理学高等数学15.pptx

《理学高等数学15.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理学高等数学15.pptx（228页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、柯西（17891857）1805年柯西进入综合工艺学院(EcolePolytechnique)，1807年毕业后，进入一所工程学院EcoledesPontsetChausse深造。在投入拿破仑军队，从事运河或港口工程等烦冗事务的同时，柯西（17891857）法国数学家，生卒于巴黎。在分析学与数学物理卓有贡献，也是微积分严格化的第一人。柯西努力研读Laplace的天体力学与Lagrange的函数理论，1815年之前，柯西想在学术圈谋取教职的心愿一直不顺遂。第1页/共228页柯西关于微积分基础的最具代表性的著作是他的分析教程（1821）、无穷小计算教程（1823）、以及微分计算教程（1829），它

2、们以微积分的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。在此基础上，柯西严格的表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得综合工艺学院的教职。第2页/共228页柯西（17891857）柯西在数学上的贡献不凡，他一生写了令人咋舌的789篇数学论文。从数学史的观点，他最重要的成就或许在于，他是打下分析（实变量或复变量）严格基础的先驱者：另外，柯西在微分方程和复变函数等方面也都做出了卓越贡献。他的科学

3、研究涉猎的范围极其广泛，几乎数学的每一个分支都可以看到柯西的足迹。他还是弹性力学理论基础的建立者，在光学和天体力学等方面，柯西同样做出了贡献。第3页/共228页柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了关键的一布。例如收敛、极限、连续函数的意义（一说在布拉格受Bolzano的影响），无穷级数的收敛条件，复变量函数的定义等。另外他在微分方程、数学物理（弹性理论，光学等）、代数也有很大的贡献，并因此留给后人许多有威力的数学工具：柯西-Kovalevskaya定理，Fourier转换，矩阵的对角化，calculusofresidue等等。第4页/共228页5

4、.1 不定积分（1 1）不定积分概念）不定积分概念（2 2）不定积分的基本性质）不定积分的基本性质（3 3）基本积分公式）基本积分公式1.不定积分的概念与性质 2.换元积分法（1 1）第一类换元积分法）第一类换元积分法（2 2）第二类换元积分法）第二类换元积分法（3 3）分部积分法分部积分法（4 4）有理函数和三角函数的有理式的积分有理函数和三角函数的有理式的积分第5页/共228页1.不定积分的概念与性质定义设f(x)是区间上有定义的函数,如果存在内的可导函数F(x),满足(1)不定积分概念x,x,则称F(x)是f(x)在区间上的一个原函数第6页/共228页例在(，)内已知f(x)2x，由于F

5、(x)x2满足F(x)(x2)2x，所以F(x)x2是f(x)2x在(,)上的一个原函数同理，x23与x2的导数均为2x，因此均为2x的原函数第7页/共228页设F(x)和 (x)为函数f(x)在区间内的两个原函数，那么对任意x,因而 (x)F(x)C这说明f(x)的任何两个原函数之间只差一个常数，由此可见f(x)所有原函数可表达为F(x)C，(其中C是任意常数)若在某区间内F(x)是f(x)的一个原函数，C是任意常数，由于(F(x)C)F(x)f(x)，所以F(x)C也是f(x)在内的原函数由此引入不定积分概念第8页/共228页定义5.1.2 函数f(x)在某区间的所有原函数称为f(x)的不

6、定积分，记作 .其中记号 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量如果F(x)是f(x)在区间内的一个原函数，则.因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再加一个任意常数即可第9页/共228页函数f(x)的不定积分含有任意常数C，因此对每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线图上例中为2x的积分曲线族，为2x过点(0，0)的一条积分曲线因为C可以取任意数值，因此不定积分表示f(x)的一族积分曲线，如图所示这族曲线的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线都彼此平行.第10页/共228页例求函数ysinx

7、的不定积分解因为(cosx)sinx，所以第11页/共228页 并不是任给一个函数都存在原函数，我们有如下结论：如果f(x)在某区间上连续，则在该区间上f(x)原函数一定存在由不定积分的定义，可得另一方面，如果F(x)是可微函数，则上述关系式表明求不定积分是求导数运算的逆运算第12页/共228页例设曲线通过点(0，0)，且其上任一点(x，y)的切线斜率等于横坐标的两倍，求此曲线的方程解设所求曲线方程为yy(x)，由题设，y2x，y(x)是2x的一个原函数，其中C为任意常数，因为曲线过(0，0)点，故00C，C0，于是所求曲线方程为yx2第13页/共228页性质1 两个函数代数和的不定积分，等于

