数学建模试题答案及讲解.pptx

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1、 一实际问题一实际问题 随随着着经经济济的的发发展展，金金融融正正越越来来越越多多地地进进入入普普通通人人的的生生活活：贷贷款款、保保险险、养养老老金金和和信信用用卡卡等等；个个人人住住房房抵抵押押贷贷款款是是其其中中重重要要的的一一项项。19981998年年1212月月，中中国国人人民民银银行行公公布布了了新新的的存存、贷贷款款利利率率水水平平，其其中中贷贷款款利利率率(当当贷贷款款期期处处于于表表中中所所列列相相邻邻年年限限之之间间时时，利利率率为为对对应应相相邻邻两两数数中中较较大大者者)如如表表1 1所所列列，其其后后，西西安安商商业业银银行行对对个个人人住住房房商商业业性性贷贷款款利

2、利率率作作出出相相应应调调整整，以以下下的的表表2 2和和表表3 3分分别别列列出出了了报报章章公公布布个个人人住住房房商商业业抵抵押押贷贷款款年年利利率率和和银银行行提提供供的的个个人人住住房房商商业业抵押贷款抵押贷款(万元万元)还款额的部分数据还款额的部分数据(仅列出了五年仅列出了五年)。第十讲 个人个人住房抵押贷款模型住房抵押贷款模型第1页/共32页表表1 1：中国人民银行公布新的贷款利率：中国人民银行公布新的贷款利率贷款期限贷款期限贷款期限贷款期限半年半年半年半年一年一年一年一年三年三年三年三年五年五年五年五年五年以上五年以上五年以上五年以上利率利率利率利率(%)(%)6.126.12

3、6.396.396.666.667.207.207.567.56表表2 2：西安商业银行公布新的贷款利率：西安商业银行公布新的贷款利率 贷款期限贷款期限贷款期限贷款期限一年一年一年一年两年两年两年两年三年三年三年三年四年四年四年四年五年五年五年五年利率利率利率利率(%)(%)6.126.126.2556.2556.396.396.5256.5256.666.66表表3 3：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据(五年五年)贷款贷款贷款贷款期限期限期限期限年年年年1 12 23 34 45 5月月月月12122424363648486060月还款额月还款额月还

4、款额月还款额一次还本付息一次还本付息一次还本付息一次还本付息444.3560444.3560305.9896305.9896237.2649237.2649196.4118196.4118本息总额本息总额本息总额本息总额10612.0010612.0010664.5410664.5411015.6311015.6311388.7211388.7211784.7111784.71第2页/共32页 二、模型假设二、模型假设 1.1.在较长的时期内中央银行存贷款利率保持不变。在较长的时期内中央银行存贷款利率保持不变。2.2.在较长时期内职工收入相对稳定，具有足够的偿还在较长时期内职工收入相对稳定，具

5、有足够的偿还能力。能力。3.3.仅考虑因贷款而应支付的利息，不考虑其它所需费仅考虑因贷款而应支付的利息，不考虑其它所需费用（如贷款的手续费、公正费等）。用（如贷款的手续费、公正费等）。第3页/共32页 三、模型的分析及建立三、模型的分析及建立 以以商商业业性性贷贷款款 1 10 00 00 00 0元元为为例例来来考考察察，一一年年期期贷贷款款的的年年利利率率为为 6 6.1 12 2，到到期期一一次次还还本本付付息息总总计计 1 10 06 61 12 2元元，这这很很容容易易理理解解.然然而而二二年年期期贷贷款款的的年年利利率率为为 6 6.2 25 55 5，月月还还款款数数4 44 4

