数据结构第5章树和二叉树.pptx

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1、树的定义树的定义树：树：n（n0）个个结点结点的有限的有限集合集合。当。当n0时，称为时，称为空树；任意一棵非空树满足以下条件：空树；任意一棵非空树满足以下条件：有且仅有一个特定的称为有且仅有一个特定的称为根根的结点；的结点；当当n1时时，除除根根结结点点之之外外的的其其余余结结点点被被分分成成m（m0）个个互互不不相相交交的的有有限限集集合合T1,T2,Tm，其其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树子树。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的定义是采用递归方法树的定义是采用递归方法第1页/共166页(a)一棵树结构一棵树结构 (b)一个非树结构一

2、个非树结构 (c)一个非树结构一个非树结构 5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的定义树的定义ACBGFEDHIACBGFDACBGFDE第2页/共166页树的应用举例树的应用举例文件结构文件结构5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构My ComputerC:D:E:etcWINDOWSProgram FilesPictureMusic第3页/共166页树的基本术语树的基本术语结点的度：结点的度：结点所拥有的子树的个数。结点所拥有的子树的个数。树的度：树的度：树中各结点度的最大值。树中各结点度的最大值。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKLHMIJA第4页/共166页5.1 树的逻辑结构树的

3、逻辑结构叶子结点：叶子结点：度为度为0的结点，也称为终端结点。的结点，也称为终端结点。分支结点：分支结点：度不为度不为0的结点，也称为非终端结点。的结点，也称为非终端结点。CGBDEFKLHMIJA树的基本术语树的基本术语第5页/共166页孩子、双亲：孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点树中某结点子树的根结点称为这个结点的的孩子结点孩子结点，这个结点称为它孩子结点的，这个结点称为它孩子结点的双亲结点双亲结点；兄弟：兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKLHMIJA树的基本术语树的基本术语第6页/共1

4、66页路径：路径：如果树的结点序列如果树的结点序列n1,n2,nk有如下关系：结有如下关系：结点点ni是是ni+1的双亲（的双亲（1=ik），则把，则把n1,n2,nk称为称为一条由一条由n1至至nk的路径；路径上经过的边的个数称为的路径；路径上经过的边的个数称为路路径长度径长度。CGBDEFKLHMIJA5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第7页/共166页祖先、子孙：祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点在树中，如果有一条路径从结点x到结到结点点y，那么那么x就称为就称为y的祖先，而的祖先，而y称为称为x的子孙。的子孙。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKL

5、HMIJA树的基本术语树的基本术语第8页/共166页结点所在层数：结点所在层数：根结点的层数为根结点的层数为1 1；对其余任何结点，；对其余任何结点，若某结点在第若某结点在第k k层，则其孩子结点在第层，则其孩子结点在第k+1k+1层。层。树的深度：树的深度：树中所有结点的最大层数，也称树中所有结点的最大层数，也称高度高度。1 1层层2层层4 4层层3层层高度高度4CGBDEFKLHMIJC5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第9页/共166页CBDEFKLHJA71234568910层序编号：层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左将树中结点按照从上层到下层、同层从

6、左到右的次序依次给他们编以从到右的次序依次给他们编以从1 1开始的连续自然数。开始的连续自然数。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第10页/共166页有序树、无序树：有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。无序树。数据结构中讨论的一般都是有序树数据结构中讨论的一般都是有序树 5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语ACBGFEDACBGFED第11页/共166页CBDEFKLHJ森林：森林：m(m0)棵互不相交的树的集合。棵互不相

7、交的树的集合。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语A第12页/共166页同同构构：对对两两棵棵树树，若若通通过过对对结结点点适适当当地地重重命命名名，就就可可以以使使这这两两棵棵树树完完全全相相等等（结结点点对对应应相相等等，结结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。点对应关系也相等），则称这两棵树同构。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语ACBGFEDDAECFBG第13页/共166页树结构和线性结构的比较树结构和线性结构的比较线性结构线性结构线性结构线性结构树结构树结构树结构树结构第第一一个数据元素个数据元素根结点（只有根结点（只有一一个）个）无前驱