8、各个函数不定积分的代数和(2)不定积分的基本性质 事实上恰为左端被积函数由此知是f(x)g(x)的原函数，因此:性质1对于有限个函数都是成立的.第14页/共228页性质2 不为零的常数因子可移到积分号前.(k是常数，k0).对等式两端微分，即可得证第15页/共228页(3)基本积分公式由于不定积分是微分的逆运算，因此只要将微分公式逆转过来，就可得到基本积分表例如，因为所以因此可得如下基本公式：第16页/共228页(1)(k是常数)；(2)(1)；(3)(x0)；(5)(6)(4)(a0，a1)；第17页/共228页(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)以上公式是求不定积分的基础，务

9、必牢记第18页/共228页例5.1.4验证(x0).证当x0时，(ln|x|)(lnx)当x0时，(ln|x|)故由不定积分定义知第19页/共228页例5.1.5求解第20页/共228页例5.1.6求解此例表明，有时被积函数虽用根式或分式表示，但实际是幂函数遇此情形，应先把它们写为的形式，然后用幂函数积分公式求解第21页/共228页利用基本积分公式和不定积分的两个性质，可以求出一些简单函数的不定积分.例5.1.7求解 此题应首先应用不定积分性质，将积分分项再利用基本积分公式第22页/共228页上例每个不定积分都含有一个任意常数，最后将其合并记作C第23页/共228页例5.1.8求 解 此题不能

10、直接积分，但经被积函数恒等变形后可化为表中的积分上例求解方法是常用的，如下例.第24页/共228页例5.1.9求解第25页/共228页解显然f(0)0，所以f(x)在x0连续，从而f(x)在(，+)上连续于是它的原函数存在，所以 可导的函数应是连续的，由连续性知:cos 0C1C2，即 1C1C2，例5.1.10设x0 x0求x0 x0第26页/共228页取C1C,则C21C.故有x0 x0第27页/共228页2.换元积分法利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步研究不定积分的计算方法.本段把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复

11、合函数的积分法，称为换元积分法，或凑微分法.换元积分法通常分为两类，下面先讲第一类换元法.第28页/共228页(1)第一类换元积分法当复合函数积分不易计算时，由微分形式不变性.先通过“凑微分”，使得，再令，得积分，而此积分可以求出.设f(u)具有原函数F(u)，即由复合函数求导公式因而，由不定积分的定义得到第29页/共228页定理5.1.1若可导，则有换元公式.第一类换元法把原来对变量x的积分，通过变量代换变成对变量u的积分.正确并熟练地运用第一类换元法的关键是大家对求导(或求微分)基本公式的熟知，才能正确地将被积表达式分解为二部分和，即凑出了一个中间变量u,使为基本积分表中的形式.于是有下面

12、的定理：第30页/共228页例5.1.11求解被积函数中是一个复合函数常数因子恰好是中间变量u的导数，再以u2x1代入得因此作变换u2x1，则du2dx，得第31页/共228页例5.1.12求解被积函数中一个因子为剩下的因子5x4恰好是中间变量ux5的导数，这个方法熟悉之后，可不必列出中间变量u，如上例，直接将5x4与dx凑成dx5即可于是有第32页/共228页例5.1.13求解因为与dx可凑成dlnx,故第33页/共228页例5.1.14求解因为故 类似地，不难求得第34页/共228页例5.1.15求解第35页/共228页例5.1.16求解第36页/共228页例5.1.17求解由于故第37页

13、/共228页例5.1.18求解故利用由于第38页/共228页例5.1.19求解由于因此利用例第39页/共228页例5.1.20求(a0)解第40页/共228页例5.1.21求解第41页/共228页被积函数为三角函数的题目一般要通过三角函数平方关系和倍角公式及积化和差公式降次，然后用凑微分方法求解例5.1.22求解第42页/共228页例5.1.23求解令lnx=u第43页/共228页例5.1.24设，求解第44页/共228页证设为的原函数,令则则有换元公式定理2(2)第二类换元积分法第45页/共228页第二类积分换元公式第46页/共228页例5.1.25求解的原函数不易求出，考虑作代换换为易求解

