测量平差第四章.pptx

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1、测绘工程专业主干课：专业基础主要课程：测量学（5）、测量平差基础（5）、控制测量学（5）、摄影测量学（4）、测绘数据计算机处理（3）专业课：GPS（4）、GIS（3）、工程测量（4）、数字制图（3）、近代平差（2）等第1页/共203页测绘科学与技术v 大地测量与测量工程v 摄影测量与遥感v 地图制图与地理信息系统工程 数学政治英语测量平差第2页/共203页课程安排前修课程：高数、几何与代数、概率与数理统计课程分两个学期进行：第二学年上学期：3学分 第三学年下学期：2学分后续课程：测绘数据的计算机处理、控制测量、近代平差第3页/共203页教学方式与内容讲授为主，例题、习题相结合。内容：本学期主要

2、讲前五章的内容。参考书目：测量平差原理，於宗俦等，测绘出版社 误差理论与测量数据处理，测量平差教研室，测绘出版社。第4页/共203页第一章 绪论第一节观测误差第二节补充知识停止返回第5页/共203页第一章第一章 绪论绪论第一节：概述 1、测量平差的研究对象误差 任何量测不可避免地含有误差 v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.停止返回第6页/共203页误差：测量值与真值之差由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。停止返回第7页/共203页产生误差的原因产生误差的原因测量仪器：i角误差、2c误差观测者：人的分

3、辨力限制外界条件：温度、气压、大气折光等三者综合起来为观测条件停止返回第8页/共203页误差的分类系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。停止返回系统误差的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数第9页/共203页误差的分类偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。不可避免，测量平差研究的内容粗差：错误停止返回第10页/共203页停止返回测量平差的任

4、务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量第11页/共203页停止返回测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，从概率统计角度，提出了最小二乘1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年，天体运动的理论第12页/共203页停止返回测量平差产生的历史最小二乘法原理的两次证明形成测量平差的最基本模型1912年，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：测量平差理论的扩展第13页/共2

5、03页补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：停止返回第14页/共203页(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。停止返回第15页/共203页（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。停止返回第16页/共203页矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有

6、相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）停止返回第17页/共203页二、矩阵的转置对于任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：停止返回第18页/共203页矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。停止返回第19页/共203页三、矩阵的逆给定一个n阶方阵A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：lA

7、矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵停止返回第20页/共203页矩阵的逆的性质停止返回第21页/共203页矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。停止返回第22页/共203页矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：停止返回第23页/共203页概率与数理统计内容随机变量误差分布曲线概率密度曲线数学期望方差停止返回第24页/共203页第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标第四节协方差传播律停止返回第五节协方差传播律在

8、测量上的应用第六节协方差传播律第七节权与定权的常用方法第八节协因数与协因数传播律第25页/共203页第二节 偶然误差的规律性观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示。真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用表示。一、几个概念真误差：观测值与真值之差，一般用 i=-Li表示。第一节概述停止返回第26页/共203页观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：停止返回第27页/共203页 二、偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的

9、间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.

10、60000000和1810.5051770.495停止返回第28页/共203页l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801

11、.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501停止返回第29页/共203页(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:停止返回面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1第30页/共203页频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475频数/

12、d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。第31页/共203页1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零，即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：停止返回第32页/共203页第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程

13、度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。第33页/共203页频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差停止返回可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低且平缓，精度低第34页/共203页一、方差/中误差f()0 0.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1第三节衡量精度的指标停止返

14、回方差：中误差：提示：越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。第35页/共203页方差的估值：第36页/共203页二、平均误差停止返回在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。与中误差的关系：第37页/共203页三、或然误差f()0闭合差50%停止返回第38页/共203页四、极限误差四、相对误差中误差与观测值之比，一般用1/M表示。第39页/共203页第四节 协方差传播律一、协方差对于变量X，Y，其协方差为：停止返回第40页/共203页表示X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立。表示X、Y间相关第41页/共203页对于向量X=X1，X2，XnT，将其

15、元素间的方差、协方差阵表示为：停止返回矩阵表示为：方差协方差阵第42页/共203页特点：I对称II正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元相等时，为等精度观测。第43页/共203页若：若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测量。第44页/共203页二、观测值线性函数的方差已知：那么：停止返回证明：设：那么：第45页/共203页停止返回第46页/共203页例1:设 ，已知 ，求 的方差 。例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?停止返回第47页/共203页二、多个观测值线性

