机械结构优化设计教学.pptx

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1、1111机械结构设计中的优化技术机械结构设计中的优化技术结构的优化设计结构的优化设计 结构尺寸优化 可靠性指标的优化 广义角度广义角度 结构形式优化 优化性能优化性能 材料性能的优化 拓扑优化 动力性能的优化 布局优化 控制结构优化 优化设计可看成是一个研究结构设计的理论和方法的问题优化设计可看成是一个研究结构设计的理论和方法的问题第1页/共103页1111机械结构设计中的优化技术机械结构设计中的优化技术例如例如：处理静态问题 a:结构分析的设计模型结构分析的设计模型b:结构优化的设计模型结构优化的设计模型第2页/共103页1212优化方法发展进程的简要回顾优化方法发展进程的简要回顾十七、十八

2、世纪十七、十八世纪：函数或泛函数极值求解方法提出奠定了优化方法的基础，如最速下降函数或泛函数极值求解方法提出奠定了优化方法的基础，如最速下降法、牛顿法、拉格朗日乘子法等。法、牛顿法、拉格朗日乘子法等。二十世纪五六十二十世纪五六十年代：年代：无约束优化寻优方向的数值解法，除黄金分割法外，又提出了一维搜无约束优化寻优方向的数值解法，除黄金分割法外，又提出了一维搜索技术，即一维搜搜试探类和插值类方法。同时，梯度法和牛顿类型索技术，即一维搜搜试探类和插值类方法。同时，梯度法和牛顿类型的无约束优化方法问世。的无约束优化方法问世。19511951年库克、塔恩推导出不等式约束非线性优化问题的极值条件，即年库

3、克、塔恩推导出不等式约束非线性优化问题的极值条件，即K-T条件。条件。19641964年结构拓扑优化、结构形状优化提出。结构形状优化理论和方法年结构拓扑优化、结构形状优化提出。结构形状优化理论和方法的提出，实现了优化问题从有限维参数优化向无限维形状优化的跨越。的提出，实现了优化问题从有限维参数优化向无限维形状优化的跨越。二十世纪七十年二十世纪七十年代：代：优化问题实用化，计算机的应用使参数、形状、拓扑优化的里理论和优化问题实用化，计算机的应用使参数、形状、拓扑优化的里理论和方法迅速发展方法迅速发展第3页/共103页1212优化方法发展进程的简要回顾优化方法发展进程的简要回顾二十世纪八十年代：二

4、十世纪八十年代：参数优化的理论方法趋于成熟，形状和拓扑优化开始用于求参数优化的理论方法趋于成熟，形状和拓扑优化开始用于求解工程实际问题解工程实际问题在优化设计发展过程中，针对不同特点和范畴的问题，提出了多种优化方法，如线性规划、几何规划、多目标优化、整数规划、离散变量优化、动态规划、模糊优化及遗传算法等第4页/共103页1212优化方法发展进程的简要回顾优化方法发展进程的简要回顾这里简单说明一下模糊优化、广义优化和遗传算法的含义这里简单说明一下模糊优化、广义优化和遗传算法的含义1 1）模糊优化：）模糊优化：2 2）广义优化：）广义优化：20世纪浙江大学冯培恩教授提出广义优化概念，即对机械产品进

5、行全系统、全性能、全过程的广义优化设计。第5页/共103页1212优化方法发展进程的简要回顾优化方法发展进程的简要回顾3）遗传算法：）遗传算法：1975年美国人Holland提出的一种人工智能方法，是在计算机上按照生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。遗传算法的思路遗传算法的思路是把函数的搜搜空间搜搜空间看成是一个映射的遗传空间遗传空间，而把在此空间进行寻优搜索的可行解可行解看成是一个由向量染色体向量染色体组组成的集合。染色体是有基因元素（用二进制或十进制的字符串编码表示）组成的向量。可由计算机用随机数列的方程给出。遗传算法中，目标函数目标函数被转化成应对各个个体的个体的适应度适应度，是目标

