常微分方程课件课件.pptx

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1、1解第1页/共180页2代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需第2页/共180页3凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义注意：微分方程中必需含有未知函数的导（或微分）第3页/共180页4 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶.分类1:常微分方程,偏常微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程,否则，称为偏微分方程。第4页/共180页5分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.第5页/共

2、180页6 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.微分方程的解：第6页/共180页7(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.第7页/共180页8过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.第8页/共180页9解第9页/共180页10所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分

3、(通解可用初等函数或积分表示出来)第10页/共180页11思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.第11页/共180页12练 习 题第12页/共180页13练习题答案第13页/共180页14第二节、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法形如第14页/共180页15例1 求解微分方程解分离变量两端积分二、典型例题第15页/共180页16例2解分离变量两端积分第16页/共180页17通解为解第17页/共180页18解 练习：第18页/共180页19解由题设条件衰变规律第19页/共180页20例 4 有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截

4、面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第20页/共180页21设在微小的时间间隔水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:第21页/共180页22即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为第22页/共180页23解例5 某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有 的 ,为了降低车间内空气中 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内 的

5、百分比降低到多少?设鼓风机开动后 时刻 的含量为在 内,的通入量的排出量第23页/共180页24的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内 的百分比降低到第24页/共180页25思考题求解微分方程思考题解答第25页/共180页26练 习 题第26页/共180页27第27页/共180页28第三节、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义第28页/共180页29第29页/共180页30例 1 求解微分方程微分方程的解为解第30页/共180页31例 2 求解微分方程解第31页/共180页32微分方程的解为第32页/共180页33解原方程可化为第33页/共180

6、页34代入原方程得 两边积分，得到所求通解为第34页/共180页35解练习：第35页/共180页36例 3 抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面解如图第36页/共180页37得微分方程由夹角正切公式得第37页/共180页38分离变量积分得第38页/共180页39平方化简得抛物线第39页/共180页40二、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义第40页/共180页41有唯一一组解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.第41页/共180页42可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.第42页/共180页43解代入原方程得第

7、43页/共180页44分离变量法得得原方程的通解方程变为第44页/共180页45利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为第45页/共180页46思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.第46页/共180页47练 习 题第47页/共180页48练习题答案第48页/共180页49一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.第四节、一阶线性微分方程第49页/共180页50齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第50页/共180页51例 求微分方程 的通解解由原方程，知代入通解

8、公式，第51页/共180页522.非齐次线性微分方程讨论两边积分非齐次方程通解形式为第52页/共180页53常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换第53页/共180页54积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解第54页/共180页55小结：一阶非齐次线性微分方程的解法1、公式法；2、常数变易法；（1）先求对应齐次方程的通解（2）设非齐次方程通解为（3）将代入非齐次方程第55页/共180页56例1解一（1）对应的齐次方程为两边积分，得第56页/共180页57解二公式法：第57页/共180页58例2解所求方程的通解为第58

9、页/共180页59解练习第59页/共180页60解第60页/共180页61解第61页/共180页62例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线 .两边求导得解解此微分方程第62页/共180页63所求曲线为第63页/共180页64伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第64页/共180页65求出通解后，将 代入即得代入上式第65页/共180页66解例 3第66页/共180页67解原式可化为原式变为对应齐方通解为第67页/共180页68代入非齐方

10、程得原方程的通解为利用常数变易法第68页/共180页69例4 用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为第69页/共180页70分析：首先可以看出，它不是可分离变量方程；又故按框图中的方法求解。【例5】求解微分方程 。显然 ，它也不是全微分方程。于是继续判别，解出 ，得 。这是贝努利方程，第70页/共180页71为一阶线性方程。由公式得所以，原方程的通解为解：令 ,代入方程可化为第71页/共180页72分析：可将方程变形为 ，此方程为齐次方程；所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程，令 ，代入原方程得解得 ，即 解法1：将原方程整理成 ,即标准的齐次方程，【例6

11、】求方程 满足 的特解。第72页/共180页73代入 有 ，原方程特解是数的一阶线性方程，解之得即解法2：整理原方程得 ，为贝努利方程。令 代入原方程得 ，是以 为未知代入 有 ，原方程特解是第73页/共180页74解分离变量法得所求通解为第74页/共180页75解代入原式分离变量法得所求通解为另解第75页/共180页76小结：1.可分离变量的微分方程：形如分离变量、两边积分2.齐次微分方程:形如作变换3.一阶线性微分方程:形如公式4.伯努利方程 第76页/共180页77例例1.求下列方程的通求下列方程的通解解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)这是一个齐次方程，令 y=u x,化为分离变

12、量方程:第77页/共180页78方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为第78页/共180页79例例2.求下列方程的通解求下列方程的通解:提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为第79页/共180页80令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为第80页/共180页81例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)

13、求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:第81页/共180页82(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 第82页/共180页83 题2 求以为通解的微分方程.提示:消去 C 得题3 求下列微分方程的通解:提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:提示:这是一阶线性方程,其中第83页/共180页84提示:可化为关于 x 的一阶线性方程提示:为伯努利方程,令提示:可化为伯努利方程令公式 提示:为可降阶方程,令第84页/共180页85原方程化为,即则故原方程通解提示:令第85页/共180页86思考题求微分方程 的通解.思考题解答第86页/共180页87练 习 题第8

14、7页/共180页88第88页/共180页89第89页/共180页90练习题答案第90页/共180页91第91页/共180页92一、形如方程（1）特点如下:对这类方程只需通过n次积分就可得到方程的通解.例1解由第五节、可降阶的高阶微分方程第92页/共180页93例2解为所求.第93页/共180页94二、方程（2）特点:解法：（3）再按一阶微分方程的方法求解第94页/共180页95例3解方程可写为（1）第95页/共180页96例4解方程可写为（1）（2）为所求第96页/共180页97三、方程（1）特点：方程右端不显含自变量解法：（2）再按一阶微分方程的方法求解第97页/共180页98例5的特解满足

