数学建模ch离散模型.pptx

《数学建模ch离散模型.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模ch离散模型.pptx（203页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、过河问题 问题 有三名商人各带一名随从要乘一条小船过河，这条船每次最多只能容纳两个人，并且由于某种原因，商人们总是提防着随从们，预感到一旦在任何地方只要随从人数多于商人数，就会对商人构成危害。但是由于商人们控制着如何乘船的指挥权，所以商人们就可以制定一个过河方案，以确保商人们的安全。试求出这个方案。第1页/共203页 建模 设在渡河过程中，此岸的商人个数为 随从个数为 以 表示此岸的状态向量，即在 中有一部分对商人是安全的，称为容许状态集合，记为 即有第2页/共203页 在上图中,实点即表示为容许状态的集合.乘船的方案称为决策，仍然用向量 来表示，即 名商人和 名随从同坐一条船.在这些决策

2、中,有第3页/共203页是符合条件的，称为容许决策。容许决策的全体组成集合构成容许决策的集合，记为 在这个问题中，容许决策的集合为 小船从此岸到彼岸的一次航行，会使两岸的状态发生一次变化，此称为状态的转移。用第4页/共203页表示状态的转移。其中 用表示在状态 下的决策。当 为奇数时，表示从此岸到彼岸，当 为偶数时，表示从彼岸到此岸。所以公式称为状态转移公式。所以，该问题转变成寻找一系列的决策 使状态 按由初始状态经过有限次的转移达到第5页/共203页 建立坐标系统，并在坐标平面上建立的刻度单位。做网格线，网格线上的每一个交点代表一个状态（用实点表示）。黄色曲线弧表示向彼岸渡人，绿色曲线弧表示

3、从彼岸返回。容许决策 表现为从一个实点向另一个实点的转移。当 为奇数时，容许决策表现的是向下及向左的移动，当 为偶数时容许决策表现的是向上及向右的移 解模第6页/共203页动。整个状态的转移用下面的表格来表示。第7页/共203页序号序号状态状态决策决策序号序号状态状态决策决策172839410511612第8页/共203页 分析 从上表中可以看到，该方案是可行的。第9页/共203页二、差分方程 本节介绍离散模型中的一种重要类型差分方程及相应的解法.第10页/共203页 1.差分方程 离散模型的基本形式是:下一变量为由当前值、先前值及 构成的函数,即 方程称为差分方程.例1 某产品当年的产量与前

4、一年的产量关系为:当年产量在去年产量增加 则相应的差分方程为第11页/共203页 一类比较简单的差分方程为具体形式为:第12页/共203页 在差分方程中,若仅有 的值,即方程具有形式则方程称为一阶差分方程.若只有 的值,则方程称为二阶差分方程.一般差分方程的阶定义为出现在方程中最高阶与最低阶的差值.例如一个二阶线性方程为所谓同类线性差分方程指的是方程具有形式第13页/共203页而方程则不是同类方程.第14页/共203页例2 设在一场战斗中,交战双方为 军和 军,军的一个单位一次可摧毁 军的 个单位,军的一个单位可摧毁 的 个单位.设经过 次战斗后,所剩下的人数,则有此是由两个变量关连的差分方程

5、,经过转化,方程可变为第15页/共203页由此得到的是一个二阶的差分方程.对与给定的初始值 经过若干次的迭代,最终能求出 应用 拥有10000人的 军和拥有5000人的 展开一场战斗,军的杀伤力为 军的杀伤力为 用上式预测战斗结果.分析 为使问题简化,以1000人为一个单位,即第16页/共203页代入上式,有结果-0.160.611.397.557.657.8686542.213.08458.198.659.25103210第17页/共203页当战斗进行到第6次时,已经没有意义了,此时 军还有7550人.问题:如果有俘虏产生,该问题又该如何?第18页/共203页 2.矩阵表示 由若干个变量构成

