平面与空间直线课件.pptx

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1、第一节第一节 平面及其方程平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程1 1、方向矢量、方向矢量 在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面 就被唯一确定。矢量a,b称为平面 的方向矢量。显然，任何一对与平面 平行的不共线矢量都可作为平面 的方向矢量。第1页/共71页2 2、平面的矢量式参数方程、平面的矢量式参数方程 在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的径矢OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+u

2、a+vb （1）方程（1）称为平面的矢量式参数方程矢量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：第2页/共71页3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程坐标式参数方程。r=r0+ua+vb （1）第3页/共71页例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z

3、3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1,因此，平面的矢量式参数方程矢量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐标式参数方程坐标式参数方程为设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,第4页/共71页从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）与或（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程平面的三点式方程。第5页/共71页特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)

4、M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为称为平面的截距式方程截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距截距。xzyM1M2M3o第6页/共71页 如果一非零向量垂直于一平面，这向如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的量就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量二、平面的点法式方程1.法向量法向量:注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.第7页/共71页2.2.平面的点法式方程平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.对于平面上任一点

5、M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=x x0,y y0,z z0,得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面的点法式方程点法式方程.(1)第8页/共71页例1:求过点(2,3,0)且以 n=1,2,3为法向量的平面的方程.解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即:x 2y+3z 8=0 第9页/共71页nM3M2M1解:先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=3,4,6 M1M3=2,3,1可取n=M1M2 M1M3=14i+9

6、j k例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:14x+9y z 15=0 第10页/共71页例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第11页/共71页三、平面的一般方程三、平面的一般方程1.定理1:任何

7、x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一个法向量是:n=A,B,C证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为它表示过定点注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的一般方程.且法向量为 n=A,B,C的平面.第12页/共71页例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=2 3,42(x+1)3(y 2)+4(z 3)=0即:2x 3y+4z 4=0第13页/共71页2.平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,

8、过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0第14页/共71页(2)平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x 轴上的单位向量 i=1,0,0垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是:平行于x 轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于y 轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于z 轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别:D=0时,平面过坐标轴.第15页/共71页(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0第16页/共71页

9、例3:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即:y 3z=0 第17页/共71页例4:设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.解:设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第18页/共71页所求平面的方程为:即:(3)第19页/共71页

10、设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解解第20页/共71页化简得令代入体积式所求平面方程为第21页/共71页第二节第二节 点到平面的距离点到平面的距离 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点P0到平面的距离。在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)则 P1P0=x0 x1,y0 y1,z0 z1过P0点作一法向量 n=A,B,C于是:第22页/共71页又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:

11、(4)第23页/共71页例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离第24页/共71页第三节第三节 两平面的相关位置两平面的相关位置1、设两个平面的方程为：1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)定理1：两个平面（1）与（2）相交A1:B1:C1A2:B2:C2.平行 重合 第25页/共71页（1）定义）定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.2、两平面的夹角、两平面的夹角第26页/共71页（2 2）、两个平面的交角公式）、两个平面的交角公式 设两个平面1，2间的二面角用

12、(1,2)表示，而两平面的法矢量n1,n2的夹角记为=(n1,n2），显然有(1,2)=或-因此1n1n22第27页/共71页3 3、两平面垂直的充要条件、两平面垂直的充要条件两平面(1)(2)垂直的充要条件为A1A2+B1B2+C1C2=0第28页/共71页例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解:设所求平面的一个法向量 n=A,B,C已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=1,1,1 所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=1,0,2于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1+C 1=0第29页/共71页解

13、得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=2,1,1所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0第30页/共71页例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角第31页/共71页两平面平行两平面平行但不重合两平面平行两平面重合.第32页/共71页练练 习习 题题第33页/共71页第34页/共71页练习题答案练习题答案第35页/共71页 第四节 空间直线及其方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第36页/共71页1、方向

14、向量的定义：、方向向量的定义：如果一非零向量如果一非零向量s=m,n,p,平行于一条已知平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的直线，这个向量称为这条直线的方向向量方向向量二、空间直线的对称式方二、空间直线的对称式方程程 而s 的坐标m,n,p称为直线L的一组方向数.sM0L第37页/共71页2.2.直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量 s=m,n,p所以得比例式(2)称为空间直线的对称式方程或点向式方程./第38页/共71页三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程得:称为空间直线的参数方程.(3)令直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直

15、线的方向方向余弦余弦.第39页/共71页例1:写出直线x+y+z+1=02x y+3z+4=0的对称式方程.解:(1)先找出直线上的一点M0(x0,y0,z0)令z0=0,代入方程组,得x+y+1=02x y+4=0解得:所以,点 在直线上.第40页/共71页(2)再找直线的方向向量 s.由于平面1:x+y+z+1=0的法线向量n1=1,1,1平面2:2x y+3z+4=0的法线向量n2=2,1,3所以,可取=4i j 3k于是,得直线的对称式方程:第41页/共71页例2:求通过点A(2,3,4)与B(4,1,3)的直线方程.解:直线的方向向量可取 AB=2,2,1所以,直线的对称式方程为第4

