线性系统理论全.pptx

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1、2.1 2.1 基本概念基本概念2.1.1 2.1.1 定义定义(1)(1)状态：状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况(2)(2)状态变量：状态变量：能够完全表征系统运动状态的能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：最小一组变量：表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 当当时的输入时的输入给定，且上述给定，且上述时的行为时的行为 状态确定时，状态变量能完全确定系统状态确定时，状态变量能完全确定系统初始初始在在第1页/共299页(5)(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：的、一阶微分方程（组）：作为分量的向量，

2、即作为分量的向量，即(3)(3)状态向量：以系统的状态向量：以系统的 个独立状态变量个独立状态变量为为(4)(4)状态空间状态空间:以状态变量以状态变量 维空间。维空间。标轴构成的标轴构成的坐坐第2页/共299页输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：(6)(6)(7)(7)状态空间表达式：状态空间表达式：(5)+(6).(5)+(6).状态变量的特点：状态变量的特点：(1)(1)独立性：状态变量之间线性独立独立性：状态变量之间线性独立.(2)(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存

3、在无穷多种方案际上存在无穷多种方案.(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换变换.第3页/共299页(4)(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量.(5)(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义.2.1.2 2.1.2 状态空间表达式的一般形式：状态空间表达式的一般形式：(1)(1)线性系统线性系统第4页/共299页2.2 线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例 以上方程可表为形如 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表

4、达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。1/7,5/501/7,5/50第5页/共299页机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 2/7,6/502/7,6/50第6页/共299页连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 3/7,7/503/7,7/50第7页/共299页连续时间线性系统的方块图 4/7,8/504/7,8/50第8页/共299页人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%

5、的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数 写成矩阵形式5/7,9/505/7,9/50第9页/共299页离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统6/7,10/506/7,10/50第10页/共299页离散系统状态空间描述的特点：一是:状态方程形式上的差分型属性（

6、即：状态方程为差分方程。）二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。）三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。离散时间线性系统的方块图7/7,11/507/7,11/50第11页/共299页2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元素为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统。若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为

7、线性系统。1/2,12/501/2,12/50第12页/共299页时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间

8、按确定的规律而变化的.称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 2/2,13/502/2,13/50第13页/共299页2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 1/18,14/501/18,14/50第14页/共299页结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=n,即系统为真情形证明：设 2/18,15/502/18,15/50第15页/共

9、299页可见 3/18,16/503/18,16/50第16页/共299页令 有 4/18,17/504/18,17/50第17页/共299页(2)mn,即系统为严真情形 写成矩阵形式：5/18,18/505/18,18/50第18页/共299页结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出(1)m=0情形此时输入输出描述为:选取n个状态变量 6/18,19/506/18,19/50第19页/共299页其对应的状态空间描述为:7/18,20/507/18,20/50第20页/共299页例例2.2 2.2 考虑系统考虑系统试写出其能控标准型状态空

10、间表达式试写出其能控标准型状态空间表达式。则状态空间表达式为：则状态空间表达式为：选择状态变量：选择状态变量：第21页/共299页(2)m0情形此时输入输出描述为:a:8/18,21/508/18,21/50第22页/共299页其对应的状态空间描述为:其中9/18,22/509/18,22/50第23页/共299页b:改写为 令 10/18,23/5010/18,23/50第24页/共299页结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：其极点即分母方程的根 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1)m t0的有限时间区间t0,t1内，存在一个无约束的控制矢量u

11、(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。定义1/3,1/451/3,1/45第91页/共299页能控性，能达性定义 对连续时间线性时变系统 如果存在一个时刻 以及一个无约束的容许控制u(t)使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1J,t1t0,以及一个无约束的容许控制u(t),tt0,t1,使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达

12、性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性系统，能控性和能达性一般为不等价。定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。2/3,2/452/3,2/45第92页/共299页定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t0J均为完全能控/能达，则称系统

13、为一致完全能控/能达。能观测性定义对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0J,如果存在一个时刻t1J，t1t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)0，tt0,t1，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性

14、是等价的。3/3,3/453/3,3/45第93页/共299页42 连续时间线性系统的能控性判据 结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 证明 充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的 1/8,4/451/8,4/45第94页/共299页反证法 必要性 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。由于是奇异的，故的行向量在t0,t1上线性相关，必存在非零的行向量，使在t0,t1区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)=T,则 说明=0,矛盾 2/8,5/452/8,5/45第95页/共299页结论2：连续时间线性时不变系统：完全能控的充分必

15、要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 3/8,6/453/8,6/45第96页/共299页结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQ c=n 结论5n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：rankSI-AB=n,或为系统特征值结论6：n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所

16、有特征值i，使同时满足TA=i T ，TB=0 的左特征向量T=0。4/8,7/454/8,7/45第97页/共299页结论7：对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。5/8,8/455/8,8/45第98页/共299页例 图示电路，判断系统能控性条件 解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：6/8,9/456/8,9/45第

17、99页/共299页（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例 系统能控的充分必要条件是向量组bl11、bl12、bl13线性无关以及bl21线性无关（即不为零）。7/8,10/457/8,10/45第100页/共299页定义：令 对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：使“rankQk=n”成立的最小正整数k。结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数n。结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：多输入连续时间线性时不变