6、的线性差分方程,在很多情况下可通过矩阵西形式表现出来.例如在上面的两军交战的模型中,相应的矩阵形式为而相应的进程关系可表达为第19页/共203页其中,矩阵 又称为状态转移矩阵.第20页/共203页应用 设有某种生物,一年后成熟并有繁殖能力.此种生物在状态 时,有状态 年龄在1岁之前的幼虫总数;年龄在12岁之间的壮年虫总数;年龄在2岁以上的老年虫总数;不同年龄段的此种生物的繁殖和死亡率有下表所示:第21页/共203页组别组别繁殖率繁殖率死亡率死亡率00.10.30.20.10.3由此得到状态转移矩阵及关系表达式第22页/共203页是否进入稳定状态,看矩阵的最大特征值 若 则总数将无限制增长,总数

7、将趋于稳定,总数将逐渐减少.在Matlab下,求出特征值,值为第23页/共203页此说明基本进入稳定状态.造成这一现象的主要原因是繁殖率偏低.事实上,若将繁殖率改为 则特征值为第24页/共203页 3.模型应用问题1 定期存款的计算 某人在银行存款,设期初为 之后在每年的年底再存入定额为 的钱.年息为 若 是存款 年后的总额,则有记 则有第25页/共203页此方程为一阶线性差分方程,其数值解为 在Matlab下,编写如下程序,运行后得:15年后存款总额为 元.例如:某人期初存入2万元,计划每年年底再存入5000,年利息为 求15年后在银行的存钱总额.如果要让存款达到20万元,求出年数.第26页

8、/共203页存款曲线图示第27页/共203页 问题2 贷款还款计划 问题的提出 当今人们消费,经常会遇到分期付款消费等现象.对实际贷款额和银行利率,该如何制定相应的还款计划.模型分析 设 为 年后所欠的钱数,为每月偿还的钱数,为还清所需的年数,是与欠款有关的年利息率.则 表示欠款总额,由条件,知下一年的欠款钱数为第28页/共203页其中:模型建立 由上式,得当 时则有,即由此得第29页/共203页 应用:设某人贷款20万元,年利率为 计划15年还清,求每月应还的钱额.解 将数据代入上式,即得 元.第30页/共203页还贷曲线图第31页/共203页 讨论:当利率改变时,还贷计划应该做怎么样的调整

9、.例如当利率下降 还款是否也下降 当利率上升 而你又不想改变每月支付的金额,则还款年数将 增加到多少?解 在求解公式中,将年利率改为 得 元,降幅为 若利率上升 则每月的还款额为 涨幅为 若不想增加还款额的话,则还款期限为18年.第32页/共203页 进一步的讨论:是否存在一辈子都还不清的可能?在上面的情况下,假设贷款者仍然每月还款 元,则当年利率上升到多少,还款者要永远还下去?在关系式取 则有第33页/共203页 问题3 生物种群的生长问题 某种生物群种的增长情况遵从著名的Logistic方程:其中 是该种第 代的个体总量与该群体所能达到的最大个体容量之比.为比例系数.注意到该方程是一个一阶

10、的非线性差分方程.第34页/共203页在Matlab下,对初始值 的不同取值,得到如下的结果:第35页/共203页第36页/共203页第37页/共203页第38页/共203页 问题4 减肥与饮食问题 一个女子每天摄入2500卡的食物,其中1200卡用于基本的新陈代谢,并用每公斤体重16卡为每日锻炼的消耗,其它剩余的转换成脂肪.设10000卡等效为1公斤脂肪.在星期六上午,她的准确体重为57.1526公斤.在周三她饱餐了一顿,摄入了3500卡的食物.试建立一个数学模型求第 天的体重 并用它来作以下预测:到星期六时她的体重第39页/共203页为保持体重不变,每日应摄入的热量;周后她可减轻到的最小体

11、重;若她想在8周后减轻到50.802344公斤,每天摄入量应如何限制.第40页/共203页 模型分析 我们不考虑由于吸入氧气而产生的热量.由于新陈代谢及锻炼所需的热量为 故每天能转化成脂肪的热量为 因而相应的脂肪增加值为从而第 的体重为 第41页/共203页 设周六的体重为 则在下周二的体重为 但当天多摄入了1000卡的热量,故周三的实际体重为以它为初始值,可计算出周六的体重为设每天的摄入量为常数 则模型为,欲使体重不变,即有第42页/共203页若要维持体重不变,则 卡.若完全拒绝饮食,但基本的新陈代谢需要维持及锻炼照常,因而有从而有关系代入 周所需要的天数,则可得到那时的体重.第43页/共2