6、4 4.3 35 56 6元元为为本本息息总总额额 1 10 06 66 64 4.5 54 4元元的的二二十十四四分分之之一一，这这后后两两个个数数字字究究竟竟怎怎样样产产生生的的呢呢？是是根根据据本本息息总总额额算算出出月月还还款款数数还还是是恰恰好好相相反反（从从 6 6.2 25 55 5似似乎乎不不那那么么明明显显能能得得到到1 10 06 66 64 4.5 54 4）？让让我我们们稍稍微微仔仔细细一一些些来来进进行行分分析析.由由于于贷贷款款是是逐逐月月等等额额归归还还的的，就就有有必必要要考考察察每每个个月月欠欠款款余余额额的的情情况况.第4页/共32页 设贷款后第设贷款后第k

7、个月时欠款余数为个月时欠款余数为Ak元元,月还款为月还款为m元，元，则由则由Ak变化到变化到Ak+1+1，除了还款数外，还有什么因素参与？，除了还款数外，还有什么因素参与？无疑就是利息无疑就是利息.但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，设其为设其为r,从而得到从而得到 Ak+1-Ak=rAk-m或者或者 Ak+1=（1+r）Ak-m (1)(1)连同开始的贷款数连同开始的贷款数 A0 0=10000 (2)=10000 (2)这就是问题的数学模型这就是问题的数学模型.第5页/共32页 我们知道月利率我们知道月利率r 与年利率与年利率R关系关系 （1+1+r

8、)1212=R+1根据微分近似计算公式可得根据微分近似计算公式可得所以所以 即月利率近似为年利率即月利率近似为年利率R平均平均,故取年利率为故取年利率为R=0.06255=0.06255，其月利率为其月利率为 （3 3）第6页/共32页 若若m是已知的，则由式是已知的，则由式(1)(1)可以依次求出可以依次求出Ak中的每一中的每一项，我们称项，我们称(1)(1)为差分方程为差分方程.四问题的解法与讨论四问题的解法与讨论.月还款额月还款额 二年期的贷款在第二年期的贷款在第2424个月时还清个月时还清,即即 A2424=0 (4)=0 (4)为求为求m的值的值,令令 Bk=Ak-Ak-1,k=1,

9、2,=1,2,(5)(5)由式由式(5)(5)和和(6),(6),可知可知第7页/共32页从而得到差分方程从而得到差分方程(1)(1)的解的解第8页/共32页将将A24、A0、r 的值和的值和k=24=24代入，可解得代入，可解得m=444.3560(=444.3560(元元),),这与表这与表3 3中的数额完全一致中的数额完全一致,这样我们就了解了还款额的确这样我们就了解了还款额的确定方法定方法.表表3 3：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据(五年五年)贷款贷款贷款贷款期限期限期限期限年年年年1 12 23 34 45 5月月月月12122424363

10、648486060月还款额月还款额月还款额月还款额一次还本付息一次还本付息一次还本付息一次还本付息444.3560444.3560305.9896305.9896237.2649237.2649196.4118196.4118本息总额本息总额本息总额本息总额10612.0010612.0010664.5410664.5411015.6311015.6311388.7211388.7211784.7111784.71（7 7）第9页/共32页 我们知道还款数额表的制定依赖于年利率的变化，而我们知道还款数额表的制定依赖于年利率的变化，而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各后者又是怎样

11、制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些有用的结论种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些有用的结论.表表1 1：中国人民银行公布新的贷款利率：中国人民银行公布新的贷款利率贷款期限贷款期限贷款期限贷款期限半年半年半年半年一年一年一年一年三年三年三年三年五年五年五年五年五年以上五年以上五年以上五年以上利率利率利率利率(%)(%)6.126.126.396.396.666.667.207.207.567.56表表2 2：西安商业银行公布新的贷款利率：西安商业银行公布新的贷款利率 贷款期限贷款期限贷款期限贷款期限一年一年一年一年两年两年两年两年三年三年三年三年四年四

