数值分析 学习.pptx

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1、2.1 引言 许多实际问题都用函数 y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x)在某个区间 a,b 上存在、连续，但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x)的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x)近似 f(x)。这就引出了插值问题。第1页/共51页1、提出问题（插值法的定义）、提出问题（插值法的定义）2、几何意义、外插、内插、几何意义、外插、内插 P(x)f(x)x

2、*(外插)x0 x1x(内插)x2x3P(x*)f(x*)第2页/共51页3、插值的种类、插值的种类 选取不同的函数族构造选取不同的函数族构造 P(x)得到不同类型的插值得到不同类型的插值若若 P(x)是次数不超过是次数不超过 n 的代数多项式，就称为的代数多项式，就称为多项式插值多项式插值；若若 P(x)为分段的多项式，就称为为分段的多项式，就称为分段插值分段插值；若若 P(x)为三角多项式，就称为为三角多项式，就称为三角插值三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式求出插值多项式

3、，分段插值函数；讨论插值多项式 P(x)的存的存在唯一性、收敛性及估计误差等。在唯一性、收敛性及估计误差等。4、多项式插值问题、多项式插值问题第3页/共51页插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性 第4页/共51页定理定理1(存在存在唯唯一性一性)满足插值条件的不超过满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式次的插值多项式是存在是存在唯唯一的一的。2.2 拉格朗日插值一、线性插值与抛物插值1、线性插值 y=f(x)L1(x)yxxk+1xk0第5页/共51页第6页/共51页2、抛物插值 第7页/共51页求解基函数求解基函数第8页/共51页二、拉格朗日插值多项式二、拉格朗日插值多项式 上面针

4、对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。第9页/共51页第10页/共51页第11页/共51页第12页/共51页第13页/共51页定理表明：定理表明：(1)插值误差与节点和点插值误差与节点和点 x 之间的距离有关之间的距离有关,节点距离节点距离 x 越近越近,插值误差一般情况下越小。插值误差一般情况下越小。(2)若被插值函数若被插值函数 f(x)本身就是不超过本身就是不超过 n 次的多项式次的多项式,则有则有f(x)g(x)。第14页/共51页第15页/共51页3、应用举例、应用

5、举例 第16页/共51页用二次插值计算用二次插值计算 ln(11.25)ln(11.25)的近似值的近似值,并估计误差并估计误差。例2-2 给定函数值表给定函数值表x10111213lnx2.302585 2.397895 2.484907 2.564949第17页/共51页在区间在区间10,1210,12上上lnx 的三阶导数的三阶导数 (2/x(2/x3 3)的上限的上限 M M3 3=0.002,=0.002,可得误差估计式可得误差估计式注：实际上注：实际上,ln(11.25)=2.420368,ln(11.25)=2.420368,|R|R2 2(11.25)|=0.000058(11

6、.25)|=0.000058 x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2第18页/共51页yi-2.0-0.80.41.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00?分析：求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。第19页/共51页第20页/共51页第21页/共51页2.3 均差与牛顿插值公式一、均差及其性质 问题的引入：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化，实际计算不方便，希望把公式表示为如下形式。第22页/共51页第23页/共51页1、均差定义、均差定义2、均差的基本性质、均差的基本性质 2、均差的基本性

7、质、均差的基本性质 2、均差的基本性质、均差的基本性质 第24页/共51页第25页/共51页xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差n阶均差x0 x1x2x3xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3xn-3,xn-2,x2,x3x0,x1,xn均差计算表均差计算表第26页/共51页例如例如 由函数y=(x)的函数表写出均差表.解解 均差表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1

8、第27页/共51页二、牛顿插值公式第28页/共51页第29页/共51页解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3,x0,x1,x2,x3=-1,于是有N N1 1(x)=5-2(x+2)=1-2x(x)=5-2(x+2)=1-2xN N2 2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2 2+7x+7+7x+7N N3 3(x)=3x(x)=3x2 2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3 3+x+x2 2+8x+9+8x+9例2-6 对例如中的(x),求节点为 x0,x1 的

9、一次插值，x0,x1,x2 的二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多项式.ixi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差0123-2-112531721-2743-1-1第30页/共51页例2-7 给出给出 f(x)的函数表，求的函数表，求4次牛顿插值多项式，并计次牛顿插值多项式，并计算算f(0.596)的近似值。的近似值。xi(xi)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差五阶均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.3

10、58930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012第31页/共51页第32页/共51页2.4 埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。y=L10(x)第33页/共51页y=L10(x)x012(x)129(x)3第34页/共51页第35页/共51页xi(xi)一阶均差 二阶均差 三阶均差01121229137241解法二（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）解法二（用重节点的均差表建立

11、埃尔米特多项式）第36页/共51页2.5 分段低次插值一、高次插值的病态性质 一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当n-时，Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格（Runge）就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。y=L10(x)第37页/共51页 x1y=L10(x)o-10.5y1.51龙格现象龙格现象第38页/共51页二、分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).第39页/共51页分段线性插值分段线性插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值三、分段抛物插值三、分段抛物

12、插值第40页/共51页2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。一、三次样条函数 y=L10(x)每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。第41页/共51页y=L10(x)第42页/共51页二、三次样条插值函数的建立 y=L10(x)第43页/共51页y=L10(x)第44页/共51页y=L10(x)第45页/共51页y=L10(x)系数矩阵为严格对角占优阵，方程组有为一解。求法见5.3节追赶法。第46页/共51页y=L10(x)第47页/共51页y=L10(x)第48页/共51页知识结构图二插值法工具分段多项式插值存在唯一性多项式插值Hermite插值插值公式误差估计差商、差分Lagrange插值基及函数定义性质定义性质导数型差商型Lagrange插值多项式Newton插值多项式 等距节点插值公式 存在唯一性误差估计 插值公式 分段线性插值（公式、误差估计、收敛性）分段三次Hermite插值（公式、误差估 计、收敛性）三次样条插值（公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性）第49页/共51页第50页/共51页感谢您的观看。第51页/共51页