12、03页 使用中的模型,或改写成另一个形式欲使体重8周后成为 代入上式,得第44页/共203页代入 即可得到每天应摄入的热量数.下表给出了当 时体重在第 周时的情况.第三列表示希望在第 周时体重为某值的热量摄入量变化值表.第45页/共203页 周周 （卡）（卡）549.952501043.1411562030.6116093019.411759409.41833500.451877第46页/共203页 问题5 数列与黄金分割 问题的提出 提出了这样一个问题:一对小兔子二个月后可以生兔子,而成熟兔子每月可生一对小兔子.假如去年12月底养一对小兔子,问到今年年底共有多少对兔子.13个月份中的兔子的对

13、数如下表所示:第47页/共203页12123456112358137891011122133558914423313个月份中的兔子的对数第48页/共203页 以 表示各月份中兔子的对数,则有关系 定义 称数列为 为 数列,若数列有关系:法国数学家奇拉特在 死后400年时证明了第49页/共203页 从而证明了第50页/共203页 黄金分割与斐氏数列 黄金分割据说是由达芬奇首先提出的.所谓黄金分割指的是按中外比割的.即在下图中满足关系记则有第51页/共203页即有 解此方程得第52页/共203页第53页/共203页第54页/共203页三、马氏链及其应用 1.一个简单的例子 我们知道，人寿保险公司最

14、为关心的是投保人的健康与疾病以及相应的风险。通过下面的例子我们来看保险公司是如何处理这类问题的。第55页/共203页 问题的提出 设 表示年龄的时段，假定在一年中，今年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年转为健康的概率为 假设一个人在投保时处于健康状态，我们来研究若干年之后他分别处于这两种状态的概率。第56页/共203页 建模 用随机变量 表示第 年的状态，表示健康，表示疾病。以 表示第 年状态为 的概率。即以 表示今年状态处于 明年状态处于 的概率，即第57页/共203页由全概率公式得到：即由假设，第58页/共203页再由于投保人处于健康状态，即由此得到若投保人在开始时处于疾病状态，即则有

15、第59页/共203页 从两张表中可以看到，无论投保人在初始时处于什么状态，当时间趋于无穷大时，该时刻的状态趋于稳定，且与初始值无关。即第60页/共203页两种状态的转移概率 意义 若将众多投保人处于两种状态的比例，视为投保人处于两种状态的概率，例如健康人占3/4，病人占1/4，即 则同样可计算出第61页/共203页 由上面的分析可以看出，对于给定的状态转移概率，时的状态概率，趋向于稳定值，该值与初始值无关，这是马氏链的重要性质。第62页/共203页 把人的死亡看作第三种状态，用 来表示，相应的转移概率如下图表示。三种状态的转移概率 仍以 表示状态为 时的概率，表示状态转移概率，即有第63页/共

16、203页平行于式，有 设投保人在期初处于健康状态，则由可计算出若干年后他处于各个状态的概率。第64页/共203页 表中最后一列数据是通过预测得到的。从表中的数据又可以看到，无论投保人在期初处于什么状态，当 时，总有第65页/共203页 2.马尔可夫链 假设 1.系统是随时间的发展而离散为 2.在任何时刻，系统的状态为有限多个。在时间 时，系统的状态的 的取值为 3.在时刻 时系统处于各状态的概率只与时刻 时系统所处的概率与转移概率有关。满足以上三个假设的系统的随机发展过程称为马尔可夫过程或马氏链。第66页/共203页 设在时刻 时系统处于状态 的概率为 行向量称为状态概率向量，由概率的意义，向

17、量应该满足及第67页/共203页 设在时刻 处于状态 的系统转移到 时刻处于 的概率为 它应该满足 1.2.引如概率转移矩阵第68页/共203页由假设3，再由全概率公式得第69页/共203页 用矩阵的方法来表示的话，可以写成 简单地可以写成由此可得系统在时刻 时的状态向量为其中 为时刻 时系统的状态概率向量，又称为状态初始向量。第70页/共203页例 在前两例中，初始向量与概率转移矩阵分别为我们通过下面的例子具体说明：第71页/共203页上式表明在时刻 时投保人处于患病状态的概率为：从上面的例子中可以看出，对于马氏链模型，最重要的是构造状态 及概率转移矩阵 由此对于给定的初始状态 由可计算出任