14、的形式令则于是dxt2dt代入原式，得第47页/共228页一般来说，当被积函数中含时，可令第48页/共228页例5.1.26求解为同时消去被积函数中的两个根式，令xt 4，则dx4t3dt因此:第49页/共228页当被积函数含有根式时，可作如下三角变换：或含有时，令xasint；含有时，令xatant；含有时，令xasect 第50页/共228页例5.1.27求(a0)解令xasint，dxacostdt，t将变量t换回变量x，由于于是第51页/共228页借助如图的三角形,我们有图于是第52页/共228页例5.1.28求(a0),解令xatant，t,代入所求积分得因为,借助图5.1.3有图第

15、53页/共228页因此其中CC1lna第54页/共228页例5.1.29求(a0)代入所求积分解令第55页/共228页在解上述类型题目时要视被积函数的具体情形，选取尽可能简捷的代换，不要拘泥于上述变量代换，因借助图5.1.4中三角形有图第56页/共228页下面介绍一种常用代换倒数代换例5.1.30求解令，则.于是第57页/共228页 为便于查找，现将上述常用公式添加到基本积分表中：(18)(17)(16)(15)(14)第58页/共228页(22)(21)(20)(19)第59页/共228页例5.1.31求解用配方的方法可将被积函数化为的形式，然后利用公式，得:第60页/共228页例5.1.3

16、2设某产品的边际成本函数为元单位，其中q为产量，已知固定成本为200元，求该产品在产量为q时的总成本解由于C(0)200，所以第61页/共228页从而第62页/共228页3.分部积分法设函数uu(x)与vv(x)都具有连续导数，对这个等式两边取不定积分，得：上式称为分部积分公式，或写为则两个函数乘积的导数公式为移项，得(uv)uvuv，uv(uv)uv.第63页/共228页如果求有困难，而求容易时，就可利用分部积分法求积分第64页/共228页例5.1.33求解设ux，vsinx，第65页/共228页例5.1.34求解设ux，vex，第66页/共228页上题注注意此例若设使积分计算更加复杂由此可

17、见正确选择u与dv是利用分部积分法的关键.选择u和dv一般要考虑两点：(1)v容易求得；(2)要比容易积分.通常我们可按“反对幂三指”的顺序(即反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序)，排在前面的那类函数选作u，排在后面的与dx结合在一起为dv 在使用分部积分公式熟练后，可不必再写出u，v，直接用公式求解即可。第67页/共228页例5.1.35求解第68页/共228页例5.1.36求解第69页/共228页例5.1.37求解移项所以第70页/共228页例5.1.38求解在分部积分中往往要兼用换元法，如下例.第71页/共228页*例5.1.39求解令，则所以第72页/共228页*4

18、.有理函数和三角函数的有理式的积分求积分比求导数困难得多.这是因为导数的定义清楚地给出了求导数的方法，而不定积分的定义并未给出其计算方法；另一方面，初等函数的导数仍是初等函数，但初等函数的原函数却常常不是初等函数.对几种常见类型的函数，还是存在有规律的积分方法的，下面我们介绍两种常见类型函数的积分.第73页/共228页(1)有理函数的积分有理函数的一般形式是(a00,b00),其中P(x)，Q(x)是实系数的互质多项式因为有理假分式(nm)通过多项式除法总可以表示成容易积分的多项式和真分式之和，所以只需讨论真分式的积分若有理函数是真分式(即nm)，则可通过下述步骤求它的不定积分：第74页/共2

19、28页第一步：在实数范围内，将多项式Q(x)分解成一次因式和二次质因式的乘积，即形如(其中各二次因式有p24q0,，r24s0);第二步：将真分式 分解成如下部分分式之和：第75页/共228页第三步:通过换元法、分部积分等方法，求出各部分分式的原函数其中各均是待定的常数，可通过通分后再比较等式两端x同次幂的系数而求得,即待定系数法；第76页/共228页例5.1.40求.解 被积函数为真分式，分母x32x2xx(x1)2.故可设消去分母，得 1A(x1)2BxCx(x1).要使此式恒等，等式两边x同次幂的系数必对应相等，从而 B1，C1,所以故有 AC0，B2AC0，A1第77页/共228页第7