6、函数对每个染色体进行评价的一个表述。可以用来表示各个体的适应性能，并据以指导寻优搜索。适应度越大，说明性能越好。第6页/共103页1313形状优化的发展趋势形状优化的发展趋势 形状优化：形状优化：结构形状（包括拓扑）优化设计是确定二维和三维结构形状的机械结构优化设计。研究内容：研究内容：确定连续结构的边界形状和内部形状，如不同材料或厚度的分布区域、复合材料的结合面形状、结构件的加强层形状、板框结构的加强筋布局等。研究目的：研究目的：改善结构特性（如降低应力集中）、应力及温度场的分布情况，提高疲劳强度、延长结构件寿命等。第7页/共103页1313形状优化的发展趋势形状优化的发展趋势1 1）数值方

7、法数值方法辛柯维茨和康培尔以节点坐标为设计变量，使用等参有限单元模型和序列线性规划方法，设计水坝的最优形状艾玛姆以超曲线曲面的参数作为优化设计的变量、应用三维等参单元分析、采用差分法进行敏度分析来求解形状优化问题。2 2）变分方法）变分方法豪格及其合作者提出了形状优化问题的变分方法，并使用最速下降法和 有限元离散方法进行二维结构的优化设计3 3）敏度分析）敏度分析这种方法考虑了应力、应变或位移泛函，建立了主结构和伴随结构中应力或位移场变分的等价性条件，为形状优化提供了泛函的敏度分析方法，并解决了外边界或接触面变化的梁、盘、板、壳的形状优化问题 结构形状优化的方法结构形状优化的方法第8页/共10

8、3页1313形状优化的发展趋势形状优化的发展趋势4 4）有限元分析有限元分析采用有限元法进行结构重分析，即需要单元网格剖分技术，也需要对结构形状边界处个单元的边界曲线或曲面形成技术。因此，以结构形状优化为主体，连接有限元分析和几何造型技术为一体，已形成一门新的综合技术。第9页/共103页第二讲第二讲机械结构优化设计的特点和示例机械结构优化设计的特点和示例本章内容：本章内容：机械结构优化设计的特点机械结构优化设计的特点机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例机械结构优化涉及数学模型的表述机械结构优化涉及数学模型的表述第10页/共103页2121机械结构优化设计的特点机械结构优化设计的特点机械

9、结构优化的特点概括为以下四点：机械结构优化的特点概括为以下四点：(1)精密、复杂及重、大的机器零件（即结构件），一般的力学解析方法计算它们的静、动态性能，已经难以满足工程实际的要求。(2)结构优化进行分析计算时需要利用计算机进行有限元分析优化设计的自动或半自动的反复迭代，需要应用单元的网格剖分技术予以支持。(3)机械结构形状优化、拓扑及布局优化的分析计算需对结构进行敏度分析计算，敏度分析计算的结果给出了优化设计过程中变量（位移、应力等）的变化趋势，为下一步设计指明方向。(4)整机或杆系结构等复杂结构的分析，不仅需要采用有限元法进行分析，而且整机优化还涉及各组成部件的合理的数值分配问题。综上所述

10、，机械结构优化设计是以计算机为手段，集有限元分析技术、数值优化综上所述，机械结构优化设计是以计算机为手段，集有限元分析技术、数值优化方法和计算机图形于一体的综合性方法和技术，是多学科交叉的一门机械结构设方法和计算机图形于一体的综合性方法和技术，是多学科交叉的一门机械结构设计理论和技术。计理论和技术。第11页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.12.1】直升机尾仓部分桁架结构的优化设计图（a）是某直升机尾仓部分的外观图图（b）是它内部桁架结构的两个视图如右图如右图a,b桁架结构，在设计时要求其桁架结构，在设计时要求其总质量最小，但各杆受载时，对其单总质量最小

11、，但各杆受载时，对其单元的应力元的应力 、节点位移、节点位移 以及振动的以及振动的固有频率固有频率 都应有限制都应有限制。分析分析：图示桁架结构共有108个杆单元，28个节点（其中有4个固定），每个节点考虑3个自由度，共有72个自由度，用有限元方法计算 、和 。当取各杆横截面积 为设计变量时，相应的计算公式是：第12页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.12.1】直升机尾仓部分桁架结构的优化设计第13页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.12.1】直升机尾仓部分桁架结构的优化设计所以，优化问题可归结为：求一组变量A，使