18、意时刻 的状态第72页/共203页 正则链定义 一个有 个状态的马氏链，如果存在正整数 使从任意状态 经 次的转移，能以大于零的概率到达状态 则称这样的链为正则链.定理1 设马氏链的转移矩阵为 则该链为正则链的充分必要条件是存在 使得 第73页/共203页定理2 正则链存在唯一的极限状态概率满足 与初始状态概率 无关，且 及第74页/共203页例1 设 则由此确定的马氏链为正则链。令 满足式，即有由此得到方程组第75页/共203页联系则得到故方程组的解为第76页/共203页这和前面的结果是相吻合的。第77页/共203页例2 设因第78页/共203页故由此确定的马氏链是正则链。令由方程，确定方程

19、组第79页/共203页从方程中解出 即第80页/共203页 吸收链 定义 如果存在某个状态转移概率 则称状态 是吸收的.如果马氏链中含有吸收状态,并且从每一个非吸收状态出发都可以达到某个吸收状态，则称这个马氏链为吸收链。例如在前面三个状态的转移概率中，转移概率矩阵为第81页/共203页并且从每个状态最终都转移到第三种状态,因而这样的链是吸收链。注 吸收链的特征是：任一状态一旦进入该状态就将停留在该状态。第82页/共203页 含有 个吸收状态和 非吸收状态的吸收链的状态转移概率矩阵的标准形式是其中 是单位矩阵。第83页/共203页定理3 对于具有标准形式的状态转移概率矩阵，有如下的性质：矩阵 具

20、有零极限，即矩阵 可逆且记 则矩阵的第 行元素之和值是从非吸收状态出发被某个吸收状态吸收之前的平均转移次数。第84页/共203页记 则矩阵 的元素 是从非吸收状态 出发而被状态 吸收的概率。第85页/共203页 在前面的例2中,将 改写成则第86页/共203页则第87页/共203页 应用 基因遗传问题 生物的外部特征是由生物体内的基因决定的。基因分优势与劣势基因两种。分别表示为 对于生物的某个外部特征，体内有两个基因与之对应。由于体内的每个基因都可以是两种基因之一，因此体内的基因对类型可能有三种：分别被称为优种、混种和劣种。按基因理论：含优种和混种的基因个体类型，其外部特征呈优势；而含劣势基因

21、类型的个体，其外部特征呈劣势。第88页/共203页 生物在繁殖时，后代随机地继承父亲和母亲的两个基因中的各一个而形成自己的基因对。因此后代成为优种、劣种、混种基因类型的概率是不同的。下面讨论两种基因繁殖后代的情况第89页/共203页 一、永远与混种繁殖后代的情况 假设一个个体是优种，而另一个个体是混种，则它们的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为 假设一个个体是混种，而另一个个体是混种，则它们的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为第90页/共203页 假设一个个体是劣种，而另一个个体是混种，则它们的直接后代成为优种 、混种 、劣种 的概率分别为由此得到概率转移矩阵第91页/

22、共203页由前面的例2知该链为正则链，极限状态概率向量为 上式表明，经过长时间的繁殖过程，后代的外部特征呈优势的概率是优种和混种概率的和，这个量与初始的个体所含基因的种类无关。第92页/共203页 2.近亲繁殖的结果 假设最初的父母可以是优种、混种或劣种，它们有大量的后代，这些后代又随机地雌雄交配后代，今来分析它们后代的演变情况。由于每次繁殖都是随机地配对父亲和母亲，而父亲和母亲可以是 中的一种，组合后就有 六种状态，分别记为当父母都是优种 时，后代必然是优种 因此有第93页/共203页 同理，当父母都是劣种时，后代只能是劣种，由此得 当父母一方为 而另一方为 时，当前状态可能是 因而再次配对

