天津大学机械振动振动系统的运动微分方程.pptx

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1、 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程第1页/共23页 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程一般情况下，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式具有以下形式若用矩阵表示，则可写成若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的式中分别是

2、系统的坐标矢量坐标矢量和和加速度矢量加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。Mechanical and Structural Vibration第2页/共23页 质量矩阵刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程第3页/共23页 刚度矩阵中的元素称刚度影响系数刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称在单自由度系统中，简称弹性常数弹性常数)。它表示系统单位

3、变形所需的作用力。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，具体地说，如果使第如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标个质量坐标方向施加的力，定义为方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度影响系数kij；在第；在第j个质量坐标方个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法

4、称为称为影响系数法影响系数法。刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程第4页/共23页 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。画出各物块的受力图根据平衡条件，有画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3

5、 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程第5页/共23页 画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令Mechanical and Structural Vibration 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程第6页/共23页 因此刚度矩阵为因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即Mechanical and Structural Vibrati

6、on 3.3 3.3 3.3 3.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程第7页/共23页 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程第8页/共23页 在单自由度的弹簧在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是质量系统中，若弹簧常数是k，则，则 就是物就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数柔度影响系数

7、，用，用 表示。表示。具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。n自由度系统的柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程Mechanical and Structural Vibration第9页/共23页 现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。当受到当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个，第二和第

8、三个弹簧的变形为零。弹簧的变形为零。首先施加单位力首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是所以三物块的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第10页/共23页 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为Mechanical and Structural Vibrat

9、ion 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第11页/共23页 F3再令再令可得到可得到系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第12页/共23页 柔度矩阵一般也是对称的。柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为系统的柔度矩阵为Mechanical and

10、 Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第13页/共23页 用柔度影响系数来建立其运动微分方程用柔度影响系数来建立其运动微分方程系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到应用叠加原理可得到Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第14页/共23页 写成矩阵形式写成矩阵形式位移方程位移

11、方程是非奇异的，即 的逆矩阵存在与作用力方程比较与作用力方程比较Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第15页/共23页即当刚度矩阵即当刚度矩阵是非奇异时是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。

12、如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第16页/共23页 例例 试试写写出出图图所所示示刚刚体体AB的的刚刚度度矩矩阵阵并并建建立立系系统统的的运运动动微分方程。微分方程。解解：刚刚体体AB在在图图面面内内的的位位置置可可以以由由其其质质心心C的的坐坐标标yC(以以水水平位置平位置O为坐标原点，且水平运动不计为坐标原点，且水平运动不计)和绕和绕C转角转角

13、 确定。确定。Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第17页/共23页 图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩由刚体AB的平衡条件得到Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第18页/共23页 图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C

14、点的力。由平衡条件得刚度矩阵Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第19页/共23页 例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第20页/共23页 表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有柔度矩阵为得系统的位移方程Mechanical and Structural Vibration 3.4 3.4 3.4 3.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第21页/共23页第22页/共23页感谢您的观看。第23页/共23页