12、目标函数第14页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.22.2】机床主轴的优化设计分析分析：用有限元法利用状态方程计算轴端变形 和固有频率 。这时，问题归结为：求 的值使质量最小，并满足条件：第15页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.32.3】热压机机架结构的优化设计热压机是用来压制胶合板、纤维板、刨花板等平板制品的一种液压机。某重型机器厂生产的6450t热压机的主体由8架16片框板平行组装而成，每片框板的结构尺寸及受力状况如图（a）（b）所示：以质量最小为目标的优化设计：以质量最小为目标的优化设计：第16页/共103

13、页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.32.3】热压机机架结构的优化设计1.1.设计变量设计变量取是个设计变量来描述框板的外形尺寸和厚度，如图(c)所示。即图（C）图（d）图(e)图（d）为图（c）的有限元剖分图，图（e）是优化前的应力分布图第17页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.32.3】热压机机架结构的优化设计2.2.目标函数目标函数取单片框板的质量3.3.约束函数约束函数第18页/共103页2222机械结构优化设计的示例机械结构优化设计的示例【例例2.32.3】热压机机架结构的优化设计第19页/共103页2323机械结构

14、优化设计数学模型的表述机械结构优化设计数学模型的表述第20页/共103页第三讲第三讲 弹性力学基础弹性力学基础本章内容：本章内容：小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的能量原理小位移弹性理论的能量原理第21页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程一、应力分量一、应力分量在弹性体内，作用在其截面上的某一点某一点应力应力可分解成两个分量，即垂直该面的即垂直该面的正应力正应力和作用在该面的切应力作用在该面的切应力。切应力切应力可沿其作用面的两上坐标方向分解成两可沿其作用面的两上坐标方向分解成两个分量。个分量。例如右图中，在截面 上，一点的应为:

15、第22页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程应力的正负方向符号规则：应力的正负方向符号规则：若背离作用面的拉应力为若背离作用面的拉应力为正应力正应力，则朝向作用面，则朝向作用面的压应力为的压应力为负应力负应力。这样，在 面上正应力与坐标轴方向一致，而 面上，正应力与坐标轴方向相反。切应力的符号和正应力的正负有关切应力的符号和正应力的正负有关。如果正应力的正方向与坐标轴的正方向相同，则和另外两个坐标轴的正方向相同的切应力规定为正的切应力；如果正应力与坐标轴的方向相反，正的切应力方向也应与其他两个坐标轴的方向相反。因此，弹性体内的九个应力分量是既有大小、方向，又有其

16、作用面的向量。它们可以写成矩阵的形式：第23页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程二、力的平衡微分方程二、力的平衡微分方程1.1.外力外力一般来说，作用在物体上的外力可以分为两类：表面力、体积力表面力、体积力。表面力表面力分布在物体表面上的力分布在物体表面上的力（如梁上的载荷、液体静压力等）都是表面力都是表面力。它们在 三个坐标轴上的投影分别有 表示，它们都是单位面积上的力。体积力体积力分布在物体体积中的力分布在物体体积中的力（如重力、离心力、惯性力等）都是体积力都是体积力。它们在三个坐标轴上的投影分别用 表示，它们是单位体积上的力。第24页/共103页3131

17、小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程2.内力与应力：内力与应力：受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。过M点取截面的一部分，面积为S，作用于其上的内力为F，平均集度为F/S，其极限为为物体在该截面上A点的应力。第25页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程点的应力状态：一点所有截面的应力矢量的集合取一个微小的六面体：独立应力分量：xyzo第26页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程3.3.任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力O

18、点应力状态：斜截面的法线方向余弦：设S为ABC的面积，则OBC=lSOCA=mSOAB=nS设h为O点至斜面ABC的高，ABC的法线方向的单位矢量可表示为：n=l i+m j+n k第27页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程微四面体在应力矢量和体积力作用下满足平衡条件，由x方向的平衡可得：对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此同理 第28页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程4.平衡微分方程平衡微分方程微小六面体边长 dx,dy,dz单元体的体力 X,Y,Z应力是位置坐标的函数，所以第29页/共103页

19、3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程平衡微分方程示意图第30页/共103页3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程静力平衡条件静力平衡条件 平衡微分方程平衡微分方程第31页/共103页三、应变分量及应变和位移的关系三、应变分量及应变和位移的关系1.应变应变应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关。棱边的伸长和缩短棱边之间夹角变化点的应变矢量:正应变切应变点的应变状态也是坐标的单值连续函数3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第32页/共103页2.位移位移物体内部各点空间位置发生变化 M(x,y,z)M(x,y,z)位移：刚体位移 变