23、产生的可能结果有因此，有第94页/共203页 当父母方为 对时，其后代只可能是 因而再次配对之后之可能产生 所以 当父母方为 对时，其后代可能是 甲 乙 因而相应的概率为第95页/共203页所以概率转移矩阵为第96页/共203页从上面中可以看到状态1和状态2是吸收状态。所以该链为吸收链。由前面的计算公式得到的行和第97页/共203页根据矩阵 和 的性质，上式表明从状态3出发经过第98页/共203页代后它们的后代都会变成优种或劣种，从状态3出发其后代全变为优种的概率为 上面表明：近亲繁殖的后代变成劣种的可能性很大。第99页/共203页三、钢琴销售的存储策略 问题的提出 一家商店根据以往经验,平均

24、每周只能售出1架钢琴.现在经理指定的存储策略是:每周末检查库存量.仅当库存量为零时,才订购3架供下周销售;否则不订购.试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大?以及每周的平均销售量是多少?第100页/共203页 问题分析 对钢琴这类比较昂贵的商品,其销售一般被认为服从泊松分布.即设 为每周的销售量,则周末的库存可能为 而周初的库存可能为注意到需求的改变将引起库存的改变.而当需求大于库存时又会失去销售的机会.今来计算这种变化的规律.第101页/共203页 模型假设1.钢琴每周的需求量服从泊松分布,且均值为1.2存储策略是:当周末库存量为零时,订购3架,周初到货,否则不订购.3.以每周初的库存

25、为状态变量,状态转移具有无后效性.4.在稳定状态下计算该存储策略失去销售机会的概率,和每周的平均销售量.第102页/共203页 模型建立 记第 周的需求量为 则 服从均值为1的泊松分布,即有再记第 周初的库存量为 为该系统的状态变量,则有第103页/共203页由得第104页/共203页并由此计算概率转移矩阵第105页/共203页*第106页/共203页即第107页/共203页记状态概率为即有注意到 即马氏链为正则链.令满足 且 解之得第108页/共203页假定初始状态为1架钢琴,即状态概率为则第109页/共203页第110页/共203页 该存储策略在第 周失去销售机会的概率为当 时可近似认为

26、则有即从长期看,失去销售的机会为 最后计算平均销售量（用数学期望）:第111页/共203页但当库存量为 时,销售量的最大取值为 因而上式为第112页/共203页同样,当 时,用稳态概率 来代替 则即从长期看,每周的平均销售量为第113页/共203页 讨论 在原问题中,若将订购策略改为:若当周末的库存量为零时,订购量为销售量加2,否则不订购,试建立相应的马氏链.第114页/共203页解 当概率不变时,则概率分布为由此得到状态变量 的取值为概率转移矩阵为 其中第115页/共203页第116页/共203页第117页/共203页四、合作对策模型 在经济或社会活动中，几个个体相互合作或结成联盟，常常能或

27、得比他们单独行动能获得的经济效益或社会效益。怎样来合理分配所获取的效益是合作对策的研究题目。第118页/共203页 1.三人联合经商的利润分配问题 假设有 三人在经商。若三人都独自经商，则每人每月都只能获得利润1万圆；若 和 合作经商,则他们每月可获得利润7万圆；若 和 合作经商,则他们每月可获得利润5万圆；若 和 合作经商,则他们每月可获得利润4万圆；第119页/共203页 若三人合作经商,则他们每月可获得利润10万圆；则问题转变为这10万圆的利润应如何分配给三人。先给出合作对策的一般模型 记 为有 个人的集合，若对于 的任一子集合 都有一个实数 与之对应，且满足下面条件：；对 的任意两个子

28、集合 有第120页/共203页则称 为定义在 上的一个特征函数。所谓合作对策就是要确定已定义有特征函数的 中的 个人合作的结果，它表现为向量 在实际问题中，常把 中各种组合的合作所获得的利益定义为特征函数，向量 就是 个人合作获利的分配。第121页/共203页 Shapley提出了应该满足的如下几个公理：公理1 设 是 的一个排列，对于的任一子集 令再定义 上的特征函数 ：则对于每个 有上式表明：合作获利对每个人的分配与记号无关。第122页/共203页 公理2表明如果有人对他所参加的所有项目都没有贡献，那么他就不应该从全体的合作中获利。公理2 若对所有包含 的子集 都有 则 公理3 公理3表明