20、8页/共228页解设消去分母后，得1A(1x2)+(BxC)(12x).展开并比较两端x的同次幂的系数，有 A2B0，B2C0，AC1.解得例5.1.41求于是有第79页/共228页所以第80页/共228页例5.1.42求解 被积函数已是简单分式，其分母在实数范围内不能再作因式分解，可用配方的方法化为平方和的形式第81页/共228页 此类积分的求解方法一般是通过拆项与配方，第一项总是通过凑微分法，使分子等于分母的微商；第二项总是使分母配成含有一个完全平方项有理函数的积分按一定的步骤都可以求出其原函数.而且可以证明有理函数的原函数都是初等函数.第82页/共228页例5.1.43求解作代换，由三角

21、恒等式而x=2arctanu,从而于是第83页/共228页第84页/共228页注但上述积分若采用下列方法更简便第85页/共228页从前面的例题中已经看出，求积分比较灵活、复杂.在实用中，可查积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的.求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需要的结果.如果用通用数学软件求不定积分将更加方便.由上例可以看出利用万能代换解三角有理式不一定是最简便的方法,在具体求三角函数积分时应视被积函数的结构确定合适代换及求解方法第86页/共228页(2)(2)三角函数有理式的积分 所谓三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算而构成的函数

22、，此类函数的积分总可以通过万能代换法化成有理函数的积分如第87页/共228页5.2 5.2 定积分 本节从求变速直线运动的物体经过的路程、价格随销售量而变化的企业收益、曲边梯形的面积等实际问题入手，引进定积分的概念，然后讨论微积分基本定理及定积分的计算方法1.1.定积分及其基本性质定积分及其基本性质2.2.微积分基本定理微积分基本定理3.3.定积分的计算定积分的计算*4.*4.定积分的近似计算定积分的近似计算第88页/共228页例（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值

23、定积分及其基本性质一、几个例子第89页/共228页（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第90页/共228页例（求曲边梯形的面积）abxyo第91页/共228页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第92页/共228页曲边梯形如图所示，第93页/共228页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第94页/共228页二、定积分的定义定义第95页/共228页被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第96页/共228页注意：第97页/共228页例中所求曲边梯形的面积A为(f(x)

24、0)由定积分定义例中质点所走过的路程为第98页/共228页曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第99页/共228页第100页/共228页三、定积分的基本性质 在定积分定义中，从实际背景出发，规定了积分上限必须大于积分下限，其实，作为一个抽象的定积分定义，完全没有必要有这样的限制，今后为了计算和应用的方便，我们对定积分作以下两点补充规定：当a=b时，当ab时，第101页/共228页即，变换定积分的上下限时，定积分的绝对值不变而符号相反.这是因为在ab假设下，有a=x0 x1x2xk1xkxn=b,所有差xk=xkxk1都为负，因此从a到b的和数与从b到a的和数就相差一个负号.第10

25、2页/共228页证性质1第103页/共228页证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2第104页/共228页补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第105页/共228页性质4如果f(x)与g(x)在a，b上满足f(x)g(x)，则(ab）.证 因为g(i)f(i)，因此上式两边令xmaxxixi10，取极限即得证第106页/共228页性质5性质6第107页/共228页证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质7第108页/共228页证由闭区间上连续函数的介值定理知性质8（定积分中值定理）第109页/共228页例5.2.4估计积分的值解 可以

26、用被积函数的最大值、最小值来估计定积分的值故2即由于 11sin2x2，第110页/共228页2.微积分基本定理本段所介绍的微积分基本定理揭示了微分与积分的本质联系，即当函数f(x)连续时，其定积分与其原函数之间的关系，提供了计算连续函数的定积分的有效而简便的一般方法，这使得定积分的概念真正具有了理论和实际价值，从而获得广泛的应用.我们首先讨论积分上限的函数及其导数.第111页/共228页设函数f(x)在区间a,b上连续，则定积分存在，它是一个确定的数值，该数值当f(x)及下限a已确定，它就仅由上限决定了(图：图仅依赖于积分上、下限及函数f(x).第112页/共228页与之对应，这样通过变上限

