页名义贴现率名义贴现率：（1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率（2）度量的是一个小区间 内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系：休息休息在在年年名名义义贴贴现现率率一一定定的的条条件件下下，一一年年内内结结转转的的贴贴现现次次数数越越多多，年年实际贴现率越小。实际贴现率越小。第54页/共307页贴现函数与实际贴现率贴现函数：贴现是累积的逆运算，是计算现在值，贴现函数是累积函数的倒数，贴现与累积是两种互相对称的计算货币时间价值的方法。时刻t的一个单位货币在时刻0

22、的价值称为贴现函数（discount function）单利的贴现涵数：单利的贴现涵数：复利的贴现涵数：复利的贴现涵数：称称v v为贴现因子为贴现因子第55页/共307页贴现函数与实际贴现率实际贴现率：一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值。其中的利息是在期末实现的。注意：1、di 2、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等 3、利息在期末支付，贴现在期初收取 4、利率说明了资本在期末获得利息的能力，贴现率说明了资本在期初获得利息的能力第56页/共307页单利的实际贴现率单利的实际贴现率dt例、例、i=10%i=10%，单利，试计算，单利，试计算d d5 5第57页/共307页实际利率与实际贴

23、现率的关系1、2 23 3、贴现函数：、贴现函数：4 4、累积函数：、累积函数：5 5、这一关系的字面意义是：借贷1元，在期末还1+i，等价于期初借1-d，在期末还1元。第58页/共307页单贴现1、单贴现：与单利相对应，每一时刻的贴现额相等，贴现涵数为：2 2、单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质、单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质3 3、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的 实际贴现率递增实际贴现率递增第59页/共307页复贴现复贴现：每一时刻产生的贴现值不相等，贴现函数为：单贴现和复贴现对单个时期产生的结

24、果相同。对较长的时期，单贴现比复贴现单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长的时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反第60页/共307页例题2.6已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求投资本金。解：设本金为p，则pi=336，pd=300 第61页/共307页例2.71、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。第62页/共307页1、2、3、

25、第63页/共307页例题如何用贴现率比较收益？现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元，一年期储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度看，债券的贴现率为：储蓄的贴现率为：储蓄的贴现率为：从年利率的角度看：债券的从年利率的角度看：债券的而储蓄的年利率为而储蓄的年利率为5.25%5.25%，因此，债券投资略优于储蓄因此，债券投资略优于储蓄第64页/共307页利息力利息力又简称息力,是衡量在某个确切点上利率水平的指标.用&表示 a(t)=e&t.dt a-1(t)=e-1&t.dt第65页/共307页利息力（利息强度）利息力：（要求累积函数必须是连续的，且可微，既是每个

26、瞬间都可以进行利息的换算）（1）度量了资本在无穷小区间上的获利能力。（2）刻画了资本在每一时刻上的获利强度。（3）是累积函数的相对变化率（4）是连续结转利息时的名义利率是连续结转利息时的名义利率（5）累积函数由累积函数由利息力和时利息力和时间长度唯一间长度唯一确定确定第66页/共307页利息力定义：瞬间时刻利率强度第67页/共307页等价公式一般公式恒定利息效力场合第68页/共307页例2.8确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、第69页/共307页例2.8答案第70页/共307页利息力（利息强度）例题3：如果 ，确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额。解：第

27、71页/共307页常数利息力（1）资本在任一时点上的获利强度都相等，记为（2）利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必常数利息力和实际利率的关系式第72页/共307页例题：已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度。解：例题：一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经过8年的累计值。解：第73页/共307页单利和复利的利息力单利的累积函数：a(t)=1+it，复利为a(t)=(1+i)t单利的利息力：单利的利息力：是时间的减函数复利的利息力：复利的利息力：与时间无关第74页/共307页贴现力（贴现效力）（1）贴现函数的单位变化率（2）度量每一时刻上