29、各个人的分配之和等于合作获利。第123页/共203页 公理4 若 也是定义在 上的特征函数，且则 公理4表明，若 个人同时进行两个项目的合作，则获利的分配为两个独立项目分配之和。Shapley证明了满足着四条公理的 是唯一的，并且解的公式为：第124页/共203页其中 是 中所有含 的子集，是集合 中的人数，是加权因子，其值为 可看作为成员 对合作 的贡献。表示对所有含 的子集 求和。第125页/共203页 在例1中，将 分别记为 当时，经计算得下表：175100114164612231/31/61/61/31/312/32第126页/共203页代入得即 应分得利润4万圆。同理可计算对 时,有

30、相应的值:第127页/共203页174100115163512231/31/61/61/31/311/25/3第128页/共203页代入，得最后计算，得第129页/共203页 2.三城镇的污水处理方案 沿河有城镇1、2、3，地理位置入图所示，城镇的污水必须经过处理后才能排入河中，因此三个城镇将单独或联合建造污水处理厂，用管道将污水集中处理（污水应从位于河流的上游向位于下游的城镇输送）。河 流 以 表示污水量，表示管道长度，由经验公式，建厂费为（万圆）.第130页/共203页铺管费为（万圆）.已知三城镇的污水量分别为 城镇间的距离分别为 试从节约总投资的角度出发,为三个城镇制定一个建造污水处理厂

31、的方案。如果联合建厂，各城镇应如何分担费用？以 代表三城镇，考虑第131页/共203页 三城镇污水处理的如下5种方案 分别建厂，投资费用为 总投资 1，2合作在城镇2建立厂，则投资为总投资为第132页/共203页 2，3合作在城镇3建厂，则投资为总投资为 1，3合作在城镇3建厂，则投资为该费用超过了1，3分别建厂的费用故该方案无意义。第133页/共203页三城合作在城镇3建厂，则总费用为比较结果，即：选择联合建厂是一个最佳方案。但问题是应该如何分担费用。第134页/共203页 总费用 由三部分构成：联合建厂费城1至城2的管道费城2至城3的管道费第135页/共203页 城3提出：由三城镇按 的比

32、例分担，是城1、2铺设的管道费用，则由他们承担，城2同意，并提出 由城1、2按污水量 的比例分担，而 由城1独自承担，城1不同意。现计算按上面的想法各城应承担的费用：城3：城2：城1：第136页/共203页 上面结果表明：城2、3的分担费用比单独建厂的费用要低，而城1的费用要比单独建厂所花费的费用要高，因而城1不能赞同这种方案。为了促成三城联合建厂，应当寻找合理分担费用的方案。三城的合作节约了投资，产生了效益，可以将其看作是一个 个人的合作问题。联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数，于是有第137页/共203页 三城联合建厂的效益为 由Shapley值作为这个效益的分配，则有表第138页

33、/共203页0400640002504003912231/31/61/61/306.7013得第139页/共203页04025640000040256412231/31/61/61/306.74.1721.3得 最后得第140页/共203页 结果分析：三城镇联合投资建厂的分担费用为：城镇1 城镇2 城镇3 与按比例分担比较：城镇1收益最大，而城镇3“吃亏”。第141页/共203页 3.股东在公司中的权重 某股份公司有4个股东分别持有的股份，公司的决策必须经持有半数以上股份的股东同意才可通过，问这 个股东在公司决策中的权重各多大？该问题可看作为 个人的合作对策，记其中 分别代表持有 股份的股东。

34、特征函数定义为：对 中的任一子集 当其持有的股份超过 时，其余 于是 第142页/共203页 的子集为其余 个子集的 由公式，可计算各个股东的Shapley值 对 经计算可得第143页/共203页01100000011012221/41/121/121/1201/121/120第144页/共203页11110001111033341/121/121/121/41/121/121/120第145页/共203页由此得到 对 相应的数值为第146页/共203页01000000010012221/41/121/121/1201/1200第147页/共203页11111001011033341/121/