27、的定积分定义了一个积函数对每一个上限x(xa,b)，必有唯一确定的值(xa,b).这个函数称为积分上限函数，又称为可变上限函数.有时也将(x)记为,这里要特别指明的是，积分变量x与上限变量x无关.例如第113页/共228页而前者积分号内的x与积分变量t无关，因此可作为常数因子提到积分号之外而后者xf(x)是被积函数，x是积分变量，故不能当常数因子提到积分号之外.为避免上限变量与积分变量相混，一般我们采用的形式.第114页/共228页积分上限函数(x)有如下重要性质：定理5.2.3 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则积分上限的函数在a,b上可导，且有(xa,b)证若x(a,b)，取x其绝对

28、值足够小，使x+x(a,b)，则根据积分上限函数的定义及定积分的性质有第115页/共228页利用积分中值定理，得到:=f()x (在x与x+x之间).上式两端各除以x，得函数增量与自变量增量的比值因为f(x)在a,b上连续，而x0时，必有x，因此第116页/共228页于是，令x0,上式两端取极限得由导数定义知，(x)的导数存在，且有(x)=f(x).若x=a,取x0,则同理可证(a+0)=f(a)；若x=b，取x0，同理可证(b0)=f(b).第117页/共228页注定理中式又可记为同样可讨论积分下限函数因此当函数f(x)满足定理中的条件时，有第118页/共228页根据复合函数求导公式，有由上

29、例可以看出当上限是中间变量u=(x)时，由复合函数求导公式得第119页/共228页和式揭示了微积分学中最基本的概念：导数、微分和定积分之间的关系；而联想到原函数的定义，可知(x)是连续函数f(x)的一个原函数，因此又有下面的两个重要定理，它们又揭示了定积分与不定积分的关系.第120页/共228页定理5.2.4(原函数存在定理)若函数f(x)在区间a，b上连续，则函数是函数f(x)在a，b上的一个原函数 这就是说，连续函数的原函数一定存在第121页/共228页定理5.2.5(微积分基本定理)设f(x)在闭区间a，b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则下面讨论微积分的中心问题：因为F(x)和

30、积分上限函数都是连续函数f(x)的原函数，所以xa，b在上式中令xa，得0F(a)C，即C=F(a).于是证第122页/共228页在上式中令xb有即这个公式称为牛顿莱布尼茨公式，这个公式的重要性在于建立了定积分和被积函数的原函数之间的关系，把计算定积分的问题转化为求不定积分的问题，为我们计算定积分提供了一种简便的方法.如第123页/共228页例5.2.5，求(x)解第124页/共228页例5.2.6求解第125页/共228页例5.2.7求解这里是x2的函数，因而是x的复合函数，令x2=u，则有第126页/共228页例5.2.8计算解由于arctanx是的一个原函数，所以第127页/共228页例

31、5.2.9求解 由定积分对积分区域的可加性得第128页/共228页*例5.2.10求解这是个“”型未定式，可利用洛必达法则来计算.第129页/共228页*例5.2.11 利用定积分求极限解 此题的关键是将和式的极限变为积分和的极限,并确定被积函数的积分限.第130页/共228页而故第131页/共228页3.定积分的计算用牛顿莱布尼茨公式计算一个定积分的关键是找出被积函数f(x)的一个原函数F(x).求原函数的换元法与分部积分法在一定条件下可以用求原函数的换元法与分部积分法在一定条件下可以到定积分上，使定积分的计算更加简便.第132页/共228页(1)定积分的换元法定理5.2.6设函数f(x)在

32、a,b上连续，函数满足下列条件：的值域包含a,b且在,或,上，连续且单值，则有该公式称为定积分的换元公式.证明略.第133页/共228页注应用换元公式时要注意两点：用变量代换,把原来的变量x代换成新变量t时，积分限一定要换成相应于新变量t的积分限；求出的原函数(t)后，不需要象计算不定积时那样把(t)再变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入(t)中,然后相减就可以了.第134页/共228页例5.2.12求积分解令x=t3，则dx=3t2dt，当x=0时,t=0，x=8时，t=2.故第135页/共228页例5.2.13计算解令xsint，dxcostdt，当x0时，t0，x1

