数理方程4学习.pptx

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1、数 学 物 理 方 程主讲：王主讲：王 正正 斌斌E_mail:E_mail: BBS:BBS:科技教育科技教育/物理研究物理研究 答疑：周二下午答疑：周二下午3 3：30305 5：0000，教，教2 2605605室室南京邮电大学南京邮电大学 、数理学院、应用物理系数理学院、应用物理系第1页/共50页第四章、特殊函数常微分方程第四章、特殊函数常微分方程勒让德方程勒让德方程 贝塞尔方程贝塞尔方程 勒让德多项式勒让德多项式贝塞尔函数贝塞尔函数在球坐标系解三类偏微分方程：在球坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：第2页/共50页拉普拉斯方程的一般形式为1

2、 1、在球坐标系下，表示为：解：设分离变量形式的试探解解：设分离变量形式的试探解代入方程得到一、勒让德方程的导出第3页/共50页第4页/共50页式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得 第二个方程为球函数方程，对该方程继续做分离：代入球函数方程得到第5页/共50页式中第一个方程由自然边界条件构成本征值和本征函数第二个方程可以改写为 令第6页/共50页该方程称为该方程称为 阶连带勒让德方程或阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。阶缔合勒让德方程。如果球坐标的极轴为对称轴 阶勒让德方程第7页/共50页在柱坐标系下解在柱坐标系下解 拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：分离变量得分离变量得二、贝塞尔方程的导出第8

3、页/共50页n n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程(1)(1)情况。作代换，则得 (2)(2)情况。作代换，则得 n n阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程第9页/共50页三、亥姆霍兹方程(a)(a)、三维波动方程为:设分离变量解为:代入方程，并移项得到：得Helmholtz Equation第10页/共50页（b)b)、三维输运方程为：分离时间变量和空间变量，得：代入方程，并移项得到 ：得Helmholtz Equation第11页/共50页在球坐标系下解亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：在球坐标系下的形式为：分离变量，得：第12页/共50页展开得球球 贝贝 塞塞 尔尔 方方 程程阶贝塞尔方程 第13页/

4、共50页在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式:分离变量，得：代入原方程得：第14页/共50页记常数，也即，那么上面第三个方程可以写成：对自变量做变换 ，那么上式变成 该式即为n阶Bessel方程。第15页/共50页幂级数展开定义：各项均为幂函数的无穷级数：称为以为展开中心的幂级数。其中都是复常数。1 1、达朗贝尔判别法：若则幂级数绝对收敛。敛散性：2、根值判别法：若，则幂级数绝对收敛；第16页/共50页泰勒(Taylor)(Taylor)级数展开洛朗(Laurent)(Laurent)级数展开 幂级数展开泰勒(Taylo

5、r)级数展开可展开为幂级数称为泰勒展开系数。泰勒(Taylor)定理：若在内解析，则在此圆内，其中为圆周，且展开唯一。(要多精确有多精确)解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。第17页/共50页几个基本初等函数的泰勒展开式：解析函数：若函数f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。第18页/共50页洛朗(Laurent)级数展开 洛朗(Laurent)定理：设在环形区域则对环域上任一点 可展为幂级数，其中一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。的内部单值解析，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园洛朗(Laurent)级数展开方法：将

6、待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将非奇异项展开为Taylor级数，再和非奇异项合并第19页/共50页特殊函数方程的级数解法 熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数；未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会出现其它各种各样的特殊函数方程。级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的级数，代入原方程以逐个确定系数。第20页/共50页常微分形式常微分形式：线性二阶常微分方程线性二阶常微分方程方程的常点方程的常点：常微分方程中系数常微分方程中

7、系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是解析的，的邻域中是解析的，则则 点点 称为方程的常点。称为方程的常点。第21页/共50页一、常点邻域上的级数解一、常点邻域上的级数解该解可以表示为此邻域上的该解可以表示为此邻域上的泰勒级数泰勒级数的形式的形式:求解步骤求解步骤：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各系数分别为零系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来确定各个系数。确定各个系数。方程的奇点方程的奇点：常微分方程中系数常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是的邻域