35、121/121/401/121/120 得第148页/共203页 同理可计算即权重向量为第149页/共203页 Shapley值方法的确定及解决方法 Shapley值方法以严格的公理为基础，在处理合作对策的分配问题时具有公正、合理等优点，但是它需要知道所有合作者的获利，即要定义 的所有子集的特征函数，通常情况下这很难办到。例如 个单位合作治理污染，第 方单独治理的投资 和 方合作治理的投资 是已知的，还要知道第 方不参加合作时其余 方所需的投资 特征函数定义为合作的获利，即节约的投资。为此有第150页/共203页除此之外还要计算其它的 这在计算上有一定的困难。以三人经商为例，我们介绍其余的几种

36、方法：第151页/共203页 记 无 参加时其余 方合作的获利记作 记试确定各方对全体合作获利的分配。记作第152页/共203页第153页/共203页第154页/共203页第155页/共203页第156页/共203页第157页/共203页第158页/共203页第159页/共203页第160页/共203页五、团体决策模型 参加评选优秀运动员、优秀产品，选举代表都要有一定的办法。该方法能从各位评判人员对评选对象的评价综合地得出对各个评选对象的总的评价，从而选出优秀者或排出名次。这样一类问题称为团体决策问题，各种评选方法构成团体决策模型。第161页/共203页 一、团体决策函数 设 是由 位评选人组

37、成的集合；设 是由 个被评选对象组成的集合。假设评选方法如此规定：要求每位评选人员 对所有在候选对象集合 中的候选对象给出一个排序第162页/共203页 这里序的定义为：1.对任意的评选对象 必有和 三种关系之一，且只有一种关系成立；2.对任意三个评选对象 若则必有 评选人员的排序组成一个排序组称为 对 的一个分布，要求以此分布为基础确定整个评选人员集合 对候选对象 的所有对象的一个排序第163页/共203页 这个评选结果是由分布 的一种对应关系，称为团体一致函数，记作 （一）、简单多数原则 如果在排序 中有关系 成立，则称有如果在排序 中有关系 成立，则称有 简单多数原则是：当且仅当有 成立

38、的 超过 的一半时，就认为有 成立。然后根据一系列对象间的上述形式的关系来排出总序。第164页/共203页 例如，取 给出分布显然，使 成立的 的个数是 故有 使 成立的 的个数为 故有 同理，最后得排序为第165页/共203页 简单多数原则的一个缺陷：产生循环。例结果：从而无法给出排序。第166页/共203页 （二）、Borda数原则 记 为排序 中劣于 的 的元素的个数，称为对 的Borda数，而称为 的Borda数。Borda数原则是：当且仅当 时就认为有 且两个式中的等号是同时成立的。然后再根据一系列对象间的上述形式的关系来派出总序。第167页/共203页 在排序中，各个对象的Bord

39、a数依次为3227230501230011 再由，得第168页/共203页 由此得相应的排序为：此与用简单多数原则所获得的结果是一致的。但是，Borda也有失效的时候。例如对 分布第169页/共203页相应的Borda数表为5555020444452133334162222311111126000011第170页/共203页于是有得出总的排序 但是，按简单多数原则来排序的话，则排序为 此排序似乎更为合理。第171页/共203页 二、Arrow公理 设 为选民的集合，为候选人的集合。称一个分布 为一次投票，称 为选民 的投票；称团体决策 为选举结果，团体一致函数 是从每个选民的投票来确定选举结果

40、的选举程序。Arrow在1951年提出选举程序应满足的四条公理：第172页/共203页 公理1 对任何一对候选人 和 都可能存在一次投票，根据选举程序能确定 公理2 如果选举程序根据第一次投票的结果确定了 在第二次投票时每个选民 的投票 中 的次序与第一次相同，或则是提前了，而其他候选人的次序不变，则选举程序根据第二次投票也应该有 公理3 设 为 的一个子集，如果在两次投票中每个选民对在 中的的各候选人的排序不变，则在选举第173页/共203页中排序不变，则在选举程序所确定的两次选举结果中，中的各候选人的排序相同。公理4 不能存在这样的选民 使得对任一对候选人 和 只要他的投票 中有 就能确定