8、无前驱无双亲无双亲最后最后一一个数据元素个数据元素叶子结点叶子结点(可以有可以有多多个个)无后继无后继无孩子无孩子其它数据元素其它数据元素其它结点其它结点一个前驱一个前驱,一个后一个后继继一个双亲一个双亲,多个孩子多个孩子一对一一对一一对一一对一 一对多一对多一对多一对多5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构第14页/共166页树的抽象数据类型定义树的抽象数据类型定义ADT TreeData 树是由一个根结点和若干棵子树构成，树中结点具有相同数据类型及层次关系Operation InitTree 前置条件：树不存在 输入：无 功能：初始化一棵树 输出：无 后置条件：构造一个空树5.1 树的逻辑结构树

9、的逻辑结构第15页/共166页 DestroyTree 前置条件：树已存在 输入：无 功能：销毁一棵树 输出：无 后置条件：释放该树占用的存储空间 Root 前置条件：树已存在 输入：无 功能：求树的根结点 输出：树的根结点的信息 后置条件：树保持不变 树的抽象数据类型定义树的抽象数据类型定义5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构第16页/共166页Parent 前置条件：树已存在 输入：结点x 功能：求结点x的双亲 输出：结点x的双亲的信息 后置条件：树保持不变 Depth 前置条件：树已存在 输入：无 功能：求树的深度 输出：树的深度 后置条件：树保持不变 树的抽象数据类型定义树的抽象数据类型定

10、义5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构第17页/共166页 PreOrder 前置条件：树已存在 输入：无 功能：前序遍历树 输出：树的前序遍历序列 后置条件：树保持不变 PostOrder 前置条件：树已存在 输入：无 功能：后序遍历树 输出：树的后序遍历序列 后置条件：树保持不变endADT树的抽象数据类型定义树的抽象数据类型定义5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构第18页/共166页树的遍历操作树的遍历操作 树的遍历：树的遍历：从从根根结点出发，按照某种结点出发，按照某种次次序访问序访问树中所树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。如何理

11、解如何理解访问访问?抽象抽象操作，操作，可以是对结点进行的各种处理，这里可以是对结点进行的各种处理，这里简简化为输出结点的数据。化为输出结点的数据。如何理解如何理解次序次序?树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。（次）遍历三种方式。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树结构（非线性结构）树结构（非线性结构）线性结构。线性结构。遍历的实质遍历的实质?第19页/共166页前序遍历前序遍历 树的前序遍历操作定义为：树的前序遍历操作定义为：若若树树为为空空，则则空空操操作作返返回回；否则否则 访问根结点；访问根结点；按照从左到右的顺序前

12、序按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。遍历根结点的每一棵子树。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构前序遍历序列：前序遍历序列：A B D E H I F C GACBGFEDHI第20页/共166页后序遍历后序遍历 树的后序遍历操作定义为：树的后序遍历操作定义为：若若树树为为空空，则则空空操操作作返返回回；否则否则 按按照照从从左左到到右右的的顺顺序序后后序序遍历根结点的每一棵子树；遍历根结点的每一棵子树；访问根结点。访问根结点。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构后序遍历序列：后序遍历序列：D H I E F B G C AACBGFEDHI第21页/共166页层序遍历层序遍历 树的层序遍

13、历操作定义为：树的层序遍历操作定义为：从从树树的的第第一一层层（即即根根结结点点）开开始始，自自上上而而下下逐逐层层遍遍历历，在在同同一一层层中中，按按从从左左到到右右的的顺序对结点逐个访问。顺序对结点逐个访问。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构层序遍历序列：层序遍历序列：A B C D E F G H IACBGFEDHI第22页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构实现树的存储结构，关键是什么实现树的存储结构，关键是什么?什么是存储结构什么是存储结构?树中结点之间的逻辑关系是什么树中结点之间的逻辑关系是什么?思考问题的出发点：如何表示结点的双亲和孩子思考问题的出发点：如何表示结点的双亲

