微积分基本公式打印.pptx

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1、定积分的性质定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)规定第1页/共24页5.若在若在 a,b 上上则推论1.若在 a,b 上则推论2.6.设则第2页/共24页7.定积分中值定理定积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第3页/共24页说明说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因改成P241例6第4页/共24页内容小结内容小结1.定积分的定义 特殊和式的极限2.定积分的性质3.定积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式注:可进一步修改为(证明见5.2)第5页/共24页1.1.P235 P235 题题4 42.2.P

2、236 P236 题13(4)题13(4)解:设即但(P235 12(2)在0,1上严格单增第6页/共24页定积分中值定理(推广)证明:则至少存在一点若f(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)(P270第14题)证:不妨设g(x)0,若g(x)0则命题显然成立,若g(x)0,则设f(x)在a,b上的最小(大)值为m(M).m g(x)f(x)g(x)M g(x)在a,b上积分得,第7页/共24页由介值定理得,即使得第8页/共24页若在 a,b 上连续,证明且若(P235第12题)则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)

3、0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,),当x属于U(x0,)时,f(x)第9页/共24页与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证.首先若由(1)得,矛盾,所以(3)令F(x)=g(x)f(x)由(1)得,F(x)=g(x)f(x)0即g(x)=f(x)第10页/共24页二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 莱布尼兹公式 一、引例 5.2 微积分的基本公式 第五章(微积分的基本公式)第11页/共24页一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数则物体在时间间隔内经过的位移为这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.在这里s(t)是v(t)的原函数，即第12页/共24页二、积分上限

4、的函数及其导二、积分上限的函数及其导数数则变上限函数证:则有定理1.若(介于x与x+h之间)第13页/共24页说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.(推导在后面)第14页/共24页三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定理 1,故因此得记作定理2.函数,则第15页/共24页例例1.计算计算解:原式=例2.计算解:原式=第16页/共24页例4.计算正弦曲线的面积.解:例3.计算解:|第17页/共24页例例5.汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速停车,解:设开始刹车

5、时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?第18页/共24页例例6.求求解:原式例7.确定常数 a,b,c 的值,使解:原式=c 0,故又由,得第19页/共24页例例8.证明在内为单调递增函数.证:只要证第20页/共24页例9.设求在,的表达式.解:时,时,总之第21页/共24页内容小结内容小结则有1.微积分基本公式3.变限积分求导公式 2.定积分中值定理的推广(a,b)或(b,a)所以(保号的保持在积分内)第22页/共24页作业作业P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);11,12,13第23页/共24页谢谢您的观看！第24页/共24页