16、函数的协方差阵已知：停止返回第48页/共203页停止返回例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求第49页/共203页四、非线性函数的情况设有观测值X的非线性函数：已知：第50页/共203页停止返回将Z按台劳级数在X0处展开：第51页/共203页第52页/共203页例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。ABPmssmump停止返回第53页/共203页协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函

17、数进行线性化协方差传播停止返回第54页/共203页a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)N(s)ABTP1TP2TPN-1协方差传播在测量中的应用一、水准测量的精度停止返回第55页/共203页作业1、在高级水准点A、（高程为真值）间布设水准路线，如下图，路线长分别为，设每公里观测高差的中误差为，试求：（1）将闭合差按距离分配之后的p1、p2点间高差的中误差；（2）分配闭合差后P1点的高程中误差。AP1P2B作业2、在相同条件下，观测两个角度A=150000，B=750000，设对A观测4个测回的测角精度（中误差）为3，问观测9个测回的精度为多少？停止返回第56页/共203页第七节权与定权

18、的常用方法一、权的定义称为观测值Li的权。权与方差成反比。第57页/共203页（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个0。（四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。第58页/共203页二、单位权中误差三、常用的定权方法1、水准测量的权或第59页/共203页2、边角定权停止返回第60页/共203页第八节协因数与协因数传播律一、协因数与协因数阵第61页/共203页不难得出：QXX为协因数阵第62页/共203页特点：I对称，对角元素为权倒数II正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，单位阵。第63页/共203页二、权阵第64页/共203页第一节测量

19、平差概述第二节测量平差的数学模型第三节参数估计与最小二乘原理停止返回第65页/共203页一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。停止返回第66页/共203页必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观

20、测一般用t表示。停止返回特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数第67页/共203页多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。第68页/共203页二、测量平差必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh

21、1h6h5h2h4h3停止返回实际上：第69页/共203页第二节测量平差的数学模型一、条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。停止返回第70页/共203页三、附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独

22、立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。停止返回第72页/共203页五、平差的随机模型数学模型停止返回函数模型随机模型：第73页/共203页第三节函数模型的线性化条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值：取的初值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：第74页/共203页停止返回第75页/共203页一、条件平差法二、间接平差法第76页/共203页三、附有参数的条件平差法四、附有限制条件的间接平差法第77页/共

23、203页第四节参数估计与最小二乘原理为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：条件的个数r=n-tn，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。停止返回第78页/共203页例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：第79

24、页/共203页写成矩阵：间接平差函数模型第80页/共203页第81页/共203页二、最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：停止返回第82页/共203页其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量。停止返回第83页/共203页由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极

25、大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。停止返回第84页/共203页第四章条件平差第一节条件平差原理第二节条件方程第三节精度评定第四节水准网平差示例停止返回第85页/共203页第一节条件平差原理一、基础方程和它的解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回数学模型第86页/共203页求其一阶偏导数，并令其为0：上式也称为法方程式停止返回第87页/共203页二、条件平差的计算步骤停止返回1.根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r。2.根据条件式的系数，闭合差及观测值的权组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r。3.解算法方程，求出联系数K

26、值。4.将K值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值5.为了检查平差计算的正确性，常用平差值 重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程。第88页/共203页BADh1h4h2h3C第89页/共203页BADh1h4h2h3C第90页/共203页h1=+1.596mn1=3h2=-0.231mn2=4h3=+4.256mn3=12h4=-5.642mn4=6123第91页/共203页第二节条件方程一、水准网列条件的原则：1、闭合水准路线2、附合水准路线包含的线路数最少为原则停止返回第92页/共203页h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回

27、第93页/共203页二、测角网4个必要的起算数据为：一个已知点（2个坐标）一个方位（1个）一个尺度（1个两已知点（4个坐标）停止返回第94页/共203页列条件的原则：将复杂图形分解成典型图形。条件类型：图形条件、圆周条件、极条件、固定方位条件、固定边长条件、固定坐标条件三角形大地四边形中心多边形扇形停止返回第95页/共203页AFEDCBG16543211109872220211918171615141312S、T第96页/共203页第三节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵停止返回第97页/共203页第四节水准网平差示例例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与