20、形位移点的位移矢量:位移是点的坐标的单值连续函数3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第33页/共103页3.应变和位移关系应变和位移关系微六面体：MA=dxMB=dyMC=dz3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第34页/共103页3.应变和位移关系应变和位移关系因此3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第35页/共103页切应变与位移：因此：因此：3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第36页/共103页3.应变和位移关系应变和位移关系空间几何方程空间几何方程：由几何方程可知，已知位移函数u,v,w，则该点应变分量确

21、定。但是，应变分量确定，无法求出位移分量。3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第37页/共103页设 ex=3x,ey=2y,gxy=xy,ez=gxz=gyz=0,求其位移。解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第38页/共103页变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。同一平面内的正应变与剪应变之间的关系（3个）：从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得变形协

22、调方程变形协调方程3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第39页/共103页变形协调方程变形协调方程不同平面内的正应变与剪应变之间的关系(3个）：将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则对x求一阶偏导数，则 3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第40页/共103页四：应力和应变的关系四：应力和应变的关系应力应变关系属于材料性能称为物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G复杂应力状态难以直接通过实验确定3131小位移弹性理论

23、的基本方程小位移弹性理论的基本方程第41页/共103页杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有 泊松比，也称横向变形系数。取一个单元体，在各正应力作用下，沿轴方向的正应变：)(E1Ex321zyxzyxxxxEEssmssmsmseeee+-=-=+=3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第42页/共103页剪应变：广义虎克定律广义虎克定律：3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程第43页/共103页写成矩阵形式：物理方程物理方程简记为 其中，为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数和。3131小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理

24、论的基本方程第44页/共103页一、应变能一、应变能弹性体受到外力作用时，发生变形，物体变形时相对应的内力所做的功称为应变能（或内力位能应变能（或内力位能）。假定从弹性体中截出一单元平行六面体，计算作用在单元边界上的功。1）首先假设单元体上只作用有）首先假设单元体上只作用有 ，如图332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第45页/共103页所以，单元体所做的净功为：2）同理可假设，单元体受）同理可假设，单元体受 两个正应力时两个正应力时，332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第46页/共103页332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第47页/共10

25、3页332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第48页/共103页3）切应力）切应力 作用下的单元体作用下的单元体如右图，作用在单元体边界上的于，在此作用力方向上的位移为。则，应变能为：332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第49页/共103页由上节应力和应变的关系，弹性体的总应变能可完全由上节应力和应变的关系，弹性体的总应变能可完全由应力由应力表示为：表示为：或者可完全或者可完全由应变由应变表示为：表示为：二、外力位能和系统总位能二、外力位能和系统总位能总位能：总位能：弹性结构系统从实际状态实际状态运动到某一参考状态参考状态（通常取结构的卸载状态作为参考状态）时它

26、的所有作用力所做的功。总位能包括内力位能（即应变能）和外力位能。外力位能：外力位能：弹性结构系统外力所做的功332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第50页/共103页外力位能外力位能是结构从它的最终位置（实际状态或守在状态）运动到初始状态（参考状态或卸载状态），结构上每一个外力做的功，所以为负值。其中其中，是已知的那一部分边界332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第51页/共103页式中式中，为作用在结构上的外力分量，是相应的位移列阵。所以，弹性结构在外力作用下的总位能：所以，弹性结构在外力作用下的总位能：332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第

27、52页/共103页若内力位能用位移法表示：若内力位能用位移法表示：则，总位能可表示为则，总位能可表示为332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第53页/共103页三、最小位能原理和最小余能原理三、最小位能原理和最小余能原理变形弹性体的总位能：其中其中，位移（u,v,w）是满足连续条件（几何条件和位移已知的边界条件）的任意单值连续函数，是泛函的容许函数，即可以有许多组不同的值。因此，不同组的（u,v,w）中，总会有一组值使得泛函取得最小值。物理意义上讲，如上图，若有梁受外力F而变形，可设想满足变性条件连续的前提下，它有多种变形曲线的可能。但总有一条是真正的变形曲线，其他满足变形连续