14、和孩子如何表示树中结点之间的逻辑关系。如何表示树中结点之间的逻辑关系。数据元素以及数据元素之间的数据元素以及数据元素之间的逻辑关系逻辑关系在存储器在存储器中的表示。中的表示。第23页/共166页双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法基本思想：基本思想：用一维数组来存储树的各个结点（一般用一维数组来存储树的各个结点（一般按按层序层序存储），数组中的一个元素对应树中的存储），数组中的一个元素对应树中的一个一个结点，包括结点的数据信息以及该结点的双亲在数结点，包括结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。组中的下标。5.2 树的存储结构树的存储结构 data parentdata：存储树中结点

15、的数据信息存储树中结点的数据信息parent：存储该结点的双亲在数组中的下标存储该结点的双亲在数组中的下标第24页/共166页template struct PNode T data;/数据域数据域 int parent;/指针域，双亲在数组中的下标指针域，双亲在数组中的下标;data parent5.2 树的存储结构树的存储结构树的双亲表示法实质上是一个静态链表。树的双亲表示法实质上是一个静态链表。双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法第25页/共166页下标下标 data parent012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 5.2 树

16、的存储结构树的存储结构如何查找如何查找双亲双亲结点？时间性能？结点？时间性能？双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法ACBHFEDGI第26页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法ACBHFEDGI如何查找如何查找孩子孩子结点？时间性能？结点？时间性能？下标下标 data parentfirstchild 1 3 6-1 8-1-1-1-1012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 第27页/共166页下标下标 data parent rightsib-1 2-1 4 5-17-1-15.2 树的

17、存储结构树的存储结构双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 ACBHFEDGI如何查找如何查找兄弟兄弟结点？时间性能？结点？时间性能？第28页/共166页链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。每个指针域指向该结点的一个孩子结点。如何确定链表中的结点结构？如何确定链表中的结点结构？5.2 树的存储结构树的存储结构孩子链表表示法孩子链表表示法方案一：方案一：指针域的个数等于树的度指针域的个数等于树的度data child

18、1 child2 childd其中：其中：data：数据域，存放该结点的数据信息；数据域，存放该结点的数据信息；child1childd：指针域，指向该结点的孩子。指针域，指向该结点的孩子。第29页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构缺点：浪费空间缺点：浪费空间ACBHFEDGIABCDEFGHI 第30页/共166页链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。每个指针域指向该结点的一个孩子结点。如何确定链表中的结点结构？如何确定链表中的结点结构？5.2 树的存储结构树的存储结构孩子链表表示法孩子链表表示法

19、方案二：方案二：指针域的个数等于该结点的度指针域的个数等于该结点的度 data degree child1 child2 childd其中：其中：data：数据域，存放该结点的数据信息；数据域，存放该结点的数据信息；degree：度域，存放该结点的度；度域，存放该结点的度；child1childd：指针域，指向该结点的孩子。指针域，指向该结点的孩子。第31页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构缺点：结点结构不一致缺点：结点结构不一致ACBHFEDGIA 2B 3C 2E 1I 0G 0H 0F 0D 0第32页/共166页孩子链表表示法孩子链表表示法基本思想：基本思想：把每个结点的孩子

20、排列把每个结点的孩子排列起来，看成是一个起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，线性表，且以单链表存储，则则n个结点共有个结点共有 n 个孩子个孩子链表链表。这。这 n 个单链表共有个单链表共有 n 个头指针，个头指针，这这 n 个头指个头指针又组成了一个线性表，针又组成了一个线性表，为了便于进行查找采用顺序为了便于进行查找采用顺序存储。最后，存储。最后，将存放将存放 n 个头指针的数组和存放个头指针的数组和存放n个结个结点的数组结合起来，构成孩子链表的点的数组结合起来，构成孩子链表的表头数组表头数组。5.2 树的存储结构树的存储结构如何确定链表中的结点结构？如何确定链表中的结点结构？将结点的

21、所有孩子放在一起，构成线性表。将结点的所有孩子放在一起，构成线性表。第33页/共166页child next孩子结点孩子结点struct CTNode int child;CTNode*next;5.2 树的存储结构树的存储结构template struct CBNode T data;CTNode*firstchild;孩子链表表示法孩子链表表示法data firstchild表头结点表头结点第34页/共166页ACBHFEDGI012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构如何查找如何查找孩子孩子结点？时间性