16、2页/共71页 第五节第五节 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置设直线和平面的方程分别为一、直线与平面的位置关系的充要条件一、直线与平面的位置关系的充要条件定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的充要条件：第43页/共71页1o 相交：AX+BY+CZ02o 平行AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D03o 重合AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0证：将直线方程改与为参数式第44页/共71页将（3）代入（2）并整理得(AX+BY+CZ)t=-(Ax0+By0+Cz0+D)（4）因此，当且仅当AX+BY+CZ0时，（4）有唯一解这时直线与平面有唯一公共点；

17、当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D0时方程（4）无解，这时直线与平面有没有公共点；当且仅当AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0时方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。第45页/共71页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平称为直线与平面的夹角面的夹角二、直线与平面的夹角二、直线与平面的夹角第46页/共71页（1）直线与平面的夹角公式）直线与平面的夹角公式（2）直线与平面的）直线与平面的位置关系：位置关系：/s/n s n第47页/共71页例1:判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方向向量 s=2,7,3

18、的法向量 n=4,2,2s n=(2)4+(7)(2)+3 (2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与 平行,但不重合.第48页/共71页解:L的方向向量 s=3,2,7 的法向量 n=6,4,14 L 与 垂直.第49页/共71页解:L的方向向量 s=3,1,4 的法向量 n=1,1,1s n=3 1+1 1+(4)1=0又L上的点 M0(2,2,3)满足平面方程,所以,L 与 重合.第50页/共71页解解为所求夹角第51页/共71页第六节第六节 空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系1、位置关系：共面异面相交平行重

19、合2、相关位置的判定：设两直线L1,L2的方程为s1=m1,n1,p1s2=m2,n2,p2第52页/共71页定理1判定空间两直线L1，L2的相关位置的充要条件：（1）异面（2）共面=0相交：m1:n1:p1m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合：m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)第53页/共71页二、两直线的夹角二、两直线的夹角二、两直线的夹角二、两直线的夹角定义:两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角.s1s2已知直线L1,L2的方程s1=m1,n1,p1s2=m

20、2,n2,p2第54页/共71页1.L1与 L2的夹角的余弦为:2.L1垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=03.L1平行于 L2 第55页/共71页解:直线L1,L2的方向向量 s1=1,4,1 s2=2,2,1有:所以:第56页/共71页解解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程第57页/共71页解解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,令第58页/共71页代入平面方程得 ,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为第59页/共71页三、两异面直线间的距离与公垂线的方程三、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离设两异面直线L

21、1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离L0L1L2N1N2M1M2s1s2第60页/共71页所以两异面直线L1，L2的距离为第61页/共71页2、两直线的公垂线方程 公垂线可看为由过L1上的点M1，以v1,v1v2为方位矢量的平面与过L2上的点M2，以v2,v1v2为方位矢量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：其中X，Y，Z为v1v2 的分量。第62页/共71页例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。解：设所求直线的方向矢为v=X,Y,Z,则直线为因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为v1=1,2,3,L2过点M2(1,2

22、,3)，方向矢为v2=2,1,4故第63页/共71页即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0解得 X:Y:Z=0:1:2故所求直线的方程为例2 已知两直线试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。解：第64页/共71页所以L1与L2为异面直线。又v1v2=0,0,2,所以公垂线的方程为即第65页/共71页第八节第八节 平面束平面束一、平面束1、有轴平面束：空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。2、平行平面束 空间平行于同一平面的平面的集合称为平行平面束。定理1 如果两个平面1：A1x+B1y+C1z+D1=02：A2x+B2y+C2z+D2=0第66页/共

23、71页交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的方程为m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）定理2 如果两个平面1：A1x+B1y+C1z+D1=02：A2x+B2y+C2z+D2=0为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0表示平行平面束，平面束中的任一平面都与1平行。m,n不全为零，且m:nA1:A2=B1:B2=C1:C2.第67页/共71页推论：由平面：Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为Ax+By+Cz+=

24、0其中为任意实数。例1 求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直的平面的方程。解：设所求平面的方程为m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0即(2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0由两平面垂直的条件，得即(2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0第68页/共71页即 m+2n=0因此 m:n=2:(-1)所求平面的方程为3x-3z+4=0例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2的平面的方程。解：设所求平面的方程为3x+y-z+=0因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2).由此得2+=0 =-2 故所求平面的方程为3x+y-z-2=0第69页/共71页本章学习结束本章学习结束谢谢大家第70页/共71页感谢您的观看。第71页/共71页