小学四年级下册奥数题高斯求和.pptx
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1、高斯的故事 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时,老师在算术课上出了一道难题:“把1到100的整数写下来,然后把它们加起来!”每当有考试时他们班有如下的习惯:第一个做完的就把石板(当时通常用于写字)面朝下地放在老师的桌子上,第二个做完的就把石板摆在第一张石板上,就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人,但对于刚学算术不久的孩子来说,难度较大。老师心想:终于可以休息一下了!但他错了,因为还不到几秒钟,高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道:“答案在这儿”。而其他学生还在埋头苦干,把数字一个个加起来,有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着,对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后
2、,老师一张张地检查着石板,大部分都做错了,当然也免不了吃一顿鞭打。最后,高斯的石板被翻了过来,只见上面只有一个数字:5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊!第1页/共21页 1 11001002 299993 398984949525250505151。1 1100100正好可以分成这样的5050对数,每对数的和都相等。于是,高斯把这道题巧算为:(1+1001+100)1002100250505050。高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。第2页/共21页 若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末
3、项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:(1 1)1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,100100;(2 2)1 1,3 3,5 5,7 7,9 9,9999;(3 3)8 8,1515,2222,2929,3636,7171。其中(1 1)是首项为1 1,末项为100100,公差为1 1的等差数列;(2 2)是首项为1 1,末项为9999,公差为2 2的等差数列;(3 3)是首项为8 8,末项为7171,公差为7 7的等差数列。由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)项数22。根据等差数列的求和公式,可以变形得到如下的数量关系:项数=
4、(末项-首项)公差+1+1 末项=首项+公差(项数-1-1)首项=末项-公差(项数-1-1)第3页/共21页例1 1:1 12 23 34 45 5 19192020?2 24 46 68 8 48485050?分析:观察上面两道题,不难发现它们都是等差数列。第题的首项是1 1,末项是2020,共有2020个数。而第题的首项是2 2,末项是5050,共有2525个数。由等差数列求和公式可得:1 12 23 34 45 5 19192020 (1 12020)202202 2120221202 210210 2 24 46 68 8 48485050 (2 25050)252252 522525
5、2252 650650 注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。第4页/共21页练一练:计算1 12 23 34 45 5 49495050的和 解:原式(1 15050)50502 2 5150251502 12751275 计算1 13 35 57 7 97979999的和 解:原式(1 19999)50502 2 100502100502 25002500 第一行放了1 1颗糖,第二行放了2 2颗糖,第三行放了3 3颗糖,依此类推,第四十行放了4040颗糖,第一四十行一共放了多少颗糖?1 12 23 34 45 5 4040 (1 14040)4040
6、2 2 4140241402 820820(颗)第5页/共21页例2 2:求5 58 81111141429293232的和 分析:这是一个公差为3 3、首项为5 5、末项为3232的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算,还必须先找出项数。根据项数(末项首项)公差1 1,这个等差数列的项数是(32325 5)331 1 1010。解:(32325 5)331 1 2732731 1 9 91 1 10 10 5 58 81111141429293232 (5 53232)102 102 37102 37102 185 185 第6页/共21页练一练:计算3 37 711 11 4343474
7、7的和解:(47473)43)41 1 4444441 1 11111 1 1212 3 37 711 11 43434747 (3(347)12247)122 5012250122 6002 6002 300300第7页/共21页练一练:计算5 5101015 15 90909595100100的和解:(1001005)55)51 1 9559551 1 19191 1 2020 5 5101015 15 90909595100100 (5(5100)202100)202 105202105202 21002 21002 10501050第8页/共21页练一练:美羊羊学做蛋糕,第一天做了5
8、5个蛋糕,以后每天都比前一天多做2 2个,最后一天做了2525个蛋糕,美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕?(25255)25)21 1 2022021 1 10101 1 1111 (5 (525)11225)112 3011230112 3302 3302 165165第9页/共21页例3 3:有一列数按如下规律排列:1010、1717、2424、31 31 这列数中前8080个数的和是多少?分析:这是一个公差为7 7、首项为1010、项数为8080的等差数列,末项未知。如果按等差数列求和的公式计算,还必须先找出末项。根据末项=首项+公差(项数-1-1),这个等差数列的末项是10107 7(8
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