数学物理方程1分离变量法.pptx

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1、基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。第1页/共73页令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一 有界弦的自由振动第2页/共73页特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令 ，为非零实数 第3页/共73页第4页

2、/共73页第5页/共73页分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。第6页/共73页2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：第7页/共73页例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：第8页/共73页第9页/共73页第10页/共73页第11页/共73页弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。第12页/共73页解：例2求下列定解问题第13页/共73页第14页/共73页第15页/共73页初始条件第16页/共73页若l=1,a=10时的震动。

3、第17页/共73页例3 求下列定解问题解：第18页/共73页第19页/共73页第20页/共73页第21页/共73页例4 求下列定解问题令带入方程：解：第22页/共73页第23页/共73页第24页/共73页第25页/共73页第26页/共73页二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：第27页/共73页第28页/共73页第29页/共73页令第30页/共73页令带入方程：令例5 求下列定解问题解：第31页/共73页第32页/共73页第33页/共73页例6 求下列定解问题解：第34页/共73页第35页/共73页第36页/共73页若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考第37页/共73页若有界杆上的热传

4、导（杆的两端绝热）第38页/共73页分离变量流程图第39页/共73页三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：第40页/共73页第41页/共73页第42页/共73页第43页/共73页例7 求下列定解问题解：第44页/共73页第45页/共73页第46页/共73页第47页/共73页例8 求下列定解问题解：第48页/共73页第49页/共73页第50页/共73页2 圆域内的拉普拉斯问题第51页/共73页欧拉方程例9 求下列定解问题解：第52页/共73页欧拉方程 令第53页/共73页第54页/共73页例10 求下列定解问题解：第55页/共73页欧拉方程 令第56页/共73页其它为零第57页/共73页例12 求下列定解问题解：第58页/共73页第59页/共73页欧拉方程 第60页/共73页其他为零第61页/共73页例13 求下列定解问题解：第62页/共73页第63页/共73页第64页/共73页例13 求下列定解问题解：第65页/共73页第66页/共73页第67页/共73页例14 求下列定解问题解法一：令第68页/共73页解法二：令第69页/共73页第70页/共73页第71页/共73页常用本征方程 齐次边界条件第72页/共73页感谢您的观看！第73页/共73页