8、中是 或或 的奇点，则的奇点，则 点点 称为方程的奇点。称为方程的奇点。第22页/共50页泰勒级数形式及其导数泰勒级数形式及其导数为为化简之后得到化简之后得到(1)勒让德方程在勒让德方程在 的级数解的级数解第23页/共50页要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为第24页/共50页其中其中 为偶次幂，是偶函数，为偶次幂，是偶函数，为奇次幂，是奇函数。为奇次幂，是奇函数。第25页/共50页(2)解的收敛半径解的收敛半径由系数的递推公式可以得到由系数的递推公式可以得到因此级数因此级数 和和 收敛于收敛于 ，而发散于，而发散于 。由

9、于由于 阶勒让德方程中阶勒让德方程中 ,所以其解是收敛的。所以其解是收敛的。(3)解在解在 的收敛性的收敛性根据高斯判别法可以证明，级数解根据高斯判别法可以证明，级数解 和和 在在是发散的。是发散的。第26页/共50页（4）解退化为多项式）解退化为多项式若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零若再取若再取 ，那么，那么 解为只含偶次幂的解为只含偶次幂的 l 阶多项式阶多项式选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零若再取若再取 ，那么，那么 解为

10、只含奇次幂的解为只含奇次幂的 l 阶多项式阶多项式选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式第27页/共50页(5)自然边界条件自然边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的勒让德方程在勒让德方程在 也必须为有限的成为勒让德方程的也必须为有限的成为勒让德方程的自然自然边界条件边界条件。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题，其本征值是题，其本征值是l(l+1)(l为零或正整数为零或正整数)，所以本征函数为，所以本征函数为l阶勒

11、阶勒让德多项式。让德多项式。第28页/共50页二、奇点邻域上的级数解二、奇点邻域上的级数解（1 1）n n 阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在 的邻域上的解的邻域上的解第29页/共50页代入代入Bessel 方程，合并同类项得：方程，合并同类项得：比较等式两边系数，可得一系列方程：比较等式两边系数，可得一系列方程：第30页/共50页第二个方程(1)、先取、先取，递推公式成为 第31页/共50页因此贝塞尔方程的一个特解为:第32页/共50页该级数的收敛半径为:通常取：因此只要 有限，级数就是收敛的。此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为：第33页/共50页(2)、再取、再取，递推公式成为 第34页

12、/共50页因此贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛半径为:因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取第35页/共50页此时把这个解称为-n n 阶第一类贝塞尔函数，记为：因此，n n阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加 ：可证明，当可证明，当n n为整数时，为整数时，与与 线性相关，而当线性相关，而当n n不为整数不为整数时，他们线性无关。时，他们线性无关。第36页/共50页贝塞尔方程对应 的特解为：贝塞尔方程对应的特解为：只要 ，则 是负整数 负整数的 函数为无限大 证明证明:当当n n为整数时，为整数时，与与 线性相关线性相关第37页/共50页当 n 为整数时，第二个特解实际上是和第一个

13、特解线性相关的不能表示为不能表示为n阶阶Bessel方程的解方程的解第38页/共50页若取 ：代入通解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为n n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数:因此n n阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ：不论不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！当当n n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！第39页/共50页（2 2）在 的邻域上求解 阶贝塞尔方程：解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得第40页/共50

14、页第41页/共50页同理，可求得另外一个特解：同理，可求得另外一个特解：因此方程的通解为由此可以推广到半奇数阶贝塞尔方程的求解 根据根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。函数。第42页/共50页n n为偶数时，为偶数时，为偶函数为偶函数n n为奇数时，为奇数时，为奇函数为奇函数第三类贝塞尔函数：汉克尔（HankelHankel）函数BesselBessel函数的奇偶性函数的奇偶性第43页/共50页三类柱函数三类柱函数贝塞尔函数诺伊曼函数汉克尔函数或所以对应于贝塞尔方程的通解为或还可以把贝塞尔方程通解表示为:第44页/共50页5.25.2、贝塞尔函数递推公式、贝塞尔函数递推公式不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系第45页/共50页令令同理可以得到:NOTE第46页/共50页若将上面两式左端的导数求出，可得：若将上面两式左端的导数求出，可得：知道了知道了可求得到任意阶贝塞尔函数可求得到任意阶贝塞尔函数第47页/共50页第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）的递推公式：Hankel Function also comply with the rule第48页/共50页Thanks for your attention!第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页