数学拉普拉斯变换.pptx

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1、1教学重点1.典型函数拉氏变换推导 2.拉氏变换的主要性质3.部分分式法求拉氏反变换教学要求1.掌握拉氏变换的定义 2.掌握几种典型函数的拉氏变换 3.掌握拉氏变换的主要性质4.熟悉应用拉氏变换解线性微分方程的方法第1页/共106页22-1 复数和复变函数一、复数的概念二、复数的表示方法1.点表示法j1 110第2页/共106页32.向量表示法j01s13.三角表示法4.指数表示法第3页/共106页4三、复变函数、极点、零点复变函数：以s为自变量构成的函数零点：极点：z1、z2znp1、p2pn第4页/共106页5拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827），法国著

2、名的天文学家和数学家。2-2 拉氏变换与反变换的定义拉普拉斯定理 天体力学宇宙系统论-提出星云说。拉普拉斯变换 -英国工程师亥维赛德首先提出，拉普拉斯给出严格的数学定义。第5页/共106页6 F（s）称为f（t）的象函数，f（t）称为F（s）的原函数；拉普拉斯变换简称为拉氏变换。一、拉氏变换 设有一个定义在0,)区间的时间函数f（t），其拉普拉斯变换式定义为：第6页/共106页71.1.f(t)表示实变量表示实变量t t的一个函数，的一个函数，t=0 t=0 S是一个复变量，为实变量3.3.F(s)是复变量是复变量s的一个函数的一个函数 拉氏变换拉氏变换F(s)存在，存在，f(t)满足的条件：

3、满足的条件：在任一区间上，在任一区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；分段连续，只有有限个间断点；当当t t时，时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：的增长速度不超过某一指数函数，即满足：第7页/共106页8二、拉氏反变换三种方法：1、拉氏变换表2、有理函数法3、部分分式法（t=0）第8页/共106页9 2-3 典型时间函数的拉氏变换1、单位阶跃函数1(t)的拉氏变换10tf(t)第9页/共106页102、单位脉冲函数(t)的拉氏变换第10页/共106页113、单位斜坡函数的拉氏变换0tf(t)第11页/共106页124、指数函数的拉氏变换第12页/共106页135、正弦函数

4、sint的拉氏变换第13页/共106页146、余弦函数cost的拉氏变换第14页/共106页15第15页/共106页16函数 7、幂函数tn的拉氏变换第16页/共106页17例：第17页/共106页18常用函数的拉氏变换 原函数f(t)象函数F(s)(t)t 第18页/共106页19MATLAB中的拉普拉斯变换与反变换例：求f(t)=e-at的拉氏变换 syms a t;f=exp(-a*t);laplace(f)ans=1/(s+a)laplace(2*t)ans=2/s2第19页/共106页20求 的原函数usyms s;uB=s2-s+2;uA=s*(s2-s-6);uF=B/Auila

5、place(F)第20页/共106页212-4 拉氏变换的性质1、叠加定理齐次性：a为常数；叠加性：a、b为常数；所以，拉氏变换为线性变换。证:第21页/共106页222.令第22页/共106页233.3.周期函数 的拉氏变换(n(n为正整数)第23页/共106页24例：周期信号的拉氏变换求解：第24页/共106页254、复数域位移定理例：第25页/共106页26例：求下列函数的拉氏变换第26页/共106页275、相似定理a=constant0例令：即可证明。或利用公式第27页/共106页286.微分定理若证第28页/共106页29同理可得若函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，则上式可变为

6、：第29页/共106页307、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则证明：其中时的值。是第30页/共106页31同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有：第31页/共106页328、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有：第32页/共106页33例：第33页/共106页349、终值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含j轴的右半平面内是解析的，则函数f(t)的终值定理表示为：证明：由微分定理知：第34页/共106页35令

7、，对上式两边取极限：又因为：所以：f(t)稳态值与sF(s)在s=0的初值相同。当f(t)是周期函数，由于没有终值，该定理不适用。第35页/共106页36例：已知求解：第36页/共106页3710.的拉氏变换设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数 的拉氏变换为证明:第37页/共106页3811.的拉氏变换设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数 的拉氏变换为证明:第38页/共106页3912、卷积定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，g(t)的拉氏变换为G(s)，则有式中，称为f(t)与g(t)的卷积。即：卷积性质第39页/共106页40证明：当 令：第40页/共106页41作业P26 2-1.（

8、1）（2）（4）2-2.（1）（2）（3）（4）2-32-4第41页/共106页42常用函数的拉氏变换 原函数f(t)象函数F(s)(t)第42页/共106页43解：第43页/共106页44第44页/共106页45第45页/共106页46已知图示信号,求拉氏变换解:第46页/共106页47解:第47页/共106页48求下列函数的初值和终值第48页/共106页49第49页/共106页50答案：因求卷积第50页/共106页51 求卷积答案：因第51页/共106页522-5 拉氏反变换的数学方法两种方法：两种方法：1 1、拉氏变换表；、拉氏变换表；2 2、部分分式法、部分分式法第52页/共106页5

9、3例例 求下列象函数 的拉氏逆变换:(2)(3)(1)解解1、拉氏变换表第53页/共106页54例例 求 解解逆变换f(t)第54页/共106页55例：求下列函数的拉氏反变换注意到第55页/共106页56例例:求 解解逆变换f(t)第56页/共106页57部分分式法部分分式法若若f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s)可表示为：可表示为：若F1(s)，F2(s)，Fn(s)，的拉氏变换可以求出：第57页/共106页58 n=m，否则应化简为一个s的多项式+余式的形式。F(s)是复数是复数s的有理代数式，可表示为：的有理代数式，可表示为：第58页/共106页591 1、F(s)没有重极点没有重极点如