12、年四年四年五年五年五年五年利率利率利率利率(%)(%)6.126.126.2556.2556.396.396.5256.5256.666.66第10页/共32页 首先注意表首先注意表2 2商业性贷款利率中有两个数据与中央银商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表行公布的表1 1中数据相同，不过相应的贷款年限则放宽了中数据相同，不过相应的贷款年限则放宽了一档：一档：6.126.12是一年期而在表是一年期而在表1 1中是上一档半年期中是上一档半年期,6.66,6.66是五年期而在表是五年期而在表1 1中是上一档三年期中是上一档三年期.其次再考察表其次再考察表2 2商业性贷款二、三、四年的利率，

13、我商业性贷款二、三、四年的利率，我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者们把这三个数字是如何得到的问题留给读者,答案将是简答案将是简单的单的.依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表直至二十年的利率表和还款额表.第11页/共32页 .还款周期还款周期 我们知到个人住房贷款是采取逐月归还的方法我们知到个人住房贷款是采取逐月归还的方法,虽然虽然依据的最初利率是年利率依据的最初利率是年利率.那么如果采取逐年归还的方法那么如果采取逐年归还的方法,情况将如何呢情况将如何呢?仍仍以以二二年年期期贷贷款款为为例例,显显 然然,只

14、只要要对对公公式式(7 7)中中的的月月利利率率r=0 0.0 00 05 52 21 12 25 5代代 之之 以以 年年 利利 率率 R=0 0.0 06 62 25 55 5,那那 么么 由由 k=2,A2=0,A0=10000,则可求出年还款额应为则可求出年还款额应为第12页/共32页这样本息总额将为这样本息总额将为 (元元)这远远超出逐月还款的本息总额这远远超出逐月还款的本息总额10664.54(10664.54(元元).).注意到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月注意到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款者是合适的归还法对于贷款者是合适的.那么缩短还款周期对

15、于贷款本息总额的影响如何？这那么缩短还款周期对于贷款本息总额的影响如何？这是值得研究的一个问题是值得研究的一个问题.读者可以做进一步的讨论读者可以做进一步的讨论.第13页/共32页 我们回到差分方程我们回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A,可解出可解出 (8)(8)称之为差分方程称之为差分方程(1)(1)的平衡点或不动点的平衡点或不动点.平衡点平衡点 显然，当初始值显然，当初始值 时时,将恒有将恒有.第14页/共32页 我们回到差分方程我们回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A,可解出可解出 (8)(8)称之为差分方程称之为差分方程(1)(1)的平衡点或不动点

16、的平衡点或不动点.平衡点平衡点 显然，当初始值显然，当初始值 时时,将恒有将恒有.在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率r 和月还和月还款额款额m是固定的是固定的,则当初始贷款额为则当初始贷款额为 时时,每月还款额恰每月还款额恰第15页/共32页 对一般的差分方程对一般的差分方程 Ak+1=f(Ak),(9)(9)当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点,若若 AkA0 (k)(10)(10)好好抵上利息，因此所欠款始终保持不变抵上利息，因此所欠款始终保持不变.而当初始贷款额而当初始贷款额稍大于或小于稍大于或小于 时

17、，从方程解的表达式时，从方程解的表达式(7)(7)容易看出：欠容易看出：欠款额款额Ak随着随着k的增大越来越远离的增大越来越远离 ,这种情况下的平衡点这种情况下的平衡点称为不稳定的称为不稳定的.第16页/共32页则称则称A为稳定的，否则，称为稳定的，否则，称A为不稳定的为不稳定的.判别平衡点判别平衡点A是否稳定的一个方法是考察导数是否稳定的一个方法是考察导数 :当当 ,A是稳定的；当是稳定的；当 ,A是不是不稳定的稳定的.平平衡衡点点和和它它的的稳稳定定性性是是在在差差分分方方程程 及及 其其 应应 用用 中中 十十分重要的概念。分重要的概念。第17页/共32页 五其他问题五其他问题 在金融乃

