条件极值郑州轻工业学院课程建设.pptx

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1、一、问 题 引 入 很多极值问题,目标函数的自变量不能在其定义域上自由变化,而是要受到某些条件的约束.例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试 问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到 最小?若设长、宽、高各等于 x,y,z,则 目标函数:约束条件:第1页/共39页例2 设曲线 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有 目标函数:约束条件:还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.定义 设目标函数为 约束条件为如下一组方程:第2页/共39页为简便起见,记 并设 若存在 则称 是 在约束条件 之下的极小值 (或最小值),称 是相应的极小值点(或最小值 点).类似地又可定义条件

2、极大(或最大)值.第3页/共39页二、拉格朗日乘数法 (A)拉格朗日乘数法探源 先从 n=2,m=1 的最简 情形说起,即设目标函数与约束条件分别为 若由 确定了隐函数 则使得目 标函数成为一元函数 再由 求出稳定点 在此点处满足 第4页/共39页这表示 的等值线 1812).由此推知:存在比例常数满足 这又表示:对于函数 图 1812 与曲线 在 有公共切线(见图 点 第5页/共39页在点 处恰好满足:也就是说,(2)式是函数 在其极值点处所 满足的必要条件.由此产生了一个重要思想:通过引入辅助函数 把条件极值问题(1)转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.第6页/共39页(B)拉格朗日乘

3、数法 对于前面定义中所设的一般 目标函数和约束条件组,应引入辅助函数 称此函数为拉格朗日函数,其中 称 为拉格朗日乘数.定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 在区域 D上有连续一阶偏导数.若 第7页/共39页D 的内点 是该条件极值问 题的极值点,且则存在 m 个常数 使得 第8页/共39页个方程的解:说明 对于 n=2,m=1 的情形,已在前面作了说 明;对一般情形的证明,将放到二十三章的定理 23.19 中去进行.为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下 第9页/共39页三、应 用 举 例 定理 18.6 指出的方法称为拉格朗日乘数法.下面 用这种方法先来求解本节开头给出的两个例题.

4、例1 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后,转而求解 的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而 且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条 第10页/共39页件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数并求解以下方程组:为消去 ,将前三式分别乘以 x,y,z,则得 第11页/共39页两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得 注 由以上结果还可以得到一个不等式(这是获得 不等式的一种好方法).那就是具体算出目标函数 第12页/共39页(表面积)的最小值:去 V 后便得不等式 例2 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗 日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离 于是

5、有 其中 消 第13页/共39页的平方(这是等价的),即设 求解以下方程组:由此又得 再代入条件 第14页/共39页式,继而求得:(这里 否则将无解)最后得到 第15页/共39页故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为 例3 已知圆柱面 第16页/共39页它与平面 相交得一椭圆,试求此椭 圆的面积.分析(i)如果能求得该椭圆的长、短半轴 a 与 b,则椭圆面积为 (ii)由方程(4)看到,此圆柱面关于坐标原点是对 称的,故此圆柱面的中心轴是通过坐标原点的某 一直线;(iii)因为所给平面也是通过坐标原点的,所以此 平面上的椭圆截线必以坐标原点为其中心点.第17页/共39页解 由以上分析

6、,自原点至椭圆上任意点(x,y,z)的距离 之最大、小值，就是该 椭圆的长、短半轴.(说明:本例的题型与例2 相 类似,但在具体计算策略上将有较大差异.)设拉格朗日函数为 并令第18页/共39页对(5),(6),(7)三式分别乘以 x,y,z 后相加,得到 第19页/共39页借助(8),(9)两式进行化简,又得这说明 的极值就是这里的 (即 的极值就是 ),问题便转而去计算 为此先从(5)(8)式 消去 得到一个线性方程组:它有非零解(x,y,z)的充要条件是第20页/共39页由前面讨论知道,方程(10)的两个根 就是 的最大、小值,即 于是 说明(i)一旦由方程(5)(9)能直接求得椭圆的