22、能？结点？时间性能？12 345 7 68 第35页/共166页ACBHFEDGI012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构12 345 7 68 如何查找如何查找双亲双亲结点？时间性能？结点？时间性能？第36页/共166页双亲孩子表示法双亲孩子表示法双亲孩子表示法双亲孩子表示法5.2 树的存储结构树的存储结构012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 data parent firstchild12 345 7 68 ACBHFEDGI第37页/共166页孩

23、子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法5.2 树的存储结构树的存储结构ACBHFEDGI某结点的第一个孩子是惟一的某结点的第一个孩子是惟一的某结点的右兄弟是惟一的某结点的右兄弟是惟一的设置两个分别指向该结点的设置两个分别指向该结点的第一个孩子和右兄第一个孩子和右兄弟的指针弟的指针 第38页/共166页template struct TNode T data;TNode *firstchild,*rightsib;5.2 树的存储结构树的存储结构结点结构结点结构firstchild data rightsibdata：数据域，存储该结点的数据信息；数据域，存储该结点的数据信息；f

24、irstchild：指针域，指向该结点第一个孩子；指针域，指向该结点第一个孩子；rightsib：指针域，指向该结点的右兄弟结点。指针域，指向该结点的右兄弟结点。孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法第39页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法ACBHFEDGI A B C D E F G H I如何查找如何查找兄弟兄弟结点？时间性能？结点？时间性能？第40页/共166页5.2 树的存储结构树的存储结构孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法ACBHFEDGI A B C D E F G H I如

25、何查找如何查找孩子孩子结点？时间性能？结点？时间性能？第41页/共166页二叉树的定义二叉树的定义二叉树的定义二叉树的定义 二叉树是二叉树是n（n0）个结点的有限集合，该集合或个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵和两棵互不相交互不相交的、分别称为根结点的的、分别称为根结点的左子树左子树和和右子树右子树的二叉树组成。的二叉树组成。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解问题转化：将树转换

26、为二叉树，从而利用二叉树解决树的有关问题。决树的有关问题。决树的有关问题。决树的有关问题。研究二叉树的意义？研究二叉树的意义？第42页/共166页二叉树的特点：二叉树的特点：每个结点最多有两棵子树；每个结点最多有两棵子树；二叉树是有序的，其次序不二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒能任意颠倒。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构注意：二叉树和树是两种树结构。注意：二叉树和树是两种树结构。ABCDEFGABAB第43页/共166页二叉树的基本形态二叉树的基本形态空二叉树空二叉树只有一个根结点只有一个根结点左子树左子树根结点只有左子树根结点只有左子树右子树右子树根结点只有右子树根结点只有右子树左

27、子树左子树右子树右子树根结点同时有左右子树根结点同时有左右子树5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第44页/共166页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构具有具有3 3个结点的树和具有个结点的树和具有3 3个结点的二叉树的形态个结点的二叉树的形态v二叉树和树是两种树结构。二叉树和树是两种树结构。第45页/共166页特殊的二叉树特殊的二叉树斜树斜树1.所所有结点都只有左子有结点都只有左子树的二叉树称为树的二叉树称为左斜树左斜树；2.所有结点都只所有结点都只有右子有右子树的二叉树称为树的二叉树称为右斜树右斜树；3.3.左斜树和右斜树统称为左斜树和右斜树统称为斜树斜树。1.在斜树中，每一层只

28、有一个结点；在斜树中，每一层只有一个结点；2.斜树的结点个数与其深度相同。斜树的结点个数与其深度相同。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构斜树的特点：斜树的特点：ABCABC第46页/共166页满二叉树满二叉树在一棵二叉树中，如果所在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子和右子树，并且所有叶子都在都在同一层上。同一层上。满二叉树的特点满二叉树的特点：1.叶子只能出现在最下一层；叶子只能出现在最下一层；2.只有度为只有度为0和度为和度为2的结点。的结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BC