10、何确定Ki？K1 1第59页/共106页60第60页/共106页61第61页/共106页62例：求下列函数的拉氏反变换例：求下列函数的拉氏反变换1、解：解：第62页/共106页63即：即：所以：所以：第63页/共106页64例：求下列函数的拉氏反变换例：求下列函数的拉氏反变换2、解：解：第64页/共106页65补充：F(s)有共轭极点若若p1 1和和p2 2是一对共轭复数，系数是一对共轭复数，系数K1 1和和K2 2也是共轭复数，也是共轭复数，只要求出只要求出K1 1和和K2 2中的一个值，另一个值即可容易求得。中的一个值，另一个值即可容易求得。例：求例：求 的原函数的原函数解：解：方法一：第

11、65页/共106页66所以：所以：得：得：第66页/共106页67方法二：第67页/共106页68所以：第68页/共106页69例例求 解解 先将 分解为几个简单的分式之和,求得:的原函数第69页/共106页70假设假设F(s)有有r个重极点个重极点p1 1，其余极点各不相同。，其余极点各不相同。2 2、F(s)有重极点有重极点第70页/共106页71将（3）关于s求导第71页/共106页72第72页/共106页73例：求下列函数的拉氏反变换例：求下列函数的拉氏反变换3、解：解：第73页/共106页74所以：第74页/共106页75例 求 的原函数【解】即为求，先将这个有理分式分解为分项分式

12、第75页/共106页76用拉氏变换求解常系数常微分方程的过用拉氏变换求解常系数常微分方程的过程如下：程如下：第一步第一步 对微分方程进行拉氏变换；对微分方程进行拉氏变换；第二步第二步 解拉氏变换象函数的代数方程；解拉氏变换象函数的代数方程；第三步第三步 将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换，将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换，还原为微分方程的解还原为微分方程的解 2-6 2-6 用拉氏变换解用拉氏变换解常系数常常系数常微分方程微分方程第76页/共106页77原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数象函数的象函数的代数方程代数方程微分方程微分方程拉氏反变换拉氏反变换解解代代数数方方

13、程程拉氏变换拉氏变换拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程第77页/共106页78实例实例1 1：设系统微分方程为：设系统微分方程为：若，初始条件分别为，试求若，初始条件分别为，试求解：对微分方程左边进行拉氏变换：解：对微分方程左边进行拉氏变换：第78页/共106页79对微分方程右边进行拉氏变换：对微分方程右边进行拉氏变换：所以：所以：第79页/共106页80第80页/共106页81所以：所以：零状态响应零输入响应当初始条件为零时：当初始条件为零时：第81页/共106页82练习2 解二阶常系数线性微分方程解 设,并对方程两端进行拉氏用拉氏变换求微分方程 满足初始条件

14、的解 变换，则有 第82页/共106页83将初始条件 代入上式，得代数方程的解 将上式分解为 再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 的微分方程解为 即第83页/共106页84实例实例2 2：求如图所示机械系统，：求如图所示机械系统，在单位脉冲力在单位脉冲力f(t)=)=(t)作用下，作用下，质量质量m的规律。的规律。解：若不计阻尼，系统的微分方程为解：若不计阻尼，系统的微分方程为初始条件为：初始条件为：对方程取拉氏变换对方程取拉氏变换得得第84页/共106页85拉氏反变换拉氏反变换角频率角频率幅值幅值第85页/共106页86实例实例3 3：求如图所示机械系统，在无外：求如图所示机械系统，在无外力作

15、用下，即力作用下，即f(t)=)=0时，求时，求质量质量m的规的规律。律。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为得得初始条件为：初始条件为：对方程取拉氏变换，并设对方程取拉氏变换，并设第86页/共106页87虽然没有外作用力，但在初始条件作用下，质量虽然没有外作用力，但在初始条件作用下，质量m的的运动仍以角频率运动仍以角频率wn作简谐运动。作简谐运动。拉氏反变换拉氏反变换第87页/共106页88实例实例4 4：求如图所示机械系统，外力作：求如图所示机械系统，外力作用力为用力为f(t)=)=Acosw wt时，求时，求质量质量m的规的规律。律。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为得得初始条

16、件为：初始条件为：对方程取拉氏变换，并设对方程取拉氏变换，并设第88页/共106页89式中式中质量质量m以角频率以角频率w wn和外作用力频率和外作用力频率w w作复合运动。作复合运动。第89页/共106页90实例实例4 4：求如图所示机械系统，外力作：求如图所示机械系统，外力作用力为用力为f(t)=)=Acosw wt时，求时，求质量质量m的规的规律。律。解：系统的微分方程为解：系统的微分方程为得得初始条件为：初始条件为：对方程取拉氏变换，并设对方程取拉氏变换，并设第90页/共106页91式中式中质量质量m以角频率以角频率w wn和外作用力频率和外作用力频率w w作复合运动。作复合运动。第9

17、1页/共106页92由上述实例可见：由上述实例可见：应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可以此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可以得到微分方程的全解；得到微分方程的全解；如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用换可以简单地用sn代替代替dn/dtn得到；得到；系统响应可分为两部分：零状态响应和零输入系统响应可分为两部分：零状态响应和零输入响应。响应。第92页/共106页93第93页/共106页94第94页/共106页95作业P26 2-6.（2）、（5）2-7.（4）2-8.（1）第95页/共106页96第96页/共106页97第97页/共106页98第98页/共106页99第99页/共106页100第100页/共106页101第101页/共106页102第102页/共106页103 第103页/共106页104第104页/共106页105常用函数的拉氏变换 原函数f(t)象函数F(s)(t)t 第105页/共106页106感谢您的观看。第106页/共106页