18、系统，状态维数为n，输入维数为p，且rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：8/8,11/458/8,11/45第101页/共299页43 连续时间线性系统的能观测性判据 结论1：线性时变系统在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵 为非奇异。1/5,12/451/5,12/45第102页/共299页结论3：n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1J，t1t0，,使 2/

19、5,13/452/5,13/45第103页/共299页结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即rankQ o=n 结论5n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量 3/5,14/453/5,14/45第104页/共299页结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。结论8：对n维连续时

20、间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是：特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。4/5,15/454/5,15/45第105页/共299页定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 使“rankQk=n”成立的最小正整数。结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为n。结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：对多输出连续时间线性时不变系

21、统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是：5/5,16/455/5,16/45第106页/共299页4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控性和能观性判据定义 离散时间线性时变系统 如果对初始时刻hJk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻lJk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控；如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻lJk,lh和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻lJk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1 离散时间线性时变系统

22、在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 为非奇异 1/8,17/451/8,17/45第107页/共299页结论2 若系统矩阵G(k)对所有 kh,l-1 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能控的充分必要条件为，存在时刻lJk,lh，使格兰姆矩阵 为非奇异 若系统矩阵G(k)对一个或一些kh,l-1奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。若系统矩阵G(k)对所有kh,l-1非奇异，则系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。2/8,18/452/8,18/45第108

23、页/共299页时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l 0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l 0，使格兰姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。3/8,19/453/8,19/45第109页/共299页结论4 n维离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为矩阵 满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。结论5 对于单输入离散时

24、间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制 则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。4/8,20/454/8,20/45第110页/共299页例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1,0T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解 系统是能控的 5/8,21/455/8,21/45第111

25、页/共299页令若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。6/8,22/456/8,22/45第112页/共299页时变系统的能观测性判据结论6 离散时间线性时变系统在时刻hJk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻lJk,l h,使格兰姆矩阵 为非奇异 时不变系统的能观测性判据 结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l0,使格兰姆矩阵 为非奇异 7/8,23/457/8,23/45第113页/共299页结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 满秩 结论9 若单输出

26、离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态 8/8,24/458/8,24/45第114页/共299页4.5 对偶性定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统其中,状态X为n维行向量,协状态为n维行向量 输入u为p维列向量,输入为q 维行向量 输出Y为q维列向量,输出为p 维行向量 结论10 :原构系统的状态转移矩阵 与对偶系统的状态转移矩阵 之间满足如下关系 1/2,25/451/2,25/45第115页/共299页结论11 设为原构线性系统,d为对偶线性系统,则有 完全能控 d 完全能观测 完全能观测 d 完全能控 2/

27、2,26/452/2,26/45第116页/共299页4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 对应的时间离散化系统 其中G=eAT H=A的特征值 结论12 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。证明 用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则rankH、GH、G2H、Gn-1H=n 1/3,27/451/3,27/45第117页/共299页容易验证 为可交换阵，故 由于eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故 连续系统是能控的，矛盾。本定理也可叙

28、述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。2/3,28/452/3,28/45第118页/共299页结论13：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：不是A的特征值。其中k为非零整数 结论14 对时间离散化，使采样周期T的值 则时间离散化系统能控的充分必要条件是 eATB为行线性无关 结论15 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。3/3,29

29、/453/3,29/45第119页/共299页4.7能控性、能观测性与传递函数的关系 结论16 如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消 结论17 单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。结论18 单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明：单输入、单输出系统动态方程

30、为 如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即：1/4,30/451/4,30/45第120页/共299页状态方程可写为：在初始条件为零的情况下，拉氏变换得 对输出方程拉氏变换 此式即为传递函数的部分分式 2/4,31/452/4,31/45第121页/共299页若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n

31、）系统是既能控又能观测的。3/4,32/453/4,32/45第122页/共299页例 设单输入、单输出系统的传递函数 由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）结论20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）4/4,33/454/4,33/45第123页/共299页48能控规范形和能观测规范形：SISO情形 结论21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇

32、异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。定义 一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 1/5,34/451/5,34/45第124页/共299页结论22：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 则通过变换矩阵 2/5,35/452/5,35/45第125页/共299页可将系统变换成能控规范形，即导出 3/5,36/453/5,36/45第126页/共299页定义 一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形 结论23：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系

33、统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换 导出 4/5,37/454/5,37/45第127页/共299页其中5/5,38/455/5,38/45第128页/共299页49 能控规范形和能观测规范形MIMO情形 旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形 1/1,39/451/1,39/45第129页/共299页410连续时间线性时不变系统的结构分解 系统按能控性分解 设不能控系统的动态方程为 其能控性矩阵的秩为 rn，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1 其中 1/6,40/451/6,40/45第130页/共299页经非奇异变换后，系

