数学高中全程复习方略配套曲线与方程含轨迹问题.pptx

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1、三年4考 高考指数:了解曲线与方程的对应关系.第1页/共62页1.求点的轨迹、轨迹方程是高考的重点;一般用直接法、定义法或相关点法求解,所求轨迹一般为圆锥曲线；2.经常在解答题的第一问中出现，属中低档题目；有时也在选择、填空题中出现.第2页/共62页1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都在_.那么，这条曲线叫作_，这个方程叫作_.这个方程的解曲线上方程的曲线曲线的方程第3页/共62页【即时应用】(1)思考：在方程的曲线与曲

2、线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定是.因为只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.第4页/共62页(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定是.因为只满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.第5页/共62页(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_.【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x

3、=0或x+y-1=0，表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线第6页/共62页2.圆锥曲线的共同特征及求曲线方程的步骤(1)圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到_的距离与它到_的距离之比为定值e.一个定点一条定直线e e的范围的范围圆锥曲线表示的曲线圆锥曲线表示的曲线_ _ _ 0e1e=1椭圆双曲线抛物线第7页/共62页(2)求曲线方程的步骤 建系设点列式代换验证建立适当的平面直角坐标系轨迹上的任意一点一般设为P（x，y）列出或找出动点P满足的等式将得到的等式转化为关于x、y的方程验证所求方程即为所求的轨迹方程第8页/共62页【即时应用】(1)已知动点P到定点F

4、(1,0)的距离与到定直线l：x=4的距离之比是 ，则点的轨迹是_，其方程为_.(2)已知点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足 =x2+1，则点P的轨迹方程是_.(3)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_.第9页/共62页【解析】(1)由圆锥曲线的共同特征知点P的轨迹为椭圆且焦点在x轴上，c=1,a=2,方程为(2)由题意得 =(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以 =(-2-x,-y)(-3-x,-y),又因为 =x2+1,所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,第10页/共62页化简得：y2+

5、5x+5=0.(3)设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点D(),又C(5,0),|CD|=3，所以化简得：(x-10)2+y2=36.又ABC中的三点A、B、C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).第11页/共62页答案：(1)椭圆(2)y2+5x+5=0(3)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0)第12页/共62页3.直线与圆锥曲线的交点设曲线C1:f(x,y)=0，C2:g(x,y)=0,M(x0,y0)是曲线C1与C2的一个交点 ，故求曲线交点即求方程组 的实数解.f(x0,y0)=0g(x0,y0)=0第13页/共62页【即时应用】(1)曲线

6、与曲线C2:y=1(x+1)2的公共点的个数是_.(2)直线y=2x+3与抛物线y=2x2+x相交于A、B两点，则|AB|_.第14页/共62页【解析】(1)由 消去x得4y2y3=0,(1)244(3)=490，当y1=时得同理可得y2=1时得x=1,所以公共点的个数是3.第15页/共62页(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由 消去y，整理得2x2x3=0 x1，x2是关于x的方程的两根，x1+x2 ,x1x2=又|AB|其中k=2，则有答案：(1)3 (2)第16页/共62页 直接法求轨迹方程【方法点睛】1.直接法如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方

7、程，这种方法称之为直接法.第17页/共62页2.应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.第18页/共62页【例1】(1)已知点M、N为两个定点，|MN|=6,且动点P满足 =6，求点P的轨迹方程.(2)已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程.【解题指南】(1)先建立平面直角坐标系，设出动点P的坐标，依据 =6得出轨迹方程；(2)可设出动点M的坐标，依据动点M到

8、圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)即可得出方程.第19页/共62页【规范解答】(1)以点M、N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则M(-3,0)、N(3,0),设P(x,y)，则 =(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)(3-x,-y)，又因为 =6,所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6，化简整理得：x2+y2=15.第20页/共62页(2)设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P=M|MN|=|MQ|，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：

9、(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).第21页/共62页【反思感悟】1.从两个题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.第23页/共62页 定义法求轨迹方程【方法点睛】定义法求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫作定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.第25页/共62页【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不

10、是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.第26页/共62页【例2】(1)已知圆C:x2+y2+6x-91=0及圆内一点P(3,0),则过点P且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为_.(2)(2012九江模拟)已知动圆P与圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为_.第27页/共62页【解题指南】(1)由两圆内切可得出两圆圆心距与两圆半径差之间的关系|CM|=10-r(r为动圆M的半径)，再注意|PM|=r，从而有|CM|+|PM|=10，由椭圆的定义得出所求轨迹为椭圆；(2)由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|

11、=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.第28页/共62页【规范解答】(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所以|CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+|PM|=106=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴长为10，焦距等于6，所以椭圆方程为：即所求轨迹方程.答案：第29页/共62页(2)设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，

12、所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支).由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为答案：第30页/共62页【反思感悟】1.本例两个题目都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.第34页/共62页 相关点(代入