28、观测数据列于下表。按条件平差求各点的高称平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回第98页/共203页解：1、列条件方程停止返回第99页/共203页2、定权取C=1，则：3、形成法方程停止返回第100页/共203页4、解算法方程5、计算改正数6、计算平差值7、计算高程平差值停止返回第101页/共203页作业1：如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P

29、3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表。线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.1004A5.00022.3982B3.95330.2004C7.65041.000253.404263.4524AoooBC123456P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用条件平差法求P1、P3、P3点高程的平差值。第102页/共203页第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评定第四节平差示例第五章间接平差停止返回第103页/共203页第一节间接平差原理一、基础方程和它的

30、解按函数极值的求法，极值函数：求其一阶偏导数，并令其为0：停止返回第104页/共203页代入误差方程：即为法方程式停止返回第105页/共203页二、间接平差法平差步骤1、选择t个独立的未知参数2、将每个观测值表示成未知参数的函数，形成误差方程。3、形成法方程4、求解法方程5、计算改正数6、精度评定第106页/共203页一、确定待定参数的个数水准网测角网测边网边角网第二节误差方程停止返回GPS网采用GPS尺度与方位不采用GPS尺度与方位第107页/共203页二、参数的选取高程控制网：待定点的高程平面控制网：待定点的二维坐标三维控制网：待定点的三维坐标停止返回第108页/共203页三、误差方程的组

31、成1、水准路线的误差方程ijXiXjhij当i点已知时：当j点已知时：停止返回第109页/共203页2、方向的误差方程N零方向jkl定向角未知数设j、k的坐标为未知参数：即：零方向的方位角jk的方位角为：停止返回第110页/共203页为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回第111页/共203页停止返回第112页/共203页停止返回第113页/共203页停止返回第114页/共203页停止返回第115页/共203页停止返回第116页/共203页当j点已知时：停止返回第117页/共203页当k点已知时：停止返回第118页/共203页

32、2、距离的误差方程jk设j、k的坐标为未知参数：jk的距离为：停止返回第119页/共203页为非线性函数，要进行线性化。对上式在初始近似值处进行Taylor级数展开，略去二次以及二次以上项：停止返回第120页/共203页停止返回第121页/共203页停止返回第122页/共203页停止返回第123页/共203页当j点已知时：停止返回当k点已知时：第124页/共203页第三节精度评定二、协因数阵一、计算单位权中误差停止返回第125页/共203页测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精

33、度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及精度。已知数据见下表。第四节平差示例停止返回第126页/共203页点名坐标（m）边长方位角X（m)Y（m)A9684.2843836.82B10649.5531996.5011879.602743938.4C19063.6637818.8610232.16344056.3D17814.6349923.1912168.60955329.1A10156.112164906.5角度编号观测值角度编号观测值角度编号观测值11261424.17220243.013463856.42233946.981300314.214663454.733005

34、46.79275359.315664608.241172246.210655500.816295835.55312650.011670249.4171200831.16311022.612470211.418295255.4停止返回第127页/共203页解：n=18,t=2*6-4-4=4,r=18-4=14设P1、P2点的坐标作为未知参数X1、Y1、X2、Y2，根据前方交会可以求出P1、P2的近似坐标：根据角度的误差方程：停止返回第128页/共203页VBxl停止返回第129页/共203页定权，P为单位阵，形成法方程为：停止返回第130页/共203页精度评定：停止返回第131页/共203页例

35、：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号观测高差（m）路线长度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B第132页/共203页解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设P1、P2点的高程为未知参数求相应的近似值列误差方程：h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B第133页/共203页写成矩阵的形式：

36、定权，取C=1第134页/共203页第135页/共203页例：线号高差（m）路线长度（km）点号高程（m）11.6524.5A34.7882-0.4183.1B35.25930.7143.4C37.82541.2433.85-0.5774.26-0.7862.5BoooAC165423P1P2P3如图所示的水准网，A、B、C已知水准点，P1、P3、P3为待定点，已知水准点的高程、各水准路线的长度及观测高差列入下表试用间接平差法求P1、P3、P3点高程的平差值估算精度。第136页/共203页解：1、列误差方程n=6,t=6-1-2=3,r=6-3=3设P1、P2、P3点的高程为未知参数求相应的近