28、条件的可能变形曲线则是，它的接近曲线。从变分原理考虑，这条真实变形曲线是泛函取得极值，计算出来的。也就是说，总位能取极值的条件总位能取极值的条件 所给出的真实位移，此时总位能最小，即所给出的真实位移，此时总位能最小，即“最小位能原理最小位能原理”。332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第54页/共103页最小位能原理最小位能原理也可叙述为：与精确解（真实位移）相应的位能小于任何其他与精确解（真实位移）相应的位能小于任何其他可能位移的位能。可能位移的位能。最小余能原理最小余能原理可叙述为：与精确解（真实应力）相应的余能小于与任何人其他满足与精确解（真实应力）相应的余能小于与任何人

29、其他满足平衡条件（包括外力已知的边界条件）的可能应力相应的余能。平衡条件（包括外力已知的边界条件）的可能应力相应的余能。虚虚位位移移：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形协调条件和几何边界条件。虚虚位位移移原原理理（虚虚功功原原理理）：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做得虚功等于弹性体所具有的虚变形势能。332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第55页/共103页1.位移、应变和应力位移、应变和应力应变表达式应变表达式位移表达式：位移表

30、达式：应变张量：应变张量：应力应力应变关系应变关系（由胡克定理得到）：332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第56页/共103页2.弹性体的平衡方程弹性体的平衡方程3.边界条件边界条件332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第57页/共103页4.由虚功原理写出弹性体总能量的平衡式由虚功原理写出弹性体总能量的平衡式记记则有则有：332小小位移弹性理论位移弹性理论的能量概念的能量概念第58页/共103页第四讲第四讲 机械结构形状优化设计机械结构形状优化设计本章内容：本章内容：机械结构形状优化设计问题的数学模型机械结构形状优化设计问题的数学模型弹性结构形状优化设计中的

31、敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法机械结构形状优化设计问题的求解方法简介机械结构形状优化设计问题的求解方法简介第59页/共103页41机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数学模型优化设计问题的数学模型一、目标函数一、目标函数机械结构优化设计的目标函数通常是寻求具有最小质量、体积或其他的性目标函数通常是寻求具有最小质量、体积或其他的性能指标能指标，如最小位移、应力、频率等。例如例如：最小余能原理中，当弹性结构结构总位能最小四，求满足弹性结构的真实变形曲线。所以，弹性结构的能量可作为设计性能的评价指标，即优化设计的目标函数，此目标函数可写为：二、

32、设计变量二、设计变量在机械结构优化设计过程中，需要进行修改调整的那些结构参数称为设计需要进行修改调整的那些结构参数称为设计变量变量。如机械构件的长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量几何量，质量、惯性矩、力或力矩等物理量物理量，应力，变形、固有频率等代表工作性能的导导出量。出量。第60页/共103页41机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数学模型优化设计问题的数学模型由于“结构形状”的含义不仅限于结构外表面形状，以及弹性结构形状优化理论和分析方法从无限维连续型问题发展到有限维离散问题。因而，设计变量也不断发生变化：早期后来接下来采用边界节点坐标作为形状设计变量使用直线和圆弧设计边界，采用六节

33、点或八节点等参单元进行结构分析采用二维等参数单元，描述单元形状的多项式系数为设计变量，使用惩罚函数法等进行板壳结构的形状优化设计采用Bezier曲线、B样条曲线以及三次样条曲线等描述边界形状和结构形状是，可以用相应的型值点和顶点作为设计变量第61页/共103页41机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数学模型优化设计问题的数学模型三、约束条件三、约束条件结构优化设计必须满足某些设计限制条件结构优化设计必须满足某些设计限制条件，才能被工程实际所接受，这些限制条件称作约束条件限制条件称作约束条件，简称约束。设计人员根据实际条件给定的可称为点约束点约束，具有上下限的约束称为侧面约束或边界约束侧面约束

34、或边界约束。四、机械结构相撞优化设计的数学模型四、机械结构相撞优化设计的数学模型例：例：采用有理EE和EB样条方法描述结构边界形状的形状优化数学模型，说明离散化的结构形状优化的泛函形式。分析分析：由于有理EE和EB样条方法形成曲线曲面是通过整体形状控制参数和局部控制参数及控制顶点和控制插值型点实现的，而在形状优化设计中，区域结构的形状作为优化设计的变量，因此设计变量为：设计变量为：第62页/共103页41机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数学模型优化设计问题的数学模型目标目标函数及约束条件为函数及约束条件为：第63页/共103页2023/3/1841机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数