33、时，.所以第136页/共228页例5.2.14计算解第137页/共228页*例5.2.15计算解由于第138页/共228页结论若f(x)为偶函数，则下面我们给出对实际计算很有帮助的两个结论：结论：设f(x)在闭区间a,a 上连续若f(x)为奇函数，则 证明留给读者利用以上结论我们常可以简化计算偶、奇函数在对称于原点的区间上的定积分.第139页/共228页例5.2.16计算解 由于sin3xcos3x为奇函数.解 由于为偶函数.故故第140页/共228页(2)(2)定积分的分部积分法设函数uu(x)与vv(x)在a，b上有连续的导数，则(uv)uvuv，uv(uv)vu.上式称为定积分分部积分公

34、式等式两端取x由a到b的积分，并利用牛顿莱布尼茨公式，得到第141页/共228页例5.2.17求积分解 令ulnx，dvdx，则第142页/共228页例5.2.18计算解先用换元法，则再用分部积分计算得因此令第143页/共228页*例证明定积分公式：第144页/共228页证 设usinn1x，dvsinxdx，则 du(n1)sinn2xcosxdx，vcosx，于是:由此得到递推公式第145页/共228页因为所以，当n是正偶数时，由递推公式得到又因为所以，当n是大于1的正奇数时，由递推公式得到第146页/共228页又令，则并记135(2m1)(2m1)!，246(2m)(2m)!，于是证得定

35、积分公式：第147页/共228页应用这个结果即可算得第148页/共228页*例5.2.20设求解此类题一般先作变量代换再计算.x-2=t=第149页/共228页*4.定积分的近似计算 前面我们已经给出了一些计算定积分的行之有效的方法.但在有些情况下这些方法是行不通的.如被积函数f(x)是用图形或表格形式给出的；或虽然f(x)是初等函数，但其原函数不能用初等函数表示，或者原函数虽可用初等函数表示，但其求解过程或原函数表达式过于复杂.此时，我们可用定积分的近似计算法.例如积分等等；第150页/共228页所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，根据定积分的定义，利用被积函数在若干点处的函数

36、值，来计算定积分近似值，并作出误差估计第151页/共228页(1)梯形法用分点ax0 x1x2xnb将区间a，b分成n等分，每个小区间的长度，分点为(i=0,1,2,n)，令yi=f(xi)(i=0,1,2,n),在每个子区间上，用窄梯形近似代替窄曲边梯形，得定积分近似公式第152页/共228页可以证明，其误差第153页/共228页(2)抛物线法抛物线法就是在小区间上用以抛物线(即二次曲线)为顶的曲边梯形来代替以f(x)为顶的曲边梯形，因而有更好的近似效果.将区间a，b分割成2n等分，记为依次在每相邻二小区间上以三点作抛物线得以此抛物线为顶的曲边梯形面积第154页/共228页则第155页/共2

37、28页从而得抛物线公式其误差第156页/共228页例5.2.21试用梯形法、抛物线法计算定积分解 为了便于比较，先算出这个定积分的较精确的值.设,x0,1.用梯形法计算，取n=10，第157页/共228页由梯形法近似公式，得0.58820.55560.52630.69377.y01.000，y10.9091，y20.8333，y30.7692，y40.7143,y50.6667，y60.6250，y70.5882，y80.5556，y90.5263，y100.5000，第158页/共228页5.3定积分应用1.微元法的思想2.定积分在几何上的应用（1）计算平面图形的的面积（2）体积a.旋转体的

38、体积b.平行截面面积为已知的立体体积3.3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长第159页/共228页*3.定积分在物理上的应用（1）变力做功（3)平均值均方值4.定积分在医学及生命科学方面的应用5.定积分在经济及社会科学方面的应用6.广义积分（2）压力引力第160页/共228页定积分在几何、物理、经济等许多实际问题中有广泛的应用像5.2节开头的例子那样，严格说，凡可化为定积分问题的实际问题都具有这样的特征：所求量(如面积、功等)与区间a,b有关；所求量对于区间a,b具有可加性，即所求量的总量等于相应于区间分割所产生的部分量之和.解决问题的步骤一般应经过分割、取近似、求和、求极限四步.但这样做起来较麻