18、至经济等其他领域中，许多问题的数学模型在金融乃至经济等其他领域中，许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达都可以用差分方程来表达.这里再介绍两个典型的例子这里再介绍两个典型的例子.养老保险养老保险 养养老老保保险险是是与与人人们们生生活活密密切切相相关关的的一一种种保保险险类类型型.通通常常保保险险公公司司会会提提供供多多种种方方式式的的养养老老金金计计划划让让投投保保人人选选择择，在在计计划划中中详详细细列列出出保保险险费费和和养养老老金金的的数数额额.例例如如某某保保险险公公司司的的一一份份材材料料指指出出：在在每每月月交交费费 2 20 00 0元元 至至 6 60 0岁岁开开始始领领取

19、取养养老老金金的的约约定定下下,男男子子若若 2 25 5岁岁起起投投保保,届届时时月月养养老老金金 2 22 28 82 2元元；若若3 35 5岁岁起起投投保保，月月养养老老金金 1 10 05 56 6元元；若若 4 45 5岁岁起起投投保保，月月养养老老金金420420元元.我们来考察这三种情况所交保险费获得的利率我们来考察这三种情况所交保险费获得的利率.第18页/共32页 设设投投保保人人在在投投保保后后第第 k个个月月所所交交保保险险费费及及利利息息的的累累计计总总额额为为 Fk，p,q分分别别表表示示 6 60 0岁岁前前所所交交月月保保险险费费和和 6 60 0岁岁起起所所领领

20、月月养养老老金金的的数数目目(单单位位:元元)，r是是所所交交保保险险金金获获得得的的利利率率，N,M分分别别是是自自投投保保起起至至停停交交保保险险费费和和至至停停领领养养老老金金的时间的时间(单位单位:月月).).那么很容易得到数学模型那么很容易得到数学模型 显显 然然 M依依赖赖于于投投保保人人的的寿寿命命,我我们们取取 M为为该该保保险险公公司司养养老老金金计计划划所所在在地地男男性性寿寿命命的的统统计计平平均均值值 7 75 5岁岁.以以2 25 5岁岁起起投投保保为例。为例。第19页/共32页于是于是如同推出差分方程如同推出差分方程(1)(1)的解那样的解那样,不难得到不难得到 在

21、在 式式(1 13 3)中中 取取 k=N而而 在在 式式(1 14 4)中中 取取 k=M并并注注意意到到 F0=0 0，FM=0 0 ,这这样样只只要要消消去去 FN,就就可可以以导导出出关关于于 r的的一一个个方方程程:第20页/共32页整理得整理得记记x=r+1,+1,且将已知数据代入且将已知数据代入,则只需求解方程则只需求解方程（1616）利用利用Newton法借助计算机编程或用数学软件能很方便求法借助计算机编程或用数学软件能很方便求出方程的实根出方程的实根,不过注意我们要求的根显然略大于不过注意我们要求的根显然略大于1,1,高次高次方程方程(16)(16)可能有另一些根在其附近可能

22、有另一些根在其附近,因此求解的初始值应因此求解的初始值应作选择并对所得的根是否合理进行分析作选择并对所得的根是否合理进行分析.可以得出可以得出 第21页/共32页对于对于3535岁起和岁起和4545岁起投保的情况，易得保险金所获得的月岁起投保的情况，易得保险金所获得的月利率分别为利率分别为0.004610.00461和和0.00463.0.00463.由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的计算是比较复杂的。但通过分析，我们对其总体的利率还计算是比较复杂的。但通过分析，我们对其总体的利率还是可以得到大致的估计是可以得到大致的估计.金融公司的支

23、付基金的流动金融公司的支付基金的流动 某某金金融融机机构构为为保保证证现现金金充充分分支支付付,设设立立一一笔笔总总额额$5 54 40 0万万的的基基金金,分分开开放放置置在在位位于于 A城城 和和 B城城的的两两个个公公司司,基基金金在在平平时时可可以以使使用用,但但每每周周末末结结算算时时必必须须确确保保总总额额仍仍为为$5 54 40 0万万.经经过过相相当当一一段段时时期期业业务务情情况况,发发现现每每过过一一周周,各各公公司司的的支支付付基基金金在在流流通通过过程程中中多多数数还还是是留留在在自自己己公公司司内内,而而A城城公公司司第22页/共32页有有1 10 0支支付付基基金金

