数理统计基本概念.pptx

《数理统计基本概念.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计基本概念.pptx（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 一、引言一、引言数理统计数理统计以概率论为理论基础以概率论为理论基础,研究研究 2)研究如何合理地研究如何合理地分析随机数据分析随机数据从而作出科学的从而作出科学的推断推断 (称为称为统计推断统计推断).).总体、样本与统计量总体、样本与统计量 1）研究如何以有效的方式研究如何以有效的方式收集和整理收集和整理随机数据随机数据;数理统计的引入数理统计的引入第1页/共60页 两类工作有密切联系两类工作有密切联系.将主要介绍统计推断方面的内容将主要介绍统计推断方面的内容.总体总体：研究对象的全体所组成的集合：研究对象的全体所组成的集合.个体个体：组成总体的每个单位元素：组成总体的每个单位元素.例例

2、1 要考察本校男生的身体情况，则将本校要考察本校男生的身体情况，则将本校的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是一个个体一个个体.二、总体二、总体第2页/共60页 如，关心电子元件的寿命，则寿命如，关心电子元件的寿命，则寿命 X 为其一个数量指标，且为其一个数量指标，且 X 是服从指数分是服从指数分布的随机变量布的随机变量.例例2 考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体一个个体.通常需要对总体的一项或几项通常需要对总体的一项或几项数量指标数量指标进行

3、研究进行研究.如仅考虑男生的身高和体重如仅考虑男生的身高和体重(X,Y),不考虑不考虑男生的视力、胸围等男生的视力、胸围等.第3页/共60页以后将以后将(实际实际)总体和数量指标总体和数量指标X等同等同起来起来.总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 由于上述数量指标往往是由于上述数量指标往往是随机变量随机变量，具有一定的分布，具有一定的分布.总体分布总体分布是指是指数量指标数量指标 X的分布的分布.三、样本三、样本 一般，从总体中抽取一部分一般，从总体中抽取一部分(取取 n 个个)进行观测，再依据这进行观测，再依据这 n个个体的试验个个体的试验(或观察或观察)的结果去推断总体的性质的结果去

4、推断总体的性质.第4页/共60页 样本样本:按照按照一定的规则一定的规则从总体中抽取的一部分个体从总体中抽取的一部分个体.抽样抽样：抽取样本的过程：抽取样本的过程.样本容量样本容量：样本中个体的数目：样本中个体的数目 n.将第将第 i 个个体的对应指标记为个个体的对应指标记为 Xi，i=1,2,n,构成的随机向量构成的随机向量(X1,X2,Xn)称为样本称为样本.样本样本是一组随机变量是一组随机变量，其具体试验其具体试验(观察观察)数值记为数值记为：x1,x2,xn，称为称为样本样本观测值观测值，简称，简称样本值样本值.第5页/共60页为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件为使样本具有代表性，

5、抽样应满足什么条件从民意测验看抽样从民意测验看抽样?（1）Xi 与总体同分布与总体同分布；（2）X1,X2,Xn 相互独立相互独立.定义定义 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本，如果的样本，如果相互独立相互独立且每个分量与且每个分量与总体总体同分布同分布，称其为，称其为简单随机样本简单随机样本，简称样本，简称样本.第6页/共60页 若总体若总体X的分布函数为的分布函数为 F(x),则样本则样本X1,X2,Xn的联合分布函数为的联合分布函数为第7页/共60页第8页/共60页#故故(X1,X2,X5)的联合分布律为的联合分布律为PX1=x1,X2=x2,X5=x5解：因解：因第9页/

6、共60页第10页/共60页第11页/共60页判断统计量判断统计量是随机变量且不含未知参数，称是随机变量且不含未知参数，称 T为为统计量统计量.对相应的样本值对相应的样本值(x1,x2,xn)，称称 t=T(x1,x2,xn)为统计量的为统计量的统计值统计值.四、统计量四、统计量 定义定义 设设X1,X2,Xn是总体是总体X的样本，的样本，T为为n元实值函数，若样本的函数元实值函数，若样本的函数T=T(X1,X2,Xn)第12页/共60页 例例 1 设总体设总体 X B(1,p)，其中，其中 p 是未知参数，是未知参数，(X1,X2,X5)是来自是来自 X 的简单随机样本，的简单随机样本，1)指

7、出以下变量哪些是统计量，为什么？指出以下变量哪些是统计量，为什么？2)确定确定(X1,X2,X5)的联合概率分布？的联合概率分布？解解 只有只有 不是统计量不是统计量,因因 p 是未知参数是未知参数.第13页/共60页总总 体体 是是 随随 机机 变变 量量 统计量统计量 是是 随机变量随机变量(或向量）或向量）样样 本本 是是 随随 机机 向向 量量第14页/共60页样本均值样本均值：样本方差样本方差：常见统计量：常见统计量：样本样本 k 阶原点矩阶原点矩：样本样本k阶中心矩阶中心矩：统称统称样本矩样本矩第15页/共60页几个重要关系式几个重要关系式：X,S2,Ak,Bkx,s2,ak,bk