39、烦，在实际应用中，上述四个步骤，往往简化为下面的两步1.微元法的基本思想第161页/共228页在a,b上取具有代表性的子区间x,x+x或x,x+dx,用区间端点x的函数值f(x)与x作乘积，“以常量代替变量”,得到局部量A的近似值Af(x)x=f(x)dx,其中f(x)dx称为积分微元，记作dA=f(x)dx.即以f(x)dx为被积表达式，在a,b上作定积分，即得所求量这个方法通常称为微元法，它的实质是用微分代替了增量：AdA=f(x)dx第一步,建立微分表达式第二步,当x0时，把这些微元dA在区间a,b上无限积累，第162页/共228页如例求路程S在a,b上任取一点t和邻近点tdt，这时路程

40、的微元是dS=v(t)dt，ta,b所以本节我们就简要介绍一下定积分在几何、物理、经济管理等实际问题中的应用第163页/共228页2.2.定积分在几何上的应用(1)计算平面图形面积例设曲边形由两条连续曲线y=f1(x),y=f2(x),（f2(x)f1(x),xa,b）直线x=a、x=b所围(图，求所围面积A.图第164页/共228页因此面积元素为于是平面图形f1(x)yf2(x),axb的面积公式为:以后在计算平面图形面积时可直接利用此公式解我们用前面微元法思想求解.取x为积分变量，它的变化区间为a,b把a,b分成若干小区间，取有代表性小区间x,x+dx,与这个小区间相应的窄曲边形如图阴影部

41、分其面积A近似等于高为f2(x)f1(x)，底为dx的窄矩型的面积，f2(x)f1(x)dx,第165页/共228页例5.3.2 求曲线与yx2所围图形面积解先求出两曲线的交点由和yx2解得交点(0，0)及(1，1)(如图，由平面图形面积公式:图第166页/共228页于是所求面积A为图解先求出两曲线交点(4，2)和(1，1)取面积微元如图，以y为积分变量dA=(y+2y2)dy.例求由曲线x=y2与x=y+2所围区域的面积第167页/共228页 读者可考虑一下，此题若取x为积分变量，有什么不便之处?由例可以看出适当选取积分变量是至关重要的注 由例可以推出如下结论：及直线y=c,y=d围成时，则

42、区域面积为当平面图形是由连续曲线第168页/共228页*例5.3.4求椭圆(0t2)所围图形面积解 如图，这是由参数方程给出的椭圆方程，由对称性知，总面积为第一象限部分的4倍图第169页/共228页取x为积分变量，面积微元dA=ydx.所以由定积分的换元积分法，当x=acost时,dx=asintdt.当x=0时，.当xa时，t0，所以第170页/共228页注由例可推出如下结论：当曲边梯形的曲边y=f(x)（f(x)0,xa,b）由参数方程或t，)给出时，如果在,(或,)上具有连续导数，y=(t)连续，则曲边梯形的面积为第171页/共228页*例求双纽线r2=a2cos2所围成的面积 (如图解

43、 由r2=a2cos2知cos20.故0，由对称性知，所求面积为第一象限部分面积的4倍图2.选取积分变量为，取有代表性的子区间，d如图第172页/共228页相应的子区间上图形的面积可用以r()为半径,d为圆心角的圆扇形面积近似，故由曲线r=r()及射线所围的曲边扇形的面积为注由例可得如下结论：即面积微元第173页/共228页(2)体积 旋转体的体积例由连续曲线y=f(x)与直线y=0,x=a,x=b所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体,如图所示，求此旋转体体积图第174页/共228页在a,b上作定积分，得旋转体体积为(5.3.1)用类似的方法可以推出，由曲边梯形0 xcyd绕y轴旋转一周

44、所成的旋转体的体积为:(5.3.2)解在闭区间a,b上任取一子区间x,x+dx，由于体积是由平面图形旋转一周生成的，所以用底面积为,高为dx的圆柱体的体积近似代替小旋转体的体积得体积微分：公式和可直接用于求体积，应熟记第175页/共228页例5.3.7计算由椭圆围成的图形绕x轴及y轴旋转一周所成旋转体的体积解 绕x轴旋转这个旋转体可以看作是由上半椭圆与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体，则体积为第176页/共228页当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a的球体,它的体积为绕y轴旋转这个旋转椭球体可以看作由与y轴围成的图型绕y轴旋转一周所成的旋转体，则由公式第177页/共228页 平行截面面