13、)法求轨迹方程【方法点睛】相关点(代入)法动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x、y表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.【提醒】用代入法求轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子，同时注意x、y的限制条件.第37页/共62页【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x,0)，P(0,y),可由已知条件得出x、y与x、y之间的关系，同

14、时得到x、y满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.第38页/共62页【规范解答】设M(x,0),P(0,y)，N(x,y),由 得(x-x,y)=2(-x,y),所以 解得 又因为 =(x,-y)，=(1,-y),所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+()2=0，即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.第39页/共62页【反思感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x、y之间的关系式及x、y与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.第40页/共62页【满分指导】求轨迹方程主观题的规

15、范解答【典例】(12分)(2011广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP.(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；第43页/共62页(2)已知T(1，-1)，设H是E上的动点,求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1，-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围.【解题指南】(1)由已知可得，动点M到直线l与到原点O的距离相等，或点M在x轴负半轴上，从而可求出轨迹方程；(2)利用抛物线的定义，其上的点到准线的距离等于到

16、焦点的距离，可得答案；(3)由分类讨论可得结论.第44页/共62页【规范解答】(1)如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|,MPO=AOP,动点M满足MPl,或M在x轴的负半轴上，设M(x,y)当MPl时，|MP|=|x+2|,|OM|=|x+2|=，化简得y2=4x+4(x-1)2分xyoMAlx=-2PM第45页/共62页当M在x轴的负半轴上时，y=0(x-1).综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x-1)或y=0(x-1).4分(2)由(1)知M的轨迹是顶点为(-1,0)，焦点为原点的抛物线和y=0(x-1).若H是抛物线上的动点，过H作HNl于N，由于l是抛物线的准线，xy

17、olx=-2NNHTH第46页/共62页根据抛物线的定义有|HO|=|HN|，则|HO|+|HT|=|HN|+|HT|当N，H，T三点共线时，|HN|+|HT|有最小值,|TN|=3，求得此时H的坐标为(-,-1).6分若H是y=0(x-1)上的动点,显然有|HO|+|HT|3,综上所述，|HO|+|HT|的最小值为3,此时点H的坐标为(-,-1)8分第47页/共62页(3)如图，设抛物线顶点B(-1,0)，则直线BT的斜率kBT=-,点T(1,-1)在抛物线内部,过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：xyol1l1l1TB第4

18、8页/共62页当k-时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,当-k0时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点 10分当k=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点,当k0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点.综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是(-,-(0,+).12分第49页/共62页【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示解答本题时有两点容易造成失分解答本题时有两点容易造成失分:(1)(1)对于第对于第(1)(1)问中，点问中，点M M的位置没有分类讨论，只按照一的位置没有分类讨论，只按照一种情形解答；种情形解答；(2)

19、(2)求第求第(3)(3)问中问中k k的取值范围时，不要忽视轨迹的取值范围时，不要忽视轨迹E E可能为可能为一条射线，亦可能为一条抛物线，另需分一条射线，亦可能为一条抛物线，另需分k=0k=0或或k0k0讨论，讨论，以免漏解以免漏解.第50页/共62页备备考考建建议议解决轨迹的问题时，要注意以下几点：解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1)(1)当动点当动点(或动直线或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；一种或几种情况；(2)(2)解决直线与曲线

20、的交点问题，不仅仅要考虑方程解的解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合个数，还要注意数形结合.第51页/共62页1.(2012成都模拟)已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()(A)(B)4(C)8(D)9第52页/共62页【解析】选B.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|，设点P的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2，即(x-2)2+y2=4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积

21、等于4.故选B.第53页/共62页2.(2012合肥模拟)已知动点P(x,y)满足 则P点的轨迹是()(A)两条相交直线(B)抛物线(C)双曲线(D)椭圆【解析】选D.式子变形为：其几何意义是动点P(x,y)到定点A(1,2)的距离与到定直线x+y-1=0的距离的比为 (小于1).由圆锥曲线的共同特征知，点P的轨迹是椭圆.第54页/共62页3.(2012烟台模拟)已知圆O的方程为：x2+y2=4，过圆O上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量 则动点Q的轨迹方程为_第55页/共62页【解析】设M点坐标为(x0，y0)(y00)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标为(0，y0)

22、,(x，y)(x0,2y0)，即答案：第56页/共62页4.(2011北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于其中所有正确的结论的序号是_第57页/共62页【解析】设A(x，y)为曲线C上任意一点，则由|AF1|AF2|a2，得C:把(0，0)代入方程可得1=a2，与a1矛盾，故不正确；当M(x，y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点M(-x，-y)也满足方程，故曲线C关于原点对称，故正确；第58页/共62页=故正确.答案：第59页/共62页第60页/共62页第61页/共62页感谢您的观看。第62页/共62页