35、学模型优化设计问题的数学模型机械结构形状优化设计问题的数学模型可表述如下：机械结构形状优化设计问题的数学模型可表述如下：求控制变量和状态变量，使性能指标目标泛函取极值第64页/共103页41机械结构机械结构形状形状优化设计问题的数学模型优化设计问题的数学模型优化设计过程由于有限元或边界元分析方法的引入，就需要解决特有的单元剖分技术。不仅于此，在参数优化时，函数的导数提供了最优方向的信息，它是参数优化的重要基础。同样地，在形状优化时，泛函的变分提供状态变量的变化趋势，它也为设计指明了方向、提供了信息，它是形状优化的重要基础。这种泛函的变分或求导泛函的变分或求导又称为“灵敏度分析灵敏度分析”（简称

36、敏度分析）。五、敏度分析五、敏度分析从优化设计的角度来说，形状设计的敏度分析应该是状态变量对形状的敏形状设计的敏度分析应该是状态变量对形状的敏度，度，而不是形状设计参数的敏度。而不是形状设计参数的敏度。第65页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析一、弹性结构的物质导数一、弹性结构的物质导数如图所示的区域，其边界为,。若内某点由于时间的作用而产生一个移动到达,则相应地有区域和边界，。可认为，始时刻t=0时区域是，时刻移动到，变动为。设只有一个参数t定义移动，则可写出：可理解为设计速度区域变化图：第66页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹

37、性结构形状优化设计中的敏度分析上式略去二次项得：所以有：从泛函意义上讲，设函数是一个弹性问题的连续解，且在上计算的。则根据导数定义，在上有此时的t是定义初始形状和现实形状之间的移动参数，或称“形状设计参数”第67页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析在t=0时，的全微分，可写成：如果我们用表示弹性体的某点相关的一个量，则就是用质点的坐标空间坐标x来表示的某种导出量的函数式。则就反映了“弹性连续体区域变化到对的影响程度”。它定义为“物质导数物质导数”。也就是说，物质导数是用来描述它的形状变化所引起的弹性结构性能的变化之间的关系物质导数是用来描述它的形状

38、变化所引起的弹性结构性能的变化之间的关系。这样，第68页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析二、物质导数的变分形式二、物质导数的变分形式对于一般的泛函：式式第69页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析变形区域的分布区分图若函数G是可微的，泛函对速度场V也是可微的，则可取的一阶变分为对微小的t，可用所示的已变形区域的分布区分图写出：（式（式）因此，式可改成：第70页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析对于微小的t，。这里的ds是沿的微小弧长（或面积）。则上式可化为：

39、当t=0时：式式第71页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析则式可化为：式式式的第一项表示状态变化的影响，第二项表示法向边界扰动的影响。也就是说，式是最初的泛函式由于状态变化和法向边界扰导致的区域变化的表达式。若定义边界的法向扰动（微小移动）为：则式可简化为：式式式式就是物质导数的变分表达式就是物质导数的变分表达式第72页/共103页42弹性结构形状优化设计中的敏度分析弹性结构形状优化设计中的敏度分析物质导数的两种不同表达式：物质导数的两种不同表达式：其中，是一个定义在上的正规函数，H是中的曲率和中的二次平均曲率。第73页/共103页43敏度分析的物

40、质导数方法敏度分析的物质导数方法由上节可知物质导数的变分形式为：为了把物质导数的变分表达使用单一的形状变化来表达，需把式中的用来表示，即需要用形状变化表述状态变化。下面有两种方法来处理这个问题：直接法用直接代入上式中，直接算出由于设计变量的变化引起的应力、应变、和位移场等的变化。物质导数法第74页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法一、形状设计敏度分析的计算式一、形状设计敏度分析的计算式形状最优设计的第一步是研究形状的变化与泛函变分之间的关系，二维或三维区域，假设其边界足够光滑，则可定义外法线向量n。定义为区域变形的速度场，其中。首先，推导目标泛函的敏度分析计算式引入根

41、据虚位移原理的能量表达式：可得到：式式 第75页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法此外，还需引入第一节的式式式（1）对于定义在边界上的泛函）对于定义在边界上的泛函 ，可通过高斯积分公式把它转变成对体积的积分或者由变分的定义导出其一阶变分，得：第76页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法式中，H边界曲率。（2）对于区域）对于区域部分，部分，可从可从式式进行分析。进行分析。通过式式进行微分计算并将式式分别代入，可得到一个可计算的敏度分析计算式：式式式式式式第77页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法式式将式式 代入式式得：得