29、DEFGHIJKLM NO1112 13 14 15第47页/共166页满二叉树满二叉树5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构不是满二叉树，虽然不是满二叉树，虽然所有分支结点都有左所有分支结点都有左右子树，但叶子不在右子树，但叶子不在同一层上。同一层上。满二叉树在同样深度的二叉树中满二叉树在同样深度的二叉树中结点结点个数最多个数最多满二叉树在同样深度的二叉树中满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点叶子结点个数最多个数最多A1523467BCDEFGLM89特殊的二叉树特殊的二叉树第48页/共166页完全二叉树完全二叉树对一棵具有对一棵具有n个结点的二个结点的二叉树按层序编号，如果编叉树按层序编

30、号，如果编号为号为i（1in）的结点与的结点与同样深度的满二叉树中编同样深度的满二叉树中编号为号为i的结点在二叉树中的结点在二叉树中的位置完全相同。的位置完全相同。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BCDEFGHIJKLM NO1112 13 14 15A15234678910BCDEFGHIJ第49页/共166页在满二叉树中，从最后在满二叉树中，从最后一个结点开始，一个结点开始，连续连续去去掉掉任意任意个结点，即是一个结点，即是一棵完全二叉树。棵完全二叉树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构A1523467910BCDEFGHIJK

31、11L12M13N14O158A15234678910BCDEFGHIJ不是完全二叉树，结点不是完全二叉树，结点10与满二叉树中的结点与满二叉树中的结点10不是同一个结点不是同一个结点特殊的二叉树特殊的二叉树第50页/共166页1.叶子结点只能出现在最下叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；都集中在二叉树的左部；2.完全二叉树中如果有度为完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，的结点，只可能有一个，且该结且该结点只有左孩子。点只有左孩子。3.深度为深度为k的完全二叉树在的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。层上一定是满二叉树。完全二

32、叉树的特点完全二叉树的特点5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BCDEFGHIJ第51页/共166页二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 性质性质5-1 二叉树的第二叉树的第i层上最多有层上最多有2i-1个结点（个结点（i1）。）。证明：证明：当当i=1时时，第，第1层只有一个根结点，而层只有一个根结点，而 2i-1=20=1，结论显然成立。结论显然成立。假定假定i=k（1ki）时结论成立，即第）时结论成立，即第k层上至多有层上至多有2k-1个结点，个结点，则则 i=k+1时时，因为第，因为第k+1层上的结点是第层

33、上的结点是第k层上结点的孩子，而二叉树中每个结点最多有层上结点的孩子，而二叉树中每个结点最多有2个个孩子，故在第孩子，故在第k+1层上最大结点个数为第层上最大结点个数为第k层上的最层上的最大结点个数的二倍，即大结点个数的二倍，即22k-12k。结论成立。结论成立。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第52页/共166页性质性质5-2 一棵深度为一棵深度为k的二叉树中，最多有的二叉树中，最多有2k-1个结个结点，最少有点，最少有k个结点。个结点。证明：由性质证明：由性质1可知，深度为可知，深度为k的二叉树中结点个数最多的二叉树中结点个数最多=2k-1；每一层至少要有一个结点，因此深度为每一层

34、至少要有一个结点，因此深度为k的二叉树，的二叉树，至少有至少有k个结点。个结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构深度为深度为k且具有且具有2k-1个结点的二叉树个结点的二叉树一定是一定是满二叉树，满二叉树，深度为深度为k且具有且具有k个结点的二叉树个结点的二叉树不一定不一定是斜树。是斜树。二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 第53页/共166页性质性质5-3 在一棵二叉树中，如果叶子结点数为在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为度为2的结点数为的结点数为n2，则有则有:n0n21。证明证明:设设n为二叉树的结点总数，为二叉树的结点总数，n1为二叉树中度

35、为二叉树中度为为1的结点数，则有：的结点数，则有：nn0n1n2 在二叉树中，在二叉树中，除了根结点外，其余结点都有唯一除了根结点外，其余结点都有唯一的的一个分枝进入，由于这些分枝是由度为一个分枝进入，由于这些分枝是由度为1和度为和度为2的的结点射出的，一个度为结点射出的，一个度为1的结点射出一个分枝，一的结点射出一个分枝，一个度为个度为2的结点射出两个分枝，所以有：的结点射出两个分枝，所以有：nn12n21因此可以得到：因此可以得到：n0n21。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 第54页/共166页5.3 二叉树的逻辑结

