恒成立问题常见类型及解法.pptx

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1、5、不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。6、不等式与其他知识的结合细解命题特点第1页/共37页转化思想解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法：(1)(1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解.(2)(2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解.(3)(3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解.第2页/共37页 解答过程中应注意的问题：(1)(1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响.(2)(2)应用函数方法求解时，所使用的函

2、数一般为二次函数.(3)(3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系.第3页/共37页 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。第4页/共37页 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：类型：（1 1）一次函数型；）一次函数型；（2 2）二次函数型；）二次函数型；（3 3）变量分离型；

3、）变量分离型；（4 4）利用函数的性质求解；）利用函数的性质求解；（5 5）直接根据函数的图象求解；）直接根据函数的图象求解；（6 6）反证法求解。）反证法求解。下面分别举例示之。下面分别举例示之。第5页/共37页一、一次函数型一、一次函数型第6页/共37页典例导悟第7页/共37页二、二次函数型二、二次函数型第8页/共37页典例导悟第9页/共37页第10页/共37页三、变量分离型三、变量分离型【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。第11页/共3

4、7页典例导悟第12页/共37页第13页/共37页【理论阐释】若函数f(x)f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=x,f(-x)=f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)y=f(x)的周期为T T，则对一切定义域中的x,x,有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题第14页/共37页典例导悟第15页/共37页第16页/共37页五、五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题把不等式恒成立问题转化为函数图象问题【理

5、论阐释】若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。第17页/共37页典例导悟第18页/共37页第19页/共37页第20页/共37页六、采用逆向思维，考虑使用反证法六、采用逆向思维，考虑使用反证法【理论阐释】恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所谓“正难则反”就是这个道理。第21页/共37页典例导悟第22页/共37页第23页/共37页【典例】设函数 对任意xx1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf

6、(x)0 0恒成立，则实数m m的取值范围是_._.【解题指导解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论式，最后分类讨论.【规范解答规范解答】x x1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0,即即mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0.0.第24页/共37页由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立知，上恒成立知，mxmx2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立,m0.m0.

7、当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0恒成立即可恒成立即可,即即xx1,+),1,+),第25页/共37页mm2 21,m1,m-1.-1.当当m m0 0时，只要时，只要2m2m2 2x x2 2-(1+m-(1+m2 2)0 0恒成立即可恒成立即可,即即 xx1,+),1,+),不恒成立不恒成立.综上，实数综上，实数m m的取值范围为的取值范围为(-,-1).(-,-1).答案：答案：(-,-1)(-,-1)第26页/共37页7 7（20102010山东高考）若对任意x x0,0,恒成立，则a a的取值范围是_【解题提示解题提示】将恒成

8、立问题转化为最值问题将恒成立问题转化为最值问题.【解析解析】因为因为x x0 0，所以，所以 （当且仅当（当且仅当x=1x=1时取等时取等号），所以有号），所以有 即即 的最大值为的最大值为 故故aa答案答案:)第27页/共37页 【方法技巧】【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式恒成立问题的解题方法1.1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)maxmax;cf(x)c

9、f(x)恒成立恒成立 cf(x)cf(x)minmin.2.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决解决.第28页/共37页【例3 3】设函数f(x)=axf(x)=ax2 2-2x+2,-2x+2,对于满足1 1x x4 4的一切x x值都有f(x)f(x)0,0,求实数a a的取值范围.【解题指南解题指南】解答本题可以有两条途径：解答本题可以有两条途径：(1)(1)分分a a0,a0,a0,a=00,a=0三种情况三种情况,求出求出f(x)f(x)在在(1,4)(1,4)上的最小值上的最小值f(x)f(x)minmin,再

10、令再令f(x)f(x)minmin0,0,从而求出从而求出a a的取值范围；的取值范围；(2)(2)将参数将参数a a分离得分离得 然后求然后求 的最大的最大值即可值即可.第29页/共37页【规范解答规范解答】方法一：当方法一：当a a0 0时时,由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得：或或 或或 或或 或或第30页/共37页当当a a0 0时时,解得解得aa;当当a=0a=0时时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意不合题意.综上可得综上可得,实数实数a a的取值范围是的取值范围是方法二：由方法二

11、：由f(x)f(x)0,0,即即axax2 2-2x+2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立.令令g(x)g(x)maxmax=g(2)=,=g(2)=,所以要使所以要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立,只要只要a a 即可即可.第31页/共37页【反思反思感悟感悟】1.1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论但要注意讨论.2.2.关于不等式的恒成立问题

12、关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用能用分离参数法，尽量用.因为该因为该法可以避开频繁地对参数的讨论法可以避开频繁地对参数的讨论.第32页/共37页4.(20104.(2010新课标全国卷)设函数f(x)=ef(x)=ex x-1-x-ax-1-x-ax2 2.(1)(1)若a=0a=0，求f(x)f(x)的单调区间；(2)(2)若当x0 x0时f(x)0f(x)0，求a a的取值范围【解题提示解题提示】在第在第(1)(1)问中先把问中先把a=0a=0代入，然后通过求导判断代入，然后通过求导判断导数正负求得单调区间，解决第导数正负求得单调区间，解决第(2)(2)问的关键是从当问的关键

13、是从当x0 x0时时f(x)0f(x)0入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的正负找到分界点进行讨论正负找到分界点进行讨论.第33页/共37页【解析解析】(1)a=0(1)a=0时，时，f(x)=ef(x)=ex x-1-x-1-x，f(x)=ef(x)=ex x-1.-1.当当xx(-,0)(-,0)时，时，f(x)f(x)0 0；当；当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)单调减少，在单调减少，在(0,+)(0,+)单调增加单调增加.(2)f(x)=e(2)f(x)=ex x

14、-1-2ax-1-2ax，由，由(1)(1)知知e ex x1+x1+x，当且仅当，当且仅当x=0 x=0时等号时等号成立成立.故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x,从而当从而当1-2a01-2a0，即，即a a 时，时，f(x)0(x0)f(x)0(x0)，而而f(0)=0f(0)=0，于是当，于是当x0 x0时，时，f(x)0.f(x)0.由由e ex x1+x(x0)1+x(x0)可得可得e e-x-x1-x(x0).1-x(x0).第34页/共37页从而当从而当a a 时，时，f(x)f(x)e ex x-1+2a(e-1+2a(e-x-x-1)=e-1)=e-x-x(e(ex x-1)(e-1)(ex x-2a),-2a),故当故当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0 0，而，而f(0)=0f(0)=0，于是当于是当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0.0.综合得综合得a a的取值范围为的取值范围为(-,(-,.第35页/共37页第36页/共37页感谢您的观看。第37页/共37页