平面向量应用举例15974课件.pptx

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1、2.5.1平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法向量的线性运算（加法、减法、数乘）和数量积运算都具有鲜明的几何意义。平面几何的许多性质：如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来。因此，我们可以用向量的方法来解决平面几何中的一些问题。第1页/共9页例平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图1AC=AB+AD，DB=AB-AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？DACB abDABC图1图2第2页/共9页方法二：方法二：作作CEAB，DFAB于于F，则则RTADF RT BCE，所以所以AD=BC，AF=BE，由于由于AC=AE+CE

2、=（AB+BE）+CE =AB+2ABBE+BE+CE =AB+2ABBE+BC BD=BF+DF =（AB-AF）+DF =AB-2ABAF+AF+DF =AB-2ABAF+AD =AB-2ABBE+BC所以所以AC+BD=2（AB+BC）22222222222222222222222222平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍DACFBE第3页/共9页方法三：方法三：以以ABAB所在直线为所在直线为X X轴，轴，A A为坐标原点建立直角坐标系，为坐标原点建立直角坐标系，设设B(a,0),D(b,c)B(a,0),D(b,c)则则C(a+b,c)C(a+b,c)|AC|=(a+

3、b)+c=a+2ab+b+c|AC|=(a+b)+c=a+2ab+b+c|BD|=(a-b)+c=a-2ab+b+c|BD|=(a-b)+c=a-2ab+b+c|AC|+|BD|=2a+2(b+c)=(2|AB|+|AD|)|AC|+|BD|=2a+2(b+c)=(2|AB|+|AD|)22222222 22222yxAB(a,0)D(b,c)C(a+b,c)222222第4页/共9页向量方法解决平面几何问题的向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”（1 1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将

4、平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素之间的联）通过向量运算，研究几何元素之间的联系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。第5页/共9页例：如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需要分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。可以根据“三步曲”来进行解答：第一步，用向量表示问题中的几何元素第二步，通过向量计算，研究几何元素关系第三步，把运算结果“翻译”成几何关系DABCRTEF第6页/共9页例3：已知：如图，AC为O的一条直径，ABC是圆周角，求证：ABC为直角。分析：要证 ABC是直角，即只需要证明ABBC 可转化为向量问题进行证明。ACBO第7页/共9页例4：用向量证明三角形的三条高线交于一点已知：如图1，ABC边上的高线分别为AD、BE、CF求证：三条高线AD、BE、CF交于一点。ABCFDEABCDFEH图1图2第8页/共9页感谢您的观看。第9页/共9页