数学平面直角坐标系与极坐标系.pptx

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1、 据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然.这就是坐标系的雏形。现在笛卡儿坐标系已经在数学界通用,全世界都可以畅通的交流.可见约定的重要性.笛卡尔和笛卡尔坐标系的产生 第1页/共31页第2页/共31页数学故事 笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典，认识了瑞典一个小

2、公国18岁的公主克里斯汀，后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短一个公式：r=a(1-sin）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心

3、的形状。这也就是著名的“心形线”。国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间.据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。第3页/共31页自从1671年牛顿在他的流数法与无穷级数首次提出极坐标系思想，.贝努利于1691年在教师学报上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章后，开始了坐标系的新时代，经过后来数代人的努力极坐标系相关理论已经非常完善，不仅在解决数学中曲线轨迹问题尽显优势，在现在科技中应用也很广泛。还有令人难忘的关于笛卡尔和克里斯汀公主凄美的爱情故事和著名的心脏线极坐标方程。但是作为高考的一份子，他的命运可谓是一波三折，

4、回顾高考历史，80-90年代初要求较高，后来直接删去，再后来作为选修内容出现，考察难度大大降低。第4页/共31页 为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行，并在按为了确保宇宙飞船能在预定轨道上运行，并在按计划完成考察任务后，安全，准确地返回地球，从火计划完成考察任务后，安全，准确地返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置及其运行的轨迹。及其运行的轨迹。运动会的开幕式上常常有大型体操表演，其中不运动会的开幕式上常常有大型体操表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位整齐的人群不断翻断变化的背景图案是由看台上座位整齐的人群不断翻动手中的一

5、本画布构成的，要出现准确的背景图案，动手中的一本画布构成的，要出现准确的背景图案，需要确定不同的画布所在的位置。需要确定不同的画布所在的位置。刻画一个几何图形的相对位置，需要设定一个刻画一个几何图形的相对位置，需要设定一个参参照系照系，即以参照系为标准确定它的相对位置，参照，即以参照系为标准确定它的相对位置，参照系不同，表示几何图形位置的方式不同。系不同，表示几何图形位置的方式不同。坐坐 标标 系系第5页/共31页直角坐标系直角坐标系数数 轴轴空间直角空间直角坐标系坐标系平面直角平面直角坐标系坐标系R R（x,y)x,y)（x,yx,y，z)z)建系是为了定点的位置，因此，在所建的坐建系是为了

6、定点的位置，因此，在所建的坐标系中，应满足：标系中，应满足：（1 1）任意一点都有确定的坐标与它对应；）任意一点都有确定的坐标与它对应；（2 2）依据一个点的坐标就能确定该点的位置。）依据一个点的坐标就能确定该点的位置。第6页/共31页建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1 1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2 2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3 3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能多的在坐

7、标轴上。练习：选择适当的坐标系，表示边长为练习：选择适当的坐标系，表示边长为1 1的正六边形的顶点。的正六边形的顶点。第7页/共31页问问：（：（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军舰水雷群第8页/共31页从这向北从这向北10001000米。米。请问：去红高请问：去红高中怎么走？中怎么走？第9页/共31页请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从从这这向向北北走走1 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常

8、用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是面上一点的位置的思想，就是极坐标极坐标的的基本思想。基本思想。第10页/共31页一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO第11页/共31页二、极坐标系内一点的极坐标的规定

9、二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。第12页/共31页题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标第13页/共31页平面上一点的极坐

10、标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定：当当M在极点时，它的极在极点时，它的极坐标坐标=0，可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？第14页/共31页三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：

11、这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角第15页/共31页题组二：在极坐标系里描出下列各点第16页/共31页ABCDEFGOX第17页/共31页四、四、1、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取在某些必要情况下，极径也可以取负值。负值。对于点对于点M（，）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP

12、=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M第18页/共31页OXP=/4M四四、2、负极径的实例、负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3，/4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=3第19页/共31页说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：第20页/共31页四、四、3、关于负极径的思考、关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说

13、的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？第21页/共31页四、四、4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM=31作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM=3M画出点画出点（3，/4）和（和（3，/4）给定

14、给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找找到到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值在在这条射线或其反向延长线上描点。这条射线或其反向延长线上描点。M第22页/共31页四、四、5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成是旋转是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表

15、示表示“反向反向”。第23页/共31页负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6，）答：（答：（6，+）或（或（6，+）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。第24页/共31页五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3，/4）的）的所有极坐标所有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：2极径是负的时候：极径是负的时候：第25页/共31页六、极坐标系下点与它的极坐标

16、的六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况对应情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)第26页/共31页一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以都可以作为它的极坐标作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.第27页/共31页2.在极坐标系

17、中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)CD题组三 1.在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3,)重合重合的点是的点是()A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)第28页/共31页3.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8,)关关于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ()A.(8,)B.(8,)C.(8,)D.(8,)A第29页/共31页33一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结11建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。的正方向。22极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（有。（，2 2k+）第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页