15、初始条件求方程解特解为第98页/共180页99解代入原方程得 原方程通解为例 6第99页/共180页100【例1】求方程 的通解。解：由于不显含 ，令 ，则 代入原方程整理得即 因此 再积分一次，即得原方程的通解为：此解可以写成分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。第100页/共180页101【例2】求方程 的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶 一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含，令，则 代入原方程整理得即 为一阶线性微

16、分方程 第101页/共180页102利用公式得即 积分得 第102页/共180页103分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含,令,则 代入原方程整理得所以或当时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：【例3】求方程 满足初始条件的特解。第103页/共180页104积分得：所以即将代入得，从而分离变量得：将代入得所求方程的特解为：特解为，含在 内。当 时，即积分得第104页/共180页105练 习第105页/共180页106第六节、高阶线性微分方程解受力分析一、概念的引入第106页/共180页

17、107物体自由振动的微分方程强迫振动的方程串联电路的振荡方程第107页/共180页108二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程第108页/共180页109二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:第109页/共180页110证明 第110页/共180页111注意：（1）的通解形式？第111页/共180页112例如第112页/共180页113例如线性无关线性相关第113页/共180页114例证第114页/共180页1152.二阶非齐次线性方程的解的结构:第115页/共180页116解的叠加原理第116页/共180页117【例4】已知 是某个二阶

18、线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。解：因为 是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为第117页/共180页118对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入有所求的方程为：通解为：第118页/共180页119三、降阶法与常数变易法1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法代入(1)式,得则有第119页/共180页120解得刘维尔公式齐次方程通解为降阶法的一阶方程 第120页/共180页1212.非齐次线性方程通解求法-常数变易法设对应

19、齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)第121页/共180页122(5)(4),(5)联立方程组第122页/共180页123积分可得非齐次方程通解为第123页/共180页124解对应齐方一特解为由刘维尔公式对应齐方通解为例第124页/共180页125设原方程的通解为解得原方程的通解为第125页/共180页126四、小结主要内容线性方程解的结构；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；补充内容可观察出一个特解第126页/共180页127练 习 题 第127页/共180页128第128页/共180页129练习题答案第129页/共180页130第七节、二阶常系数齐次线性方程n阶常系数线性微分

20、方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、定义第130页/共180页131二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第131页/共180页132 有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为第132页/共180页133 有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第133页/共180页134 有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第134页/共180页135定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.总结：第135页/共180页136解特征方程为解得故所求通

21、解为例1第136页/共180页137解特征方程为解得故所求通解为例2第137页/共180页138例3解特征方程为特征根为故所求通解为第138页/共180页139第139页/共180页140三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项第140页/共180页141注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.第141页/共180页142特征根为故所求通解为解特征方程为例3第142页/共180页143四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解

22、.(见下表)第143页/共180页144第144页/共180页145思考题求微分方程 的通解.思考题解答令则特征根通解第145页/共180页146练 习 题第146页/共180页147练习题答案第147页/共180页148二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.第八节、常系数非齐次线性方程一、型第148页/共180页149设非齐方程特解为代入原方程第149页/共180页150综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.第150页/共180页151特别地第151页/共180页152【例5】求方程 满足初始条件 的特解。

23、分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 第152页/共180页153由于 是 型(其中 )，且不是特征方程根，所以应设特解 ，求出把它们代入原方程，得 得非齐次方程的通解为 将初始条件 代入，有解得 所求的特解为 第153页/共180页154解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1第154页/共180页155利用欧拉公式第155页/共180页156注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.第156页/共180

24、页157解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例2第157页/共180页158解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例3第158页/共180页159所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意第159页/共180页160【例7】求微分方程 的通解 解：特征方程为，其根为 故齐次方程的通解为（其中）,因为是特征方程根，所以应设特解 由于 是型第160页/共180页161代入原方程，解之得 故特解为 于是所求通解为注：不能因为自由项只出现正弦项，而将 设为 。此例可理解为 的系数为0。第161页/共180页162解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例

25、4第162页/共180页163【例8】求微分方程 的通解 解：特征方程为，其根为 故齐次方程的通解为 由于 根据特解结构原理，此方程的自由项 属于混合型，令 由于 是 型（其中 ）不是特征方程根，故可设所以，求代入原方程中，则有得第163页/共180页164（其中）,而是特征方程根，故可设 又因为 是型求 代入方程 中,解得 ，所以 于是原方程的通解为第164页/共180页165【例9】求微分方程 的通解 解：特征方程为，其根为 故齐次方程的通解为 由于属于混合型，可设特解为代入原方程，并比较两边系数，得 所以原方程的通解为从而第165页/共180页166三、小结(待定系数法)只含上式一项解法

26、：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.第166页/共180页167思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题解答设 的特解为设 的特解为则所求特解为特征根第167页/共180页168练 习 题第168页/共180页169第169页/共180页170练习题答案第170页/共180页171第171页/共180页172解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.第九节、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同第172页/共180页173作变量变换将自变量换为第173页/共180页174用表示对自

27、变量求导的运算上述结果可以写为第174页/共180页175将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把 换为 ，即得到原方程的解.一般地，例求欧拉方程的通解解作变量变换第175页/共180页176原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程第176页/共180页177特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为第177页/共180页178基本概念一阶方程 类 型1.直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程7.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4欧拉方程二阶常系数线性方程解的结构特征方程的根及其对应项f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容第178页/共180页179微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降降阶阶作变换作变换积分因子第179页/共180页180感谢您的观看！第180页/共180页