36、构二叉树的逻辑结构在有在有n个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？因为在满二叉树中没有度为因为在满二叉树中没有度为1的结点，只有度为的结点，只有度为0的的叶子结点和度为叶子结点和度为2的分支结点，所以，的分支结点，所以，n n0+n2n0n2+1 即叶子结点即叶子结点n0（n+1）/2 二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 性质性质5-3 在一棵二叉树中，如果叶子结点数为在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为度为2的结点数为的结点数为n2，则有则有:n0n21。第55页/共166页性质性质5-4 具有具有n个结点的完全二叉树

37、的深度为个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构证证明明：假假设设具具有有n个个结结点点的的完完全全二二叉叉树树的的深深度度为为k，根据完全二叉树的定义和性质根据完全二叉树的定义和性质2，有下式成立，有下式成立 2k-1 n 2k 2k-1-12k-12k-1第第k-1层层第第k层层最少结点数最少结点数最多结点数最多结点数完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 第56页/共166页 5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构log2n+1log2nlog2nlog2n+1k所在区间所在区间证证明明：假假设设具

38、具有有n个个结结点点的的完完全全二二叉叉树树的的深深度度为为k，根据完全二叉树的定义和性质根据完全二叉树的定义和性质2，有下式成立，有下式成立 2k-1 n 2k完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 性质性质5-4 具有具有n个结点的完全二叉树的深度为个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。对不等式取对数，有：对不等式取对数，有：k-1log2nk即：即：log2nklog2n+1由于由于k是整数，故必有是整数，故必有k log2n+1。第57页/共166页性质性质5-5 对一棵具有对一棵具有n个结点的完全二叉树中从个结点的完全二叉树中从1开开

39、始按层序编号，则对于任意的序号为始按层序编号，则对于任意的序号为i（1in）的结的结点（简称为结点点（简称为结点i），），有：有：（1）如果）如果i1，则结点则结点i的双亲结点的序号为的双亲结点的序号为 i/2；如果如果i1，则结点则结点i是根结点，无双亲结点。是根结点，无双亲结点。(2)如果如果2in，则结点则结点i的左孩子的序号为的左孩子的序号为2i；如果如果2in，则结点则结点i无左孩子。无左孩子。(3)如果如果2i1n，则结点则结点i的右孩子的序号为的右孩子的序号为2i1；如果如果2i1n，则结点则结点 i无右孩子。无右孩子。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构完全二叉树的基本性质

40、完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 第58页/共166页18910456723对一棵具有对一棵具有n个结点的完全个结点的完全二叉树中从二叉树中从1开始按层序编开始按层序编号，则号，则l 结点结点i的双亲结点为的双亲结点为 i/2；l 结点结点i的左孩子为的左孩子为2i；l 结点结点i的右孩子为的右孩子为2i1。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构性质性质5表明，在完全二叉树中，结点的层序编号反映表明，在完全二叉树中，结点的层序编号反映了结点之间的逻辑关系。了结点之间的逻辑关系。完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 第59

41、页/共166页二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义ADT BiTreeData 由一个根结点和两棵互不相交的左右子树构成，由一个根结点和两棵互不相交的左右子树构成，结点具有相同数据类型及层次关系结点具有相同数据类型及层次关系Operation InitBiTree 前置条件：无前置条件：无 输入：无输入：无 功能：初始化一棵二叉树功能：初始化一棵二叉树 输出：无输出：无 后置条件：构造一个空的二叉树后置条件：构造一个空的二叉树5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第60页/共166页 DestroyBiTree 前置条件：二叉树已存