34、统的动态方程写为 于是可得能控子系统动态方程为：不能控子系统动态方程为 2/6,41/452/6,41/45第131页/共299页例 已知 试按能控性进行规范分解 解 系统不完全能控，取 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 3/6,42/453/6,42/45第132页/共299页系统按能观测性分解 设不能观测系统的动态方程为 其能观测性矩阵的秩为ln，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T 能观测子系统动态方程为 不能观测子系统动态方程为 4/6,43/454/6,43/45第133页/共299页系统按能控性和能观测性的标准分解 设系统（A、B、C）不能控、不

35、能观测，可先对系统按能控性分解，即令 再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解 最后得到 5/6,44/455/6,44/45第134页/共299页经T-1变换后，系统的动态方程为 能控、能观测子系统动态方程为：能控、不能观测子系统动态方程为 不能控、能观测子系统动态方程为 不能控、不能观测子系统动态方程为 6/6,45/456/6,45/45第135页/共299页第第5 5章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性 51 外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)1 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 结论1：对

36、零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式 证明考虑SISO情形充分性1/4,1/181/4,1/18第136页/共299页必要性采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使可以取有矛盾结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 2/4,2/182/4,2/18第137页/共299页结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连

37、续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵(t,t0)对所有tt0,+为有界，并满足：结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0，都对应存在另一位赖于和t0的实数(,t0)0，使得满足不等式X0-X

38、e(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)都满足不等式：(t；x0,t0)-Xe 稳定的几何解释李亚普诺夫意义下一致稳定时不变系统的稳定属性李亚普诺夫意义下稳定的实质 1/2,5/181/2,5/18第140页/共299页渐近稳定称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果)Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，）对实数(,t0)0和任给实数0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t0)-Xe，不稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数0为多么大，都不存

39、在对应一个实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t)-Xe，不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 2/2,6/182/2,6/18第141页/共299页53李亚普诺夫第二方法的主要定理 结论7：对连续时间非线性时变自治系统 X=0为系统

40、平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(x)和(x)，(0)0，(0)0，使对所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0)V(x,t)对时间t的导数负定且有界。)当x，有V(x,t)则系统的原点平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。结论8：对连续时间非线性时不变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：）V(x)为正定)为负定)当x，有V(x)则系统原点的平

41、衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。1/4,7/181/4,7/18第142页/共299页例设系统状态方程为坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解 取一正定的标量函数 为一负定的标量函数，且系统是大范围渐近稳定的。2/4,8/182/4,8/18第143页/共299页结论9 小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：V(x,t)为正定且有界；为负定且有界；则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。结论10小

42、范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；为负定 则系统原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 3/4,9/183/4,9/18第144页/共299页结论11 小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；为负半定 对任意非零x0 则原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 结论 12不稳定

43、性定理 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：（）V(x,t)为正定且有界；（）为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。4/4,10/184/4,10/18第145页/共299页54 构造李亚普诺夫函数的规则化方法 变量梯度法设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态，(1)设V(x)的梯度为(2)设梯度V(x)对应于有势场，则旋度rotV(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出V(x)(5)1/3,11/181

44、/3,11/18第146页/共299页(6)判断V(x)计算结果的正定性克拉索夫斯基方法设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态，系统雅可比矩阵 克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BJ（x）+BJ（x）T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：V（x）=f（x）TBf（x）如果 则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。2/3,12/182/3,12/18第147页/共299页例确定平衡状态x=0的稳定性 解 取B=I 为对

45、称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的 3/3,13/183/3,13/18第148页/共299页55 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 线性时不变系统的稳定性判据 结论14特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论15特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部 结论16李亚普诺夫判据 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳

46、定的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。结论17李亚普诺夫判据推广形式 对n维连续时间线性时不变系统和任给实数0，令矩阵A特征值为i(A),i=1,2,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线j左半开平面上，即成立Rei (A)0，使成立：(t,t0)(t0)0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。结论19基于状态转移矩阵的判据 对连续时间线性时变系统，表（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数(t0)0，使同时成立：(t,

47、t0)(t0)0和20使成立：(t,t0)1e-2(t-t0）系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。2/2,15/182/2,15/18第150页/共299页56 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计 对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统 衰减系数定义为 最小衰减系数 设 则 1/1,16/181/1,16/18第151页/共299页57 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 结论20大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(

48、k)，V(x(k)为负定；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。结论21大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负半定；（）对由任意非零初始状态x(0)n确定的所有自由运动x(k)的轨线，V(x(k)不恒为零；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。1/2,17/181/2,17/18第152页/共299页结论22特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点

49、平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值i(G)（i=1,2,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。结论23特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。结论24李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定nn正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一nn正定对称解阵P。结论25扩展李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数0为幂指数稳定，即G的特征值满足：i(G)

50、,01,i=1,2,n的充分必要条件为：对任一给定nn正定对称矩阵Q，扩展离散型李亚普诺夫方程 （1/）2GTPG-P=-Q 有唯一nn正定对称解阵P。2/2,18/182/2,18/18第153页/共299页第六章线性反馈系统的时间域综合第六章线性反馈系统的时间域综合 61 引言综合问题的提法系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成 所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 性能指标的类型 1/1,1/401/1,1/40第154页/共299页62 状态反馈和输出反馈 状态反馈设连续时间线性时不变系统 状态反