41、有 现在的问题是，有没有满足这四条公理的选举程序呢？下面的情况说明这个问题与候选人数和选民人数有关。第174页/共203页 当 或 时，这样的选举是无意义的；当 或 时，简单多数原则所确定的选举程序就是满足四条Arrow公理的选举程序。当 且 情况时，不存在满足四条Arrow公理的选举程序。该结论说明了：如果你认为只有满足Arrow公理的选举程序才是公平合理的，那么这样的选举程序是不存在的！第175页/共203页 三、联合尺度 对于某种评选对象（例如酒）可以按照某个指标（例如甜度）在区间 上标记出它的位置；而每位评选者都按自己的标准认定了在区间 上的某个位置是最理想的。于是在区间 上就有两个尺

42、度，称它为联合尺度。设 为四个候选对象，它们各处于 和 的位置上；有 三位评选者，他们各认定第176页/共203页和 是最佳位置。我们将评判者 所认定的理想位置也记作 按联合尺度可得到每位评判者的排序：如果对象离开 近的就排在前面，距离相等的就认为名次相同。于是按下图所确定的排列为：再由简单多数原则决定出的排列是第177页/共203页可以看到：为标准在联合尺度的居中的评判者，而他的排序正好是与简单多数原则确定的排序 相同。第178页/共203页定理 设候选人集合为 选民集合为 且选民的个数为奇数个，又设按联合尺度得到的投票结果记为而所有这样的投票结果的全体组成集合 设有 中的一次投票，而 是在

43、联合尺度上居中的那位选民，则按照简单多数原则所确定的选举结 与 是一致的，并且简单多数原则符合Arrow公理。第179页/共203页第180页/共203页第181页/共203页第182页/共203页第183页/共203页第184页/共203页第185页/共203页第186页/共203页六、层次分析模型 层次分析法是等人在70年代初提出和广泛应用的方法。它不仅可用来在工程技术、经济管理、社会管理、社会生活等方面进行决策，而且可用来进行分析和预报，它是近年来发展起来的系统分析的重要数学工具之一。第187页/共203页 假设有三个旅游地点 可供选择，要考虑的的因素有五个：费用 景色 居住条件 饮食条

44、件 和交通条件 旅游者的最后决策为 设每个因素对三个地点的权重都是以知的，它们为 设旅游者在考虑旅游地点时对每个因素的（偏爱）权第188页/共203页重是已知的，它为设旅游者对地点的权重为 则它可以用下列公式来计算：第189页/共203页这样，旅游者就可选择权重繁荣的地点作为选中的旅游地点。第190页/共203页 然而，权重 和 都是不容易确定的。因此引处了许多进一步的问题。第191页/共203页（一）、成对比较法，正互反阵和一致阵 要判断 个因素 对目标 的影响，即确定各个因素在 中的比重是比较困难的。如果每次取两个因素 和 来比较容易多了。设 为 和 对 的影响之比，则全部的比较结果可用矩

45、阵表示为称为成对比矩阵，显然有性质第192页/共203页满足和的矩阵称为正互反矩阵。对于正互反矩阵，则有 我们的目标是从正互反矩阵出发，得到比重向量第193页/共203页其中 表示因素 对目标 的影响所占的比重。若比重向量 已知，则容易得到成对比矩阵 注意到这个矩阵中的每一个列向量都是成比例的，并且满足关系第194页/共203页 若正互反矩阵 满足则称该矩阵是一致性矩阵，简称为一致阵。性质1 第195页/共203页第196页/共203页第197页/共203页第198页/共203页六、练习 1.某甲（农民）有一块土地，若他在这块土地上从事农业生产，每年可收入10000元；若他将这块土地出租给某乙

46、（企业家）用于工业生产，则每年可获得收入20000元；若租给某丙（旅店老板）用于旅游业，则可获得收入30000元；若旅店老板请企业家参与经营时每年收入可达40000元。试用Shapley值方法求分享甲乙丙三人合作所得的40000元收入。第199页/共203页 2.某委员会有100个席位，有三个派别分别拥有34席、33席和33席。法律规定每一提案需要有超过半数的赞成票时方能通过。假定每个派别的成员同时头赞成或反对票，试用合作对策模型求三个派别在表决时各自占的比重。如果三个派别分别拥有49，48和3席时，结果又如何？第200页/共203页第201页/共203页第202页/共203页感谢您的观看！第203页/共203页