数学建模统计模型.pptx

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1、1线性回归实例选讲牙膏的销售量 1.问题建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851销售量(百万支)价格差（元）广告费用(百万元)其他厂家价格(元)本公司价格(元)销售周期第1页/共65页2明确问题一 牙膏的销售量确定关系：牙膏销售量价格、广告投入内部规律复杂数据统计分析常用模型回归模型数学原理软件

2、30个销售周期数据：销售量、价格、广告费用、同类产品均价销售周期公司价(元)它厂价(元)广告(百万元)价差(元)销售量(百万支)13.853.805.50-0.057.3823.754.006.750.258.51293.803.855.800.057.93303.704.256.800.559.26第2页/共65页32.基本模型x2yx1yvy 公司牙膏销售量vx1其它厂家与本公司价格差vx2公司广告费用解释变量(回归变量,自变量)被解释变量（因变量）v多元回归模型第3页/共65页4Matlab Matlab 统计分析统计分析统计分析统计分析rcoplot(r,rint)残差及其置信区间作图

3、MATLAB7.0版本 s增加一个统计量:剩余方差s2b,bint,r,rint,stats=regress(y,X,alpha)statistics toolbox解释变量：矩阵显著性水平：0.05 系数估计值 置信区间 残差向量y-xb 置信区间 被解释变量：列检验统计量：R2,F,p 随机误差：正态分布均值为零回归系数x=3.模型求解由数据 y,x1,x2估计x=ones(size(x1),x1,x2,x2.2;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)程序第4页/共65页54.结果分析参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.

4、6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0123,故x22项显著 但可将x2保留在模型中 v即：y的90.54%可由模型确定、F远超过F检验的临界值、p远小于=0.05v显著性：整体显著vx2：2 置信区间包含零点,但右端点距零点很近 x2 对因变量 y 的影响不太显著；v 3 显著第5页/共65页6v 控制价格差 x1=0.2元，投入广告费 x2=6.5 百万元销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）上限用作库存管理的目标值 下限用

5、来把握公司的现金流 v 若估计 x3=3.9，设定 x4=3.7(百万支)销售量预测价差x1=它厂价x3-公司价x4估计x3，调整x4控制x1预测yv 得 则可以 95%的把握知道销售额在 7.83203.7 29（百万 元）以上第6页/共65页75.模型改进x1和x2对y的影响独立 参数参数估计值置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.04260123参数参数估计值置信区间29.113313.70

6、13 44.525211.13421.9778 20.2906-7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887-1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p0.0001 s2=0.049030124x1和x2对y的影响有交互作用比较：置信区间,R2第7页/共65页8比较:两模型销售量预测v控制价格差 x1=0.2 元，投入广告费 x2=6.5 百万元(百万支)区间 7.8230，8.7636区间 7.8953，8.7592(百万支)预测区间长度更短 略有增加 第8页/共65页9x2=6.5x1=0.2 x1x1x2

7、x26.比较:两模型 与x1,x2的关系第9页/共65页10讨论：交互作用影讨论：交互作用影响响价格差 x1=0.1价格差 x1=0.3广告投入y（x2大于6百万元）价格差较小时增加的速率更大 x2价格优势y 价格差较小广告作用大x1x2第10页/共65页11多元二项式回归命令：rstool（x，y，model,alpha）nm矩阵显著性水平（缺省时为0.05）n维列向量第11页/共65页12完全二次多项式模型 MATLAB中有命令rstool直接求解从输出 Export 可得鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1,x2,左边窗口显示预测值 及预测区间Rstool(x,y,model,al

8、pha,xname,yname)第12页/共65页13牙膏的销售量 建立统计回归模型的基本步骤 根据已知数据从常识和经验分析,辅之以作图,决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式).用软件(如MATLAB统计工具箱)求解.对结果作统计分析:R2,F,p,s2是对模型整体评价,回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性.模型改进,如增添二次项、交互项等.对因变量进行预测.第13页/共65页14非线性回归实例选讲酶促反应 问题研究酶促反应（酶催化反应）中嘌呤霉素(处理与否)对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响.酶促反应由酶作为催化剂催化进行的化学反应生物体内的化学反应绝大多数属于酶促反

9、应酶促反应中酶作为高效催化剂使得反应以极快的速度（1031017倍）或在一般情况下无法反应的条件下进行酶是生物体内进行各种化学反应最重要的因素第14页/共65页15建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系设计了两个实验酶经过嘌呤霉素处理酶未经嘌呤霉素处理实验数据:底物浓度底物浓度(ppm)(ppm)0.020.060.11反应速反应速度度处理处理764797107123139未处理未处理6751848698115底物浓度底物浓度(ppm)(ppm)0.220.561.10反应速反应速度度处理处理159152191201207200未处理未处理13112414

