数学精华解排列组合问题的十六种常用策略.pptx

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1、一一一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略二二二二.相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略三三三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略四四.定序问题空位插入策略定序问题空位插入策略五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略六六六六.多排问题直排策略多排问题直排策略多排问题直排策略多排问题直排策略七七七七.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略八八八八.小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整

2、体后局部策略小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略九.元素相同问题隔板策略十十十十.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略十一十一.平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略十二.合理分类与分步策略十三十三.构造模型策略构造模型策略十四十四.实际操作穷举策略实际操作穷举策略十五十五.分解与合成策略分解与合成策略十六十六十六十六.化归策略化归策略化归策略化归策略第1页/共36页一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安

3、排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有_ 然后排首位共有_最后排其它位置共有_由分步计数原理得=288第2页/共36页1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？里，问有多少不同的种法？练习题第3页/共36页二.相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可

4、先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.第4页/共36页三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策

5、略例例3 3.一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈,2 2个个相相声声,3 3个个 独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的5 5个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队

6、再把不相邻元素插入中间和两端行排队再把不相邻元素插入中间和两端第5页/共36页某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节成节目单，开演前又增加了两个新节目目.如果将这两个新节目插入原节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（同插法的种数为（）练习题某人射击某人射击8枪，命中枪，命中4枪，枪，4枪命中恰好有枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（）第6页/共36页四四.定序问题空位插入策略定序问题空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,

7、其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1第7页/共36页（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求

8、从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？4*5*6*7第8页/共36页五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法.7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束

9、，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m第9页/共36页 某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客名乘客,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯,下电梯的方法下电梯的方法（）练习题第10页/共36页六六.多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排

10、,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.第11页/共36页七七.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,

11、每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把5 5个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?第12页/共36页练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选

12、现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_种种第13页/共36页八八.小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略例例9.9.用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,这两个奇数之这两个奇数之 间间,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团与排队共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有_种排

13、法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有_种排法种排法.31245小集团小集团小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。第14页/共36页.计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画,幅油画幅油画,幅国画幅国画,排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为端，那么共有陈列方式的种数为_2.5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种

14、第15页/共36页九.元素相同问题隔板策略例例10.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份

15、（n n，m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为第16页/共36页练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一每盒至少一个，有多少装法？个，有多少装法？第17页/共36页十十.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略例例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少

16、种？解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。这十个数字中有这十个数字中有5 5个偶数个偶数5 5个奇数个奇数,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 9 9013013015015017017035035213213215215024024413413026026+-9-9+有些排列组合问题有些排列组合问题

17、,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的可以先求出它的反面反面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.第18页/共36页1.1.某班里有某班里有4343位同学位同学,从中任抽从中任抽3 3人人,正、正、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种?练习题2.2.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有不同的选法共有_ _ 第19页/共36页十一十一.

18、平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成本不同的书平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解:分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种

19、分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一种都是一种情况情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为均分的为均分的组数组数)避免重复计数。避免重复计数。第20页/共36页1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队,有多少分法？有多少分法？2.2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_

20、 第21页/共36页十二.合理分类与分步策略例例13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员,其中其中8 8人能人能 唱歌唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目,有多少选派方法有多少选派方法?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌为标准进行分类选上唱歌为标准进行分类.只会唱歌只会唱歌的的5 5人中没有人选上唱歌共有人中没有人选上唱歌共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱

21、歌人选上唱歌_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌有选上唱歌有_种，由分类计数原理种，由分类计数原理共有共有_种。种。+第22页/共36页本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标

22、准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。第23页/共36页练习题例：例：3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,A,A号船最多乘号船最多乘3 3人人,B,B号船最多号船最多乘乘2 2人人,C,C号船只能乘号船只能乘1 1人人,他们任选他们任选2 2只船或只船或3 3只船只船,但小孩但小孩不能单独乘一只船不能单独乘一只船,这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.首先人数可以有以下分配 A3,B2,C0；A3,B1,C1；A2,B2,C1 分情况讨论 A3,B2,C0 所有可能 减去小孩独乘的可能(只有一种就是两个小孩都在B上)种乘法A2,B2,C1 首先A、B、C上肯定都有一个大人，所以

23、有 种乘法A3,B1,C1 BC上肯定都是一个大人 ，剩下一个大人和两个小孩乘A没得选：种乘法 共计：9+6+12=27种乘座方法。第24页/共36页十三十三.构造模型策略构造模型策略例例14.14.马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮

24、灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决第25页/共36页练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？第26页/共36页十四十四.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5

25、个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球,3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒345第27页/共36页十四十四.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编

26、号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,5 3,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球,3,4,5号盒号盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只

27、有1种种装法装法,同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有也号球有也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 第28页/共36页对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题 同一寝室同一寝室4 4人人,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)1A 2B 3C

28、 4D1A 1B 1C 1D2A 2B 2C 2D3A 3B 3C 3D4A 4B 4C 4D1B 2A 3D 4C1B 2C 3D 4A1B 2D 3A 4C第29页/共36页十五十五.分解与合成策略分解与合成策略例例16.3003016.30030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 111330030=235 7 1113依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因

29、数为：的偶因数为：例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线第30页/共36页解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 面体共有_每个四面体有_对异面直线,正方体中的8个顶点可连成_对异面直线3 3358=174分分解解与与合合成成策策略略是是排排列列组组合合问问题题的的一一种种最最基基本本的的解解题题策策略略,把把一一个个复复杂杂问问题题分分解解成成几几个个小小问问题题逐逐一一解解决决,然然后后依依据据问问题题分分解解后后的的结结构构,用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理将将问问题题合合成成,从从而而得得到到问问题题的的答答案案 ,每每个个比比较较复复杂杂 的的 问问

30、 题题 都都 要要 用用 到到 这这 种种 解解 题题 策策 略略第31页/共36页十六十六.化归策略化归策略例例18.2518.25人排成人排成5555方队方队,现从中选现从中选3 3人人,要要 求求3 3人不在同一行也不在同一列人不在同一行也不在同一列,不同的不同的 选法有多少种？选法有多少种？解：将这个问题退化成将这个问题退化成9 9人排成人排成3333方队方队,现现从中选从中选3 3人人,要求要求3 3人不在同一行也不在人不在同一行也不在同一列同一列,有多少选法有多少选法.这样每行必有这样每行必有1 1人人从其中的一行中选取从其中的一行中选取1 1人后人后,把这人所在把这人所在的行列都

31、划掉，的行列都划掉，第32页/共36页从从5555方队中选取方队中选取3 3行行3 3列有列有_选法选法所以从所以从5555方队选不在同一行也不在同方队选不在同一行也不在同一列的一列的3 3人有人有_选法。选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题解决原来的问题如此继续下去如此继续下去.从从3333方队中选方队中选3 3人的方法人的方法有有_种。再从种。再从5555方队选出方队选出3333方

32、队便可解决问题方队便可解决问题第33页/共36页某城市的街区由某城市的街区由1212个全等的矩形区组成个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从其中实线表示马路，从A A走到走到B B的最短路的最短路径有多少种？径有多少种？练习题B BA A第34页/共36页小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同我们就可以选取不同的技巧来解决问题的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。后续学习打下坚实的基础。第35页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页