28、获得贴现值的能力，记为：利息力与贴现力是等价的利息力与贴现力是等价的第75页/共307页关系利率、贴现率及息力之间的关系第76页/共307页名义利率与名义贴现率的关系（相同计息期内的）实际利率与实际贴现率之间的关系是：当当李李名义利率与名义贴现率之间的关系为：名义利率与名义贴现率之间的关系为：实际利率与名义贴现率之间的关系：实际利率与名义贴现率之间的关系：名义利率与实际贴现率之间的关系：名义利率与实际贴现率之间的关系：第77页/共307页例题2.91、初始投资500元，每季度结转一次利息的年利率为8%，5年后的累积值是多少？2 2、年利率年利率6%6%，每半年结转一次，到第，每半年结转一次，到

29、第6 6年末时可得年末时可得10001000元，现时投资要多少？元，现时投资要多少？第78页/共307页例题3、已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解：第79页/共307页例题4、以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。解：设现值为PV，则第80页/共307页例题5、一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走，试确定：1）购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2）购买者所得到的年度年度实质利率解：解：1 1）季度贴现额）季度贴现额=100-96=4=100-96=4元，季度贴现率元，季度贴现率年名义贴现率年名义贴现率=44%=16%=44%

30、=16%2 2）季度实际利率：）季度实际利率：第81页/共307页利率和贴现率期末计息利率第N期实质利率期初计息贴现率第N期实质贴现率第82页/共307页单利场合利率与贴现率的关系第83页/共307页复利场合利率与贴现率的关系第84页/共307页复利场合利率与贴现率的关系初始值利息积累值11第85页/共307页某人投资1万元，如果以5的利率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？如果该投资项目是以5的贴现率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？第86页/共307页第87页/共307页已知利息率，求a(t)已知利息率，求a-1(t)已知贴现率

31、，求a(t)已知贴现率，求a-1(t)已知息力。求a(t)或a-1(t)现金流的现值与终值的计算第88页/共307页已知利息率，求a(t).设本金为了,经过t后的终值(1)在单利的条件下:a(t)=1+it(2)在复利的条件下:a(t)=(1+i)t(3)在实际利率的条件下:a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+it)(4)在名义利率的条件下:a(t)=1+i(m)/mmt第89页/共307页已知利息率，求a-1(t).设时期t的终值为1(1)在单利的条件下:a-1(t)=(1+it)-1(2)在复利的条件下:a-1(t)=(1+i)-t(3)在实际利率的条件下:a-1(t)=(1+i1)-

32、1(1+i2)-1(1+it)-1(4)在名义利率的条件下:a-1(t)=(1+i(m)/m)-mt第90页/共307页已知贴现率，求a(t).(1)在单贴现率的条件下:a(t)=(1-dt)-1 (0t1/d)(2)在复贴现率的条件下:a(t)=(1-d)-t(3)在实际贴现率的条件下:a(t)=(1-d1)-1(1-d2)-1(1-dt)-1(4)在名义贴现率的条件下:a(t)=(1-d(m)/m)-mt第91页/共307页已知贴现率，求a-1(t)(1)在单贴现率的条件下:a-1(t)=1-dt(2)在复贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d)t(3)在实际贴现率的条件下:a-1(t)=

33、(1-d1)(1-d2)(1-dt)(4)在名义贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d(m)/m)mt第92页/共307页利息问题求解利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值 第93页/共307页利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标第94页/共307页例2.10：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项

34、，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？第95页/共307页答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点第96页/共307页例2.11：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？第97页/共307页答案（1）（2）第98页/共307页例2.12：求时间假定 分别为12%、6%、2%计算在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要

35、几年？第99页/共307页答案 第100页/共307页近似答案rule of 72第101页/共307页例2.13：求积累值 某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？第102页/共307页答案 第103页/共307页l年金：在一定时期内在相等的时间间隔上所作的一系列给付。l并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔l每次的给付额可以是固定量，也可以是非固定量确定年金年金(annuity)：间隔相等的一系列收付款或间隔相等的一系列资金流。如，房屋的租金、抵押

36、贷款、分期付款、利息付款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机和电话的月租费、公用事业费等。是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。第104页/共307页l分类l基本年金（比如等额年金：间隔周期相等的等额资金流）l等时间间隔付款l付款频率与利息转换频率一致l每次付款金额恒定l一般年金l不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金第105页/共307页年金的种类1、确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2、定期年金和永续年金：定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股