24、流流动动到到 B城城公公司司，B城城公公司司则则有有 1 12 2支支付付基基金金流流动动到到 A城城公公司司.此此 时时,A城城公公司司基基金金额额为为$2 26 60 0万万,B城城 公公司司基基金金额额$2 28 80 0万万.按按此此规规律律,两两公公司司支支付付基基金金数数额额变变化化趋趋势势如如 何何?如如果果金金融融专专家家认认为为每每个个公公司司的的支支付付基基金金不不能能少少于于$2 22 20 0万万,那那么么是是否否在在什什么么时时间间需需要要将将基基金金作作专专门门调调动动来来避避免这种情形免这种情形?设此后第设此后第k k周末结算时周末结算时,A城公司和城公司和B城公

25、司的支付基金城公司的支付基金数分别为数分别为ak和和bk(单位单位:万美元万美元),),那么有那么有 第23页/共32页这是一个差分方程组这是一个差分方程组,连同初始条件连同初始条件 给出了这个问题的数学模型给出了这个问题的数学模型.通过依次迭代通过依次迭代,可以求出各周可以求出各周末时末时ak和和b bk k的数值的数值,下表列出了下表列出了1 1至至1212周末两公司的基金数周末两公司的基金数(单位：万美元单位：万美元)k ka ak kb bk kk ka ak kb bk k1 1267.6272.47 7288.477251.5232 2273.528266.4728 8289.81

26、2250.1883 3278.152261.8489 9290.854249.1464 4281.758258.2421010291.666248.3345 5284.572255.4281111292.299247.7016 6286.766253.2341212292.793247.207第24页/共32页可以看出可以看出A城公司支付基金数在逐步增加城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步变小但增幅逐步变小;B 城公司的基金数变化则正好相反城公司的基金数变化则正好相反.然而然而ak是否有上界、是否有上界、bk是否有下界是否有下界?bk是否会小于是否会小于220220？我们还是不能断言？我们还

27、是不能断言.进行进行更多的迭代或许得出更明显的提示更多的迭代或许得出更明显的提示,不过这里将不再进行不过这里将不再进行了了.解决这问题不止一种方法解决这问题不止一种方法,若利用线性代数的知识将若利用线性代数的知识将差分方程组差分方程组(17)(17)写为矩阵的形式写为矩阵的形式 第25页/共32页其中其中(a0,b0)T=(260,280)=(260,280)是初始值是初始值.从式从式(20)(20)出发出发,无论进无论进行迭代计算或者分析求得原问题行迭代计算或者分析求得原问题(17)(17)、(18)(18)的解都较为容的解都较为容易易,请读者完成自己这项工作请读者完成自己这项工作,在解决的

28、过程中回顾前面介在解决的过程中回顾前面介绍的平衡点及其稳定性是十分有益的绍的平衡点及其稳定性是十分有益的.那么我们就可以得到那么我们就可以得到 第26页/共32页 1 1.确确定定表表 2 2中中二二、三三、四四年年期期贷贷款款的的利利率率是是如如何何产产生生的的(可可以以用用图图象象来来帮帮助助分分析析)，然然后后推推导导出出相相应应的的一一至至五五年年万元贷款的还款额表与表万元贷款的还款额表与表3 3比较验证比较验证.2 2.试试制制定定一一张张完完整整的的个个人人住住房房商商业业贷贷款款(万万 元元)利利率率和和还还款款表表,贷贷款款期期从从一一年年至至二二十十年年，表表中中应应包包含含