7、长、短半轴,那就不必再去计算椭圆的顶点坐标 第21页/共39页(x,y,z)了,这使解题过程简单了许多.(ii)若用解析几何方法来处理本例的问题,则需要 出纬圆半径 和纬圆面积 还有平面的法线与 l 夹角的余弦 然后根据面积投影关系 最后求得椭圆 先求出圆柱面的中心轴所在直线 l:再求第22页/共39页面积为 例4 设光滑封闭曲线 证明:上任意两个相距最远点 处的切线互相平行,且垂直于这 两点间的连线(见图1813).证 由于 是光滑封闭曲线,所以满足:(i)F 在一个包含 的开域内有连续的一阶偏导数,图 1813第23页/共39页且(ii)在 上必有相距最远的点.设 为 上相距最远的两点,则

8、点 为目标函数 在约束条件 之下的极大值点.于是由拉格朗日乘数法,存在 成为拉格朗日函数 第24页/共39页的稳定点.从而满足 由前两式与后两式分别得到 第25页/共39页前者表示 后者表 示 所以 在 两点处的切线互相平行,且垂直于 *例5 试求函数 在条件 下的最小值,并由此导出相 应的不等式.解 设 第26页/共39页并使由此方程组易得 下面给出是条件最小值的理由.第27页/共39页都使得 故存在 又设 由于 为一有界闭集,为连续函数,因此 在 第28页/共39页上存在最大值和最小值.而在 及 上,f 的值已大于 故 f 在 S 上的最小值必在 的内部取得.又因 内部只有惟一可疑点 所以

9、必定有 最后,在不等式 中,用 代入,就得到一个新的不等式:第29页/共39页经整理后,就是“调和平均不大于几何平均”这个 著名的不等式:*例6 利用条件极值方法证明不等式 第30页/共39页证 设目标函数为 约束条件为 由前三式解出 代入第四式后得到 第31页/共39页稳定点 下面来说明这个稳定点必定是条件最大值点.为简单起见,考虑 在上的情形.由于 为有界闭集,为连续函数,因 此 在 上存在最大、小值.首先,显然有 这在 上(x=0,或 y=0,或 z=0)取得.而 故有 第32页/共39页由此得到不等式 又因在 上满足 把它代入上式,就 证得 第33页/共39页注1 在用条件极值方法证明

10、不等式时,设置合适 的目标函数与约束条件是解决问题的关键.对于 本例来说,也可把上面的条件极大值问题改述为 条件极小值问题:求目标函数在条件 约束之下的极小值.一个问题的这两种处理形式,俗称为目标函数与约 束条件在形式上的对偶性.前面例5 和课本下册 p.168 上的例3 同样也是对偶问题.有关对偶性问 第34页/共39页题的确切提法,请参阅后面复习思考题的第 3 题.注2 如何判断所得稳定点是条件极大(小)值点?这有多种方法可供选用.例5 与例6 提供了两种常 用的说理方式;课本下册 p.168 例3 通过计算黑赛 矩阵,用极值的充分条件去判别,只是计算过程十 分繁琐,不如例5 的做法更加理

11、性(这是利用对偶 性带来的好处).此外,很多实际问题还可借助实 际意义说明所作判断的合理性.第35页/共39页复习思考题 作出分析.1.例3 的解法对例2 是否适用?请实践一下,并 2.把例4 关于光滑封闭曲线的命题推广至关于光 滑封闭曲面的情形,并加以证明.3.以二元函数为例,证明一个条件极值问题与它 的对偶问题是等价的.即若函数 近旁满足连续可微性条件,且 第36页/共39页则有如下命题:4.例6 论述稳定点是条件极值点的方法能否适用 于例5?请说出理由.第37页/共39页5.模仿例1,例5 和例6,用条件极值方法证明几个 以前熟知的重要不等式;或者创立几个新不等式.第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页