10、4158160/方案第15页/共65页16经嘌呤霉素处理xy未经嘌呤霉素处理xyxy011/222(半速度点)分析Michaelis-Menten模型待定系数 =(1,2)基本模型 酶促反应的速度底物浓度v酶促反应的基本性质底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值数据分析第16页/共65页17解决方案一：线性化模型 v经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果 参数参数参数估计值（参数估计值（10-3）置信区间（置信区间（10-3）15.1073.539 6.676 20.2470.176 0.319R2=0.8557 F=59.2975 pk,a1(n)

11、=0，a2(n)=0,a3(n)=1从状态3不会转移到其它状态。n012350a1(n)10.80.7570.72850.12930a2(n)00.180.1890.18350.03260a3(n)00.020.0540.08800.83811第51页/共65页52理论理论v状态v 基本方程马氏链的基本方程v 状态概率v 转移概率第52页/共65页53 1 1、正则链、正则链马氏链的两个重要类型马氏链的两个重要类型v任一状态出发经有限次转移以正概率到达另外任一状态w 稳态概率v例1：特征向量定义 对于马氏链，若存在一正整 数N，使其转移矩阵 的N次幂MN0（每一分量均大 于0），则称此马尔链为

12、一正则（regular）链。第53页/共65页54v存在吸收状态一旦到达就不会离开的状态且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态 2 2、吸收、吸收链链有非零元素yi 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数v转移矩阵：n-r个非吸收状态有r个吸收状态第54页/共65页55模型二模型二 钢琴销售的存贮策略钢琴销售的存贮策略v钢琴销售售量很小商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计：平均每周的钢琴需求为1架v存贮策略每周末检查库存量仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售否则，不订购。v问题：估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销

13、售量是多少。背景与问题第55页/共65页56分析与假设v需求：顾客的到达相互独立需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定 计算不同的需求概率v失去销售机会：需求超过库存动态过程概率v存贮策略：周末库存量为零时订购3架,周初到货；否则，不订购周末的库存量：0,1,2,3周初的库存量：1,2,3共三种状态v用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化以每周初的库存量作为状态变量状态转移具有无后效性v在稳态情况下时间充分长以后计算该存贮策略失去销售机会的概率、每周的平均销售量动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同.第56页/共65页57v状态转移规律模型Dn第

14、n周需求量：泊松分布 状态变量：Sn第n周初库存量均值为1v需求量需求量进货量v状态转移矩阵第57页/共65页58则计算Dn第n周需求量，均值为1的泊松分布 Dn 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019Sn第n周初库存量(状态变量)状态转移规律 第58页/共65页59v 状态概率v马氏链的基本方程已知初始状态：可预测第n周初库存量Sn=i 的概率n,状态概率 已知正则链正则链稳态概率分布 w 满足 wP=w模型建立 第59页/共65页60v估计在这种策略下失去销售机会的可能性第n周失去销售机会的概率模型求解n充分大时 稳态概率分布需求 库存从长期看，失

15、去销售机会的可能性大约 10%D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019第60页/共65页61v估计这种策略下每周的平均销售量估计这种策略下每周的平均销售量第n周平均售量n充分大时 需求不超过存量,需求被售需求超过存量,存量被售需求存量从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架)第61页/共65页62平均需求：每周1(架)附近波动时，结果有多大变化设Dn服从均值为 的柏松分布敏感性分析 状态转移阵第62页/共65页63for i=1:10 lamda=0.5+0.1*i;d(i,1)=poisspdf(0,lamda);d(i,2)=poisspdf

16、(1,lamda);d(i,3)=poisspdf(2,lamda);d(i,4)=poisspdf(3,lamda);d(i,5)=1-poisscdf(3,lamda);p1=d(i,1)0 1-d(i,1);d(i,2)d(i,1)1-d(i,1)-d(i,2);d(i,3)d(i,2)1-d(i,2)-d(i,3);V,D=eig(p1);V1(i,:)=abs(V(:,1)/(1 1 1*V(:,1);P(i)=d(i,3)+d(i,4)+d(i,5),d(i,4)+d(i,5),d(i,5)*V1(i,:);endP第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率：失去销售机会的概率：v当平均需求(=1.0)增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12%0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139结果第63页/共65页64钢琴销售的存贮策略 存贮策略(周末库存为0则订购3架,否则不订购)已定,计算两个指标(失去销售的概率和每周平均销售量).动态随机存贮策略是马氏链的典型应用.关键是在无后效性的前提下恰当地定义系统的状态变量(本例是每周初的库存量).第64页/共65页65感谢您的观看！第65页/共65页