29、以以下下各各项项：贷贷款款期期(年年、月月)，年年利利率率，月月利利率率，月月还还款款额额和和本本息息总总额额.注注意意个个人人住住房房十十年年期期贷贷款款的的年年利利率率为为 7 7.2 20 0，十十年年以以上上贷贷款年利率不变，仍为款年利率不变，仍为7.207.20.作业七作业七第27页/共32页 3 3.小小李李夫夫妇妇曾曾经经准准备备申申请请商商业业贷贷款款 1 10 0万万元元用用于于购购置置住住房房，每每月月还还款款 8 88 80 0.6 66 6元元，2 25 5年年还还清清.此此时时，房房产产商商介介绍绍的的一一家家金金融融机机构构提提出出：贷贷款款 1 10 0万万元元，

30、每每半半月月还还款款 4 44 40 0.3 33 3元元,2 22 2年年还还清清,不不过过由由于于中中介介费费、手手续续费费等等原原因因，贷贷款款时时要要预预 付付 4 40 00 00 0元元.小小李李考考虑虑，虽虽然然预预付付费费用用不不少少，可可是是减减少少三三年年还还款款期期意意味味着着减减少少还还款款近近 1 1万万6 6千千元元，而而每每月月多多跑跑一一趟趟，那那不不算算什什么么，这这机机构构的的条条件件似似乎乎还还是是蛮蛮优优惠惠的的.试试分分析析情情况况是否这样？是否这样？4 4.从从还还款款周周期期的的比比较较看看出出，逐逐月月还还款款比比逐逐年年还还款款付付出出较较少少

31、的的本本息息总总额额，那那么么逐逐周周还还款款情情况况又又将将如如何何？考考虑虑是是否有必要采取尽可能短的周期否有必要采取尽可能短的周期(比如每日一次比如每日一次)还款？还款？第28页/共32页 7 7.根根据据两两地地公公司司的的业业务务情情况况，该该金金融融机机构构决决定定在在每每周周末末结结算算时时，将将 A城城公公司司的的基基金金增增加加$6 6万万，相相应应地地 B城城 公公司司的的支支付付基基金金减减少少$6 6万万.此此时时，机机构构中中一一位位的的职职员员(他他 曾曾就就读读于于某某大大学学数数学学系系)向向机机构构负负责责人人建建议议将将增增减减数数额额改改为为$5 5.5

32、5万万.试试问问：机机构构负负责责人人是是否否应应该该采采纳纳这这个个建建议议，为为什什么？么？第29页/共32页 5 5.某某保保险险公公司司推推出出一一种种与与养养老老结结合合的的人人寿寿保保险险计计划划，其其中中介介绍绍例例子子为为：如如果果 4 40 0岁岁的的男男性性投投保保人人每每年年交交保保险险费费1 15 54 40 0元元，交交费费期期 2 20 0年年 至至 6 60 0岁岁，则则在在他他生生存存时时期期，4 45 5岁岁 时时(投投保保满满 5 5年年)可可获获返返还还补补贴贴 4 40 00 00 0元元，5 50 0岁岁 时时(投投保保满满 1 10 0年年)可可获获

33、返返还还补补贴贴 5 50 00 00 0元元，其其后后每每隔隔 5 5年年可可获获增增幅幅为为 1 10 00 00 0元元 的的返返还还补补贴贴；另另外外，在在投投保保人人去去世世或或残残废废时时，其其受受益益人人可可获获保保险险金金 2 20 00 00 00 0元元.试试分分析析：若若该该投投保保人人的的寿寿命命为为 7 76 6岁岁，其其交交保保险险费费所所获获得得的的实实际际年年利利率率是是多多少少？若若该该投投保保人人的的寿寿命命为为7474岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？6 6.试试将将关关于于支支付付基基金金流流动动的的例例子子中中的的问问题题加加以以解解决？有可能的话求出差分方程决？有可能的话求出差分方程(17)(17)的解的解.第30页/共32页第31页/共32页感谢您的观看。第32页/共32页