37、似值列误差方程：BoooAC165423P1P2P3第137页/共203页定权，取C=1第138页/共203页第139页/共203页第140页/共203页第一节基础方程和它的解第二节精度评定第六章附有参数的条件平差停止返回第141页/共203页一、测量平差方法回顾（1）条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。停止返回在最小二乘原则下有：第142页/共203页（2）间接平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：在最小二乘原则下有：第143页/共203页（3）附有参数的条件平差

38、法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut，则u个未知参数间肯定存在u-t个函数关系，称为约束条件。第156页/共203页联合基础方程第157页/共203页基础方程线性化形式：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：停止返回第158页/共203页求其一阶偏导数，并令其为0：法方程式停止返回第159页/共203页写成矩阵形式：第160页/共203页显式表示：第161页/共203页第二节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵停止返回第162页/共203页三、平差值函数的协因数第163页/共203页四、附有限制条件平差

39、的间接平差计算步骤1.根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与限制条件。2.根据观测值的权组成法方程式。3.解算法方程，求出联系数X与K值。4.将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与参数平差值。5.精度评定。第164页/共203页例：如图，A、B是已知的高程点，P1、P2、P3是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间接平差求各点的高程平差值。路线号路线号观测高差观测高差（m）路线长度路线长度（km）已知高程已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016hAB=1.0002+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381

40、.47-0.5952.5h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B第165页/共203页解：1、列误差方程n=7,t=5-1-1=3,r=7-3=4设B、P1、P2、P3点的高程为未知参数相应的近似值列误差方程：U=4，S=1h2AP3h1h3h4h5h6h7P1P2B第166页/共203页定权，取C=1限制条件：第167页/共203页第168页/共203页第八章概括平差函数模型停止返回第二节基础方程和它的解第三节精度评定第一节概述第169页/共203页一、平差模型的回顾（1）条件平差法观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程个数c。停止返回（2）间接平差法观测数为n，必要

41、观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：第170页/共203页（3）附有参数的条件平差法观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有u个独立量作为参数，而0ut，包含t个独立参数，则条件个数r+u,其中，有s个限制条件：第171页/共203页二、条件方程式形式停止返回一般条件方程式,用C表示个数限制条件式第172页/共203页（1）条件平差法:停止返回（2）间接平差法:（3）附有参数的条件平差法（4）附有限制条件的间接平差法第173页/共203页三、概括平差模型的引入停止返回对于一个几何模型，独立参数的个数

42、u满足：条件平差间接平差附有参数的条件平差第174页/共203页停止返回对于一个几何模型，可选参数的个数u：相关包含独立参数数t包含独立参数数=t附有限制条件的间接平差概括平差第175页/共203页观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，现有u个参数，则条件个数r+u,其中，设u个参数中其中可以形成s个限制条件，一般条件个数为：c=r+u-s:四、概括平差模型停止返回线性化c+s=r+u第176页/共203页一、基础方程：第二节基础方程和它的解条件平差第177页/共203页间接平差独立第178页/共203页附有参数的条件平差独立第179页/共203页包含t个独立附有限制条件的间接平差

43、第180页/共203页二、基础方程的解：按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：第181页/共203页代入第二式得：第182页/共203页第183页/共203页第184页/共203页条件平差第185页/共203页独立间接平差第186页/共203页附有参数的条件平差独立第187页/共203页包含t个独立附有限制条件的间接平差第188页/共203页第三节精度评定一、计算单位权中误差二、协因数阵停止返回第189页/共203页第九章 误差椭圆第一节概述第二节点位误差停止返回第三节误差曲线第190页/共203页第191页/共203页yox第一节：概述真位置平差后位置点位真位差第192页/共203页对

44、两边取数学期望：点位方差第193页/共203页yoxX/y/同理：点位中误差与坐标系的选择无关。第194页/共203页第二节点位误差一、点位误差的计算在平面网的间接平差中，设点的坐标为未知参数：第195页/共203页第196页/共203页测角网间接平差算例：ABDC123456789121110131415161718P2P1设有一测角三角网，A、B、C、D为已知点，P1、P2为待定点，同精度观测了18个角度，按间接平差求平差后P1、P2点的点位精度。停止返回第197页/共203页平差得：停止返回第198页/共203页停止返回第199页/共203页yxp二、任意方向的位差第200页/共203页xEyFOP第三节误差曲线第201页/共203页yxEPDFo第四节误差椭圆第202页/共203页感谢您的观看。第203页/共203页