42、：式式第78页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法由式式和式式可得：式式第79页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法二、位移型泛函和应力型泛函的敏度计算二、位移型泛函和应力型泛函的敏度计算1.位移型泛函的敏度分析位移型泛函的敏度分析式式第80页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法第81页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法上式可进一步化简为：第82页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法2.应力型泛函灵敏度分析的变分方法应力型泛函灵敏度分析的变分方法应力约束型泛函，考虑在整个区

43、域上采用同一材料，则约束泛函可写为：假定边界足够光滑，对上式取物质导数得到：式式第83页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法式式三、设计速度场的计算三、设计速度场的计算在计算设计速度场时，主要的方法有有限差分析法，等参映射法、边界位移和虚载荷法、等参映射和边界位移的混合方法。第84页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法有限差分析法通过计算初始有限元网格和边界扰动后的有限元网个节点坐标差，产生设计速度场。等参映射法基于空间分解生成有限元网格和计算速度场。边界位移和虚载荷法通过分析特定位移或指定载荷作用下的辅助结构，离散化控制结构的偏微分方程获得一矩

44、阵方程，求解该矩阵方程设计速度场。分析发现，上述几种方法中，仅有限差分析法可以改变初始网格拓扑，其他方法均保持了初始风格拓扑不变。在广义形状优化设计中，设计速度场与设计变量的线性关系已不能满足设计的需要。为此，采取以下策略：计算设计速度场时，不考虑优化程序所使用的确定的设计变量，设边界形状变化为，新边界为。用已有的设计变量来描述区域便捷的变化，若设计变量能够描述边界的扰动，则不增加设计变量的数量。否则对描述边界的曲线和曲面进行升阶。第85页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法在二维问题优化中，由于结构的拓扑发生变化产生的线边界设定为二次曲线。计算基于几何模型的设计速度场

45、已知设计速度场情况下，考虑目标函数：和约束函数：，以及应用式：可简单得到：得第86页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法第87页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法得到：第88页/共103页43敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法第89页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法一、一、H函数极值法函数极值法H函数极值法的基本思路基本思路，首先构造一个，首先构造一个“极大值原理极大值原理”或或“鲍尔扎鲍尔扎”方法方法定义的定义的H函数，然后用机械优化设计中的梯度法、变尺度法等说明，形成函数，然后用

46、机械优化设计中的梯度法、变尺度法等说明，形成搜索迅游方向对搜索迅游方向对H 函数求解。函数求解。H函数极值法最优过程的框图第90页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法二、物质导数敏度分析的线性化方法二、物质导数敏度分析的线性化方法物质导数敏度分析的线性化方法物质导数敏度分析的线性化方法是以物质导数敏度分析的结果为基础的优是以物质导数敏度分析的结果为基础的优化方法。化方法。对于二维、三维的线弹性结构形状优化设计问题，其目标是选择一个区域，以极小化如下形式的目标泛函：式式第91页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问

47、题的求解方法图：沿法线n方向测量的边界摄动量也可表示各种约束泛函。第92页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法约束泛函的变化量可写为：根据的定义边界约束可写成下述的线性化形式：式式第93页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法下面简单介绍两种求解上面提出的经过线性化结构形状优化设计问题的方法。1.连续优化方法：连续优化方法：首先把式式的边界写成两个不等式约束，即定义两组有效约束的指标为：第94页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法式式可写成线性形式如下：

48、并定义矩阵：第95页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法经过如上述的一些计算式后，可进行如下的结构形状优化问题的寻优迭代计算第96页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法2.有限维优化方法有限维优化方法图：边界上的点求：使：第97页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法第98页/共103页44机械结构形状优化设计问题的求解方法机械结构形状优化设计问题的求解方法此时，可采用一个有限维的离散的一般的参数优化方法求出，对所述的结构形状优化设计问题进行搜索最优计算。第99页/共103页第五讲第五讲 机械结构优化设计应用实例机械结构优化设计应用实例第100页/共103页第101页/共103页第102页/共103页2023/3/18感谢您的观看。感谢您的观看。第103页/共103页