数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组.pptx

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1、第1页/共31页第2页/共31页第3页/共31页第4页/共31页第5页/共31页第6页/共31页第7页/共31页lupdsv.m%功能：调用列主元三角分解函数LU,p=lupd(A)%求解线性方程组Ax=b。%解法：PA=LU,Ax=bPAx=Pb%LUx=Pb,y=Ux%Ly=f=Pb,f(i)=b(p(i)%输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可）%输出：解x（行向量）第8页/共31页function x=lupdsv(A,b)n=length(b);LU,p=lupd(A);y(1)=b(p(1);for i=2:n y(i)=b(p(i)-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1);en

2、dx(n)=y(n)/LU(n,n);for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)/LU(i,i);end第9页/共31页lupqdsv.m%功能：调用全主元三角分解函数LU,p,q=lupqd(A)%求解线性方程组Ax=b。%解法：PAQ-1=LU,Ax=b(PAQ-1)(Qx)=Pb%LU(Qx)=Pb,z=Qx,y=Uz%Ly=f=Pb,f(i)=b(p(i)%Uz=y,z=Qx,x(q(i)=z(i).%输入：方阵A，右端项b（行或列向量均可）%输出：解x（行向量）第10页/共31页function x=lupqdsv(A,b)n=l

3、ength(b);LU,p,q=lupqd(A);y(1)=b(p(1);for i=2:n y(i)=b(p(i)-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1);endz(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n)=z(n);for i=(n-1):-1:1 z(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*z(i+1:n)/LU(i,i);x(q(i)=z(i);end第11页/共31页第12页/共31页第13页/共31页第14页/共31页第15页/共31页定 义 1 若 n 阶 矩 阵 A=(aij)的 元 素 满 足:对 于1p,qn的正整数p、q,有ji+p及ij+q时，aij=0，则A称

4、为带状矩阵.带宽为w=p+q-1。A称为三对角矩阵。较常见带状矩阵为带宽为3（p=q=2,w=3)的矩阵。系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。七、三对角方程组的解法第16页/共31页三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对角线性方程组的快速解法。第17页/共31页 定理 如果带宽为 w=p+q-1 的n阶带状矩阵A有LU分解:A=LU，则L是带宽为p的下三角矩阵，U是带宽为q的上三角矩阵。第18页/共31页第19页/共31页第20页/共31页第21页/共31页第22页/共31页求解Ux=y,x4=0.3333,x3=-0.3333,x2=-1,x1=-1求解Ly=b,y1=1,y2=1.5,y3=1,y4=0.5第23页/共31页周期三对角方程组的一般形式 基本思想：利用谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)将方程化为三对角方程求解。第24页/共31页谢尔曼-莫里森公式（Sherman-Morrison)第25页/共31页第26页/共31页第27页/共31页如何选取U,V第28页/共31页第29页/共31页二版习题 P115-15,16三版习题 P138-10,11第30页/共31页感谢您的观看。第31页/共31页