45、积为已知的立体体积设有空间立体，该立体在过点x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之间.它的垂直于x轴的各截面面积为s(x)(xa,b),假定s(x)为x的已知的连续函数，求其体积图如图，取具有代表性的子区间x,x+dx,过其端点，分别作垂直于x轴的平面，介于这两个平面之间的小体积，可用S(x)dx近似代替所以体积微元dV=S(x)dx 第178页/共228页 故在过点x=a和x=b且垂直于x轴的两个平面之间，且平行截面面积为S(x)的立体体积为第179页/共228页例设三棱锥高为h，底面积为A,求它的体积V解从顶点作底面的垂线，并且以它为x轴，顶点为原点，记x处的截面面积为S(x),由图，知故

46、所以图第180页/共228页*(3)平面曲线的弧长 直角坐标系下弧长公式考虑平面曲线y=f(x)(axb),其中f(x)具有一阶连续导数(图计算这曲线弧的长度.图先建立微分表达式,在区间a,b上任取一子区间x,x+dx第181页/共228页即上式中的ds称为弧微分在闭区间a,b上积分，便得所求的弧长在此小区间上,用该曲线在点（x,f(x)）处的切线段的长代替对应弧段的长，以为被积表达式，第182页/共228页 参数方程表示的弧长公式设曲线的参数方程为x=x(t),y=y(t)(t)，其中x(t),y(t)在，上具有连续导数，计算该曲线的弧长.于是弧长为以t为积分变量(t),区间,中子区间t,t

47、+dt对应的弧微分为第183页/共228页 极坐标中的弧长公式设曲线弧由极坐标方程()给出，其中在,上连续可导，由直角坐标与极坐标的关系，可得()于是弧微分为从而曲线弧长为第184页/共228页例5.3.9求悬锥线从x=0到x=a(0)之间的一段弧长.解 由于所以第185页/共228页例5.3.10计算摆线(a0)，一拱(0t2)的长度(图5.3.10)图第186页/共228页解 弧微分为从而，所求的弧长第187页/共228页例5.3.11求心形线(a0)(图5.3.11)的全长解 由于对称性，要计算的周长为心形线在极轴上方部分弧长度的两倍弧微分:图第188页/共228页因此所求的全长为第18

48、9页/共228页*3.*3.定积分在物理上的应用(1)变力作功 例一正圆锥形的贮水桶高为4m，顶圆半径为3m，桶内装满水，试问要把桶内的水全部从其顶部边缘的上方吸出，需作多少功?(图(水的密度为1000kg/m3 重力加速度为g).图第190页/共228页解建立坐标系如图所示,在高h米处取一簿圆盘，设其半径为r，则由相似三角形对应边成比例，可求得而此簿圆盘的厚度为d h，所以作用在此圆盘上的重力应为体积微元第191页/共228页此圆盘的水被吸出水桶必须提高(4h)米,因此需作微功:把水吸空所作的功应该是以dW为被积表达式，从0到4的积分:第192页/共228页(2)压力,引力例某水库的闸门形状

49、为等腰梯形,它的两条底边各长10m和6m，高为20m,较长的底边与水面相齐,水的比重为(kg/m3).计算闸门的一侧所受的水压力(设重力加速度为g)图解 如图以闸门的长底边的中心为原点且铅直向下作 x 轴，取x为积分变量，在0,20上任取一小区间x,x+dx,第193页/共228页由物理学知，在水深为h处的压强为,这里是水的密度.因此闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于(Nm2),这窄条的长度为2(5)，高度为dx，因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为于是所求压力为第194页/共228页例设有一根长度为l、线密度为的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M试计算

50、该棒对质点M的引力解取如图所示坐标系，细长棒的中点为原点O取y为积分变量，图第195页/共228页.其中k为比例常数.从而求出F在水平方向分力Fx的近似值，即细直棒对质点M的引力在水平方向分力Fx微元素为它的变化区间为，在上任取一小区间y,y+dy把细直棒上相应于y,y+dy的一段近似地看成质点，其质量为,与M相距因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点M的引力F的大小为:第196页/共228页于是得到引力在水平方向的分力为上式中的负号表示Fx指向x轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为Fy=0.第197页/共228页*(3)平均值,均方根设f(x)是连续函数，将区间a,b