数学等差数列前n项的和一.pptx

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1、复习引入复习引入1.等差数列定义：等差数列定义：即即anan1 d(n2).2.等差数列通项公式：等差数列通项公式：(1)ana1(n1)d(n1).(2)anam(nm)d.(3)anpnq(p、q是常数是常数)第1页/共34页复习引入复习引入3.几种计算公差几种计算公差d的方法的方法:第2页/共34页复习引入复习引入4.等差中项等差中项成等差数列成等差数列.mnpq amanapaq.(m，n，p，qN)5.等差数列的性质等差数列的性质第3页/共34页练习Sn-1=a1+a2+a3+-+an-1(n1)Sn-Sn-1=?an数列的前数列的前n项和：项和：第4页/共34页看课本42页思考1.

2、这两个例子分别是对什么数列求和？都采用了什么样的方法？有何特点？2.对于一个一般的等差数列，我们应该如何求前n项和呢？第5页/共34页 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算

3、出来的呢？巧妙地计算出来的呢？高斯（高斯（1777-18551777-1855），），德国德国数学家、物理学家和天文学家。数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有史以来的三大数学家。有“数学数学王子王子”之称。之称。高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事:情景一情景一第6页/共34页首项与末项的和：1100101，第2项与倒数第2项的和：299=101，第3项与倒数第3项的和：398101，第50项与倒数第50项的和：5051101，于是所求的和是：求S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯

4、算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？第7页/共34页 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案案之细致令人叫绝。之细致令人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层，奢奢靡靡之程度，可见一斑

5、。之程度，可见一斑。你你知知道道这这个个图图案案一一共共花花了了多多少宝石吗？少宝石吗？情景二情景二第8页/共34页 这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有简单方法吗？思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？第9页/共34页 借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？第10

6、页/共34页思考：思考：图案中，第图案中，第1 1层到第层到第2121层一共有多少颗层一共有多少颗宝石？宝石？123212120191获得算法获得算法：第11页/共34页这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：1+2+3+4+2121+20+19+18+122+22+22+22+22探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？第12页/共34页此种求和法称为倒序相加法倒序相加法n个设等差数列的前项和为，即又探究新知探究新知第13页/共34页等差数列的前等差数列的前n n项和的公式：项和的公式：思考

7、：（1）公式的文字语言；（2）公式的特点；可知三求一等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。探究新知探究新知思考：若已知及公差，结果会怎样呢？第14页/共34页前前n项和公式的几种形式项和公式的几种形式公式的结构特征公式的结构特征变形若是确定的，那么 是关于的二次函数且缺常数项。第15页/共34页在等差数列在等差数列 aan n 中，如果已知五个元素中，如果已知五个元素 a a1 1,a,an n,n,d,S,n,d,Snn中的任意三个中的任意三个,请问请问:能否能否求出其余两个量求出其余两个量?结论：知结论：知 三三 求求 二二想想一一想想探究新知探究新知第16页/共34页公式记

8、忆 类比梯形面积公式记忆第17页/共34页例1 1、20002000年1111月1414日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从20012001年起用1010年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，20012001年该市用于“校校通”工程的经费为500500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加5050万元。那么，从20012001年起的未来1010年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：找关键句；求什么，如何求；典例剖析典例剖析第18页/共34页法一法二第19页/共34页 例例3:3:在等差

9、数列在等差数列aan n 中，中，已知已知 ，求，求S S7.7.补补例例练习练习:已知一个共有已知一个共有n n项的等差数列项的等差数列前前4 4项之和为项之和为26,26,末四项之和为末四项之和为110,110,且所有项的和为且所有项的和为187187，求，求n.n.第20页/共34页分析an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2-，得n=1时，a1=S1=12+1/2=3/2满足式所以an=2n-1/2题型一）已知前题型一）已知前n n项和项和S Sn n，求通项，求通项a an n第21页/共34页（1）当数列2n-24前n项之和取得最小值时，n=？练习（2）等差数列an，|a3|=|a9

10、|，d0,S3=S11,则数列的前几项的和最大？7第22页/共34页等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：特征：特征：第23页/共34页nanOan=4n-14Sn=2n2-12nSn的深入认识第24页/共34页思考：思考：结论：结论：第25页/共34页第26页/共34页等差数列前n项和公式（倒序相加法）变形变形是关于n的二次函数且缺常数项.课堂小结课堂小结第27页/共34页1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;小结小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.第28页/共34页应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.第29页/共34页1、注：本题体现了方程的思想.解：巩固巩固练习练习第30页/共34页2、解：又解：整体运算整体运算的思想的思想!第31页/共34页3、解：第32页/共34页第33页/共34页谢谢您的观看！第34页/共34页