8、统计量统计量统计值统计值第16页/共60页 思考思考 样本矩与总体矩样本矩与总体矩 (即第四章中定义的矩即第四章中定义的矩)的概念有什么区别？的概念有什么区别？样本矩样本矩 是是 随机变量随机变量!总体矩总体矩 是是 数值数值!第17页/共60页总体、个体总体、个体简单随机样本简单随机样本统计量统计量 求样本的联合分布律或求样本的联合分布律或密度函数密度函数样本均值样本均值样本方差样本方差样本矩样本矩第18页/共60页数数 理理 统统 计计 的的 引引 入入 某厂生产的一批产品中次品率为某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中抽取。从中抽取1010件产品装箱。件产品装箱。1 1）没有次品的概率

9、）没有次品的概率2 2）平均有几件次品）平均有几件次品概概 率率3 3）为以）为以 的概率保证箱中有的概率保证箱中有1010件正品，箱中至少要装多少件件正品，箱中至少要装多少件产品。产品。第19页/共60页所有这些问题的关键是所有这些问题的关键是 p p 是已知的！是已知的！如何获取如何获取 p p?这就是数理统计的任务了！这就是数理统计的任务了！一个很自然的想法就是：一个很自然的想法就是：首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书不讨论。不讨论。其次利用概率论的知识处理实测数

10、据。其次利用概率论的知识处理实测数据。如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。也是我们研究的内容。统计推断常解决的问题：统计推断常解决的问题：1 1）如何估计次品率）如何估计次品率 p p?2 2）如果以）如果以 p p 为出厂的标准，这批产品能否出厂？为出厂的标准，这批产品能否出厂？数数 理理 统统 计计 的的 引引 入入参数估计问题参数估计问题假设检验问题假设检验问题#第20页/共60页 常用统计分布常用统计分布上侧分位数上侧分位数u (0 1）满足满足标准正态分布标准正态分布一、四种常用统计分布一、四种常用统计分布第

11、21页/共60页对于正态分布有对于正态分布有：上侧分上侧分位点位点u 阴影部分面积为阴影部分面积为 第22页/共60页查表查表 如如 0.025 时时，u？第23页/共60页 例例 设随机变量设随机变量X 服从正态分布服从正态分布N(0,1),对给定的对给定的(0 45)时，有时，有第31页/共60页 2(n)的的上侧分位数上侧分位数(0 1)：阴影部分面积为阴影部分面积为 第32页/共60页例例 查表计算概率查表计算概率第33页/共60页注意注意 应注意分布表的定义与查法！应注意分布表的定义与查法！#第34页/共60页3.自由度为自由度为 n的的 t 分布分布Tt(n)又称学生氏分布又称学生

12、氏分布-第一个研究者第一个研究者以以Student作笔名发表文章作笔名发表文章.第35页/共60页即即随机变量随机变量 T 服从服从自由度为自由度为 n 的的 t 分布分布.定理定理2 设随机变量设随机变量X,Y 相互独立相互独立,X N(0,1)，Y 2(n)，则则结构定理结构定理第36页/共60页阴影部分面积为阴影部分面积为 t(n)的的上侧分位数上侧分位数 t (n)(0 1)：第37页/共60页T 分布的特点分布的特点：1.关于纵轴对称关于纵轴对称：例例 查表计算查表计算：第38页/共60页t-t=t1-因因 =PTt=PT-t=1-PT-t故故 PTt=1.即即 t=-t1-第39页

13、/共60页例例 查表计算查表计算：2.n 较大时较大时，第40页/共60页 4.F 分布分布 F F(n1,n2)称称X 服从第一自由度为服从第一自由度为n1,第二自由度为第二自由度为n2的的F分布分布.第41页/共60页 定理定理3 设随机变量设随机变量X，Y 相互独立相互独立，X 2(n1)，Y 2(n2)，则则即随机变量即随机变量 F 服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为第二自由度为n2 的的F分布分布.结构定理结构定理第42页/共60页F(n1,n2)的的上侧分位数上侧分位数F (n1,n2)(0 1)：阴影部分阴影部分面积为面积为 第43页/共60页推论推论1推论推论2

14、第44页/共60页证证第45页/共60页二、抽样分布定理二、抽样分布定理定理定理1第46页/共60页应用例应用例第47页/共60页定理定理2设正态总体设正态总体 X 与与 Y 相互独立相互独立，X ,样本为样本为(X1,X2，X n1),样本均值和样本方差为样本均值和样本方差为 ；Y ，样本为样本为(Y1,Y2，Y n2)，样本均值和样本方差为样本均值和样本方差为 .有有第48页/共60页 分析 证明证明:(2)服从服从正态分布正态分布，Sw2可化为可化为 2分布分布,二者组合而成的统计量应服从二者组合而成的统计量应服从 t 分布分布.第49页/共60页第50页/共60页 因因 ，相互独立，故相互独立，故U 与与 V也相互也相互 独立，从而独立，从而第51页/共60页第52页/共60页所以所以第53页/共60页又由于又由于第54页/共60页第55页/共60页总体、个体总体、个体简单随机样本简单随机样本统计量统计量 统计量的分布统计量的分布正态总体的正态总体的2个抽样定理个抽样定理样本均值样本均值样本方差样本方差样本矩样本矩 2分布分布t 分布分布 F分布分布 分位点分位点 结构定理结构定理 第56页/共60页习题习题第57页/共60页第58页/共60页第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页