37、息休息休息第106页/共307页3、期初付年金和期末付年金：期初付年金的支付是在每个周期的期初。月初发工资和养老金期末付年金的支付是在每个周期的期末。月末发工资和养老金4、即期年金和延期年金：即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开始支付5、等额年金和变额年金：等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全相等第107页/共307页l确定年金：年金的一种形式，只要事先约定，就必定支付的年金。l仅与利率有关，而与人的生死无关l分类：付 款 时 刻 不 同：期 初 付 年 金、期 末 付 年 金、即期年金、延期年金付款期限不同：有限年金/永久年金第108页/共307页年金支付期等于利

38、息结算期的确定年金期末付年金 an-i=V+V2+Vn=(1-Vn)/I Sn-=1+(1+i)+(1+i)n-1=期初付年金期末付年金和期初付年金的关系第109页/共307页年金支付期大于利息结算期的确定年金期末付年金期初付年金第110页/共307页年金支付期小于利息结算期的确定年金期末付年金期初付年金第111页/共307页年金的现值年金现值：年金在期初的价值1、期末付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-1n n1 11 11 11 1第112页/共307页example1,Find the present value of an annuity wh

39、ich pays$500 at the end of each half-year for 20 years,if the rate of interest is 9%convertible semiannually.第113页/共307页example2,If a person invests$1000 at 8%per annum convertible quarterly,how much can he withdraw at the end of quarter to use up the fund exactly at the end of 10 years?第114页/共307页年

40、金的现值2、预付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-1n n1 11 11 1休息休息1 11 1年金现值的关系：年金现值的关系：第115页/共307页年金的现值3、期末付永续年金的现值：4 4、期初付永续年金的现值：、期初付永续年金的现值：休息休息第116页/共307页年金的终值年金终值：年金在支付结束时的累积值，永续年金没有终值1、期末付定期年金终值：单位资金的收付0 01 12 2n-2n-2n-1n-1n n时期时期年金年金1 11 11 11 11 1（1+i1+i)休息休息第117页/共307页年金的终值2、期初付定期年金的终值0 01 12

41、 2n-2n-2n-1n-1n n时期时期年金年金1 11 11 1（1+i1+i)1 1第118页/共307页期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系1、2 2、第119页/共307页例题2.141、一位投资者希望投资一笔年金，到第12年之末积累到1000元。为此他打算每年年底存入一笔钱，最后一次存款将在投资时期结束前一年。如果此基金的实质利率为7%，问他每年应存入多少钱？解：视为期初付款，建立求值方程；第120页/共307页课堂练习题有一笔1000元的贷款，为期10年。若实际利率为年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量：1）第10年末，本金利息一次还清2）每年支付利息，本金第10

42、年末归还3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清解：2 2）每年的利息）每年的利息=10000.09=90=10000.09=90，所以支付的利息总量为，所以支付的利息总量为9010=9009010=900元元3 3）设相等的付款为）设相等的付款为R,R,为 何 第 三种 方 式 的利息较小第121页/共307页例题2.151、某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月初需要存入多少钱，才能达到其要求？解：依具题意；设每月初的存款额为D，有第122页/共307页年金现值与终值的关系1、年金现值与终值之间的换算关系：（1）期末付定期年金的终值与其

43、现值的关系（2 2）期初付定期年金的终值与其现值的关系2 2、年金现值与终值之间的倒数关系、年金现值与终值之间的倒数关系（1 1）期末付定期年金：）期末付定期年金：（2 2）期初付定期年金）期初付定期年金第123页/共307页年金在任意时点上的值1、年金在支付期限开始前任意时点上的值2、年金在支付期限内任意时点上的值3、年金在支付期限结束后任意时点上的值假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。第124页/共307页年金在支付期限开始前任意时点（m）上的值（现值）1、期末付定期年金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值2

44、 2、期期初初付付定定期期年年金金：1）将现值往前贴现，2）计算总的现值，再减去前m个时期的现值3 3、期期末末付付永永续续年年金金：通通过过求求极极限限的的方方式式计计算算，前前mm个时期的现值为：个时期的现值为：当当mm为非整数时，上述结论同样成立为非整数时，上述结论同样成立第125页/共307页年金在支付期内任意时点上的值计算原则：将年金分成两个期限较短的年金，年金在任意时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一个年金的现值。一般而言，一项经过m次付款（mn）的n个时期年金，其当前值为：对期初付年金而言：对期初付年金而言：第126页/共307页年金在支付期结束后任意时点上的值计算原则：先计

