平面向量数量积的物理背景及几何意义课件.pptx

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1、已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab第1页/共23页一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）FS那么力F所做的功W为：情景引入W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。第2页/共23页数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，注意 已知两个非零向量a 和b，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即（2）a b

2、不能写成ab，不能省.第3页/共23页 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a|b|cos当当0 90时时 ab为正；为正；当当90 180时时 ab为负。为负。当当=90时时 ab为零。为零。第4页/共23页例题讲解例1已知 =5，=4，与 的夹角 ，求 .变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 ，AB=2,求下列各数量积.DABC第5页/共23页例例2 已知已知 =(1,1),=(2,0),求求 。解：解：第6页/共23页设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OAB abB1求模的方法判断垂直

3、的又一条件求角第7页/共23页 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功sF 对非零向量a与b，定义|b|cos叫向量b 在a 方向上的投影|a|cos叫向量a在b 方向上的投影数量积的几何意义第8页/共23页，过点B作则 的数量是|b|cos（不是向量）a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cos 的乘积。为锐角时，|b|cos0为钝角时，|b|cos0为直角时，|b|cos=0数量积的几何意义 OABbaB1B1OAB baOAB ba第9页/共23页回顾实数运算中有关的运算律，类比数量回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律

4、积得运算律:在实数中在实数中 在向量运算中在向量运算中交换律交换律:ab=ba ()结合律：结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：分配律：(a+b)c=ab+bc ()消去律消去律:ab=bc(b0)a=c ()数量积的运算律第10页/共23页数量积的运算律已知向量a、b、c和实数 ，则:第11页/共23页 则：(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)第12页/共23页典型例题例1.已知向量a，b,求证下列各式第13页/共23页证明：证明

5、：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的数量积运算类似于多项式运算第14页/共23页第15页/共23页解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （a+kb）（a-kb）=0即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，k=第16页/共23页例4、(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心第17页/共23页夹角的范围夹角的范围运算律运算律性性 质质数量积数量积(3)(ab)c

6、=acbc aa=|a|2（简写 a2=|a|2）知识回顾:(2)(1)a b=b a(交换律交换律)(分配律分配律)第18页/共23页判断正误，并说理.1.已知向量 和实数1 1若 ，则 中至少有一个为 2.2.若b0，abcb，则a=c4.对任意向量 a 有3.(ab)c=a(bc)巩固练习第19页/共23页2.已知ABC中,AB=a,AC=b,当 ab 0,ab=0时,ABC各是什么三角形？当a b0时，cos 0，为钝角三角形当a b=0时，为直角三角形巩固练习3.3.在在ABCABC中中a=5,b=8,C=60a=5,b=8,C=60o o,求求第20页/共23页思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，C C为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。解：设 则 ，由此可得：即 ，ACB=90第21页/共23页课后作业:P108 18(习题).预习向量的数量积的坐标表示第22页/共23页感谢您的观看。第23页/共23页