42、在前置条件：二叉树已存在 输入：无输入：无 功能：销毁一棵二叉树功能：销毁一棵二叉树 输出：无输出：无 后置条件：释放二叉树占用的存储空间后置条件：释放二叉树占用的存储空间 InsertL 前置条件：二叉树已存在前置条件：二叉树已存在 输入：数据值输入：数据值x，指针，指针parent 功功能能：将将数数据据域域为为x的的结结点点插插入入到到二二叉叉树树中中，作作为为结结点点parent的的左左孩孩子子。如如果果结结点点parent原原来来有有左左孩孩子子，则将结点则将结点parent原来的左孩子作为结点原来的左孩子作为结点x的左孩子的左孩子 输出：无输出：无 后置条件：如果插入成功，得到一个

43、新的二叉树后置条件：如果插入成功，得到一个新的二叉树 二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第61页/共166页DeleteL 前置条件：二叉树已存在 输入：指针parent 功能：在二叉树中删除结点parent的左子树 输出：无 后置条件：如果删除成功，得到一个新的二叉树Search 前置条件：二叉树已存在 输入：数据值x 功能：在二叉树中查找数据元素x 输出：指向该元素结点的指针 后置条件：二叉树不变 二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型

44、定义5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第62页/共166页 PreOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：前序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 InOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：中序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第63页/共166页 PostOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：后序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件

45、：二叉树不变 LeverOrder 前置条件：二叉树已存在 输入：无 功能：层序遍历二叉树 输出：二叉树中结点的一个线性排列 后置条件：二叉树不变 endADT二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义二叉树的抽象数据类型定义5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第64页/共166页二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被次且仅被访问访问一次。一次。二叉树遍历

46、操作的结果？二叉树遍历操作的结果？非线性结构线性化非线性结构线性化5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构抽象操作，抽象操作，可以是对结点进行的各种可以是对结点进行的各种处理，这里处理，这里简化为输出结点的数据。简化为输出结点的数据。前序遍历前序遍历中序遍历中序遍历后序遍历后序遍历层序遍历层序遍历 第65页/共166页二叉树的遍历方式：二叉树的遍历方式：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD 如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：前序前序：DLR中序中序：LDR后序后序：LRD层序遍历层序遍历：按二叉树的层序编号的次序访问各结点。：按二叉树

47、的层序编号的次序访问各结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构考虑二叉树的组成：考虑二叉树的组成：根结点根结点D左子树左子树L右子树右子树R二二叉叉树树第66页/共166页前序（根）遍历前序（根）遍历若若二二叉叉树树为为空空，则则空空操操作作返返回回；否则：否则：访问根结点；访问根结点；前序前序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；前序前序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构前序遍历序列：前序遍历序列：A B D G C E FABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第67页/共166页中序（根）遍历中

48、序（根）遍历若若二二叉叉树树为为空空，则则空空操操作作返返回回；否则：否则：中序中序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；访问根结点；访问根结点；中序中序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构中序遍历序列：中序遍历序列：D G B A E C FABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第68页/共166页后序（根）遍历后序（根）遍历若若二二叉叉树树为为空空，则则空空操操作作返返回回；否则：否则：后序后序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；后序后序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。访问根结点；访问根结点

49、；5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构后序遍历序列：后序遍历序列：G D B E F C AABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第69页/共166页层序遍历层序遍历二二叉叉树树的的层层次次遍遍历历是是指指从从二二叉叉树树的的第第一一层层（即即根根结结点点）开开始始，从从上上至至下下逐逐层层遍遍历历，在在同同一一层层中中，则则按按从从左左到到右右的顺序对结点逐个访问。的顺序对结点逐个访问。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构层序遍历序列：层序遍历序列：A B C D E F GABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树

50、的遍历操作 第70页/共166页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构-/+*abcdef二叉树遍历操作练习二叉树遍历操作练习前序遍历结果：前序遍历结果：-+a*b-c d/e f中序遍历结果：中序遍历结果：a+b*c-d-e/f后序遍历结果：后序遍历结果：a b c d-*+e f/-第71页/共166页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构若已知一棵二叉树的前序（或中序，或后序，或若已知一棵二叉树的前序（或中序，或后序，或层序）序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？层序）序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？ABC例：已知前序序列为例：已知前序序列为ABC，则可能的二叉树有，则可能的二叉树有5种。