45、算年金的终值，再按复利往后累计，计算出累计值即可。1）期末付年金：2 2）期初付年金：）期初付年金：第127页/共307页例题2.16A留下一笔100000元的遗产，这笔遗产头十年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的均付给慈善事业D，若此项财产的年实际利率为7%，试确定B、C、D在此项财产中各得多少份额？B B所占的份额为：所占的份额为：C C所占的份额为：所占的份额为：D D所占的份额为：所占的份额为：第128页/共307页练习题1、某家庭从子女出生时开始积累大学教育费用5万元，如果他们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X，年利率7%，计算X.（65

46、1.72）2、价值10000元的新车，购买者计划分期付款：每月底还款250元，期限4年，月结算年利率18%，计算首次付款金额。（1489.36）3、已知a7=5135，a11 =7036，a18=9180，计算i(8.3%)4、从1990年6月7日开始，每季度年金100元，直到2001年12月7日，季度结算的年利率为6%。计算：1）该年金在1989年9月7日的现值2）该年金在2002年6月7日的终值。（3256.88，6959.37）第129页/共307页年金的利率问题求解任何一个年金问题都包含四个变量：1）现值或终值(a,s)2）收付额(R)3）利率(i)4）支付期数(n)计算其中的未知利率

47、:1）建立求值方程 2）求解未知的利率可以用：1）解析法，2）线性插值法；3）迭代法第130页/共307页基本年金图示 0 1 2 3 -n n+1 n+2-1 1 1 -1 0 0-1 1 1 -1 0 0 0-1 1 1 -1 1 1-1 1 1 -1 1 1-延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金第131页/共307页基本年金公式推导第132页/共307页例2.17有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？第133页/共307页l利息理论在人身保险定价中的运用 l保险人应在其所收入的保险费中设立责任准备金用

48、于其在以后要承担的给付保险金的责任。责任准备金在履行给付之前，保险公司可以利用它进行投资，其收益由保险公司在计算保险费率时，按照一定的收益率计算给被保险人。人寿保险期限越长，利息的作用就显得越为重要，对保险费率的影响也就越大。l l一般情况下存在两种常见的计算利息的方式，即单利和复利。通常的情况下，保险公司在厘定保险费率和进行保险投资是考虑的都是复利。第134页/共307页保险金额的确定财产保险合同的保险金额的确定有客观依据，即：实际值、保险利益等。人寿保险合同的保险金额是由合同当事人双方协议产生。确定人寿保险合同的保险金额时，应考虑投保人的交费能力和被保险人对保险保障的需求两个因素。关于交费

49、能力：1限制交费年期 2限制交费比例 3规定保险金额不得超过被保险人年收入的若干倍 第135页/共307页关于被保险人对保险保障需求的分析：1本人需求：2他人需求：考虑上述两点，就可以粗略确定被保险人的保险金额了。此外，保险人从控制个别巨额风险考虑，通常还规定每个被保险人所能投保的最高限额。第136页/共307页关于人寿保险合同的保险金额确定方法人们进行了广泛的研究，这里介绍两种具有代表性的方法：1“生命价值”理论（The Concept of Human Life value）2“人身保险设计”法（The Method of Personal Insurance Programming）第1

50、37页/共307页1“生命价值”理论（The Concept of Human Life value）该理论是美国宾夕法尼亚大学休布纳（）教授在1924年首次提出的。该理论认为：人的生命价值由其工资收入扣除个人生活费用之后剩余部分的资本化价值来决定。生命价值就是应该投保的保险金额。第138页/共307页假如某人现年35岁，已婚，每年能为家庭提供10 000元的净收入，直到65岁退休时为止。则收入分布如下图：10000 10000 10000 10000 35 36 37 64 65 假如平均的年利率为8%，则由年金现值公式可以求出30年期、每年收入10 000元的年金现值为：（其中：）10 0