平面上曲线积分与路径无关的条件.pptx

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1、平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件16 16 三月三月 2023 20232 2Gyxo一、平面曲线积分与路线无关的条件BA如果在区域G内有1.曲线积分与路线无关的定义第1页/共30页16 16 三月三月 2023 20233 3(ii)对 D 中任一按段光滑曲线 L,曲线积分 与路线无关,只与 L 的起点及终点有关;(iii)是 D 内某一函数的全微分,即在 D 内有(iv)在 D 内处处成立 定理1 设 D 是单连通区域.若函数 在 D 内连续,且具有一阶连续偏导数,则以 下四个条件两两等价:(i)沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L,有第2页/共30页16 16

2、三月三月 2023 20234 4 若 满足定理1 的条件,则 由上述证明可看到二元函数 具有性质我们也称为的一个原函数.二、原函数计算举例第3页/共30页16 16 三月三月 2023 20235 5第4页/共30页16 16 三月三月 2023 20236 6第5页/共30页16 16 三月三月 2023 20237 7第6页/共30页16 16 三月三月 2023 20238 8第7页/共30页16 16 三月三月 2023 20239 9第8页/共30页16 16 三月三月 2023 20231010例3 计算曲线积分解 由于第9页/共30页16 16 三月三月 2023 202311

3、11第10页/共30页16 16 三月三月 2023 20231212解第11页/共30页16 16 三月三月 2023 20231313与路径无关的四个等价命题条件等价命题内容小结第12页/共30页16 16 三月三月 2023 20231414作业习 题 9-6 P221 2(2);3(2);第13页/共30页16 16 三月三月 2023 20231515思考与练习思考与练习解:第14页/共30页16 16 三月三月 2023 202316162.试应用曲线积分求的原函数.解 这里在整个平面上成立 由定理1,曲线积分只与起点 A 和终点 B 有关,而与路线的选择无关.为此,取取路线为图2

4、1-22中的折 线段 于是有 第15页/共30页16 16 三月三月 2023 20231717证 (i)(ii)如图 21-19,设 与 为联结点 A,B 的任意两条按段光滑曲线,由(i)可推得 所以第16页/共30页16 16 三月三月 2023 20231818D 内任意一点.由(ii),曲线积分 与路线的选择无关,故当在 D 内变动时,其 积分值是的函数,即有 取充分小,使 则函数 对于 x 的偏增量(图21-20).(ii)(iii)设 为 D 内某一定点,为 第17页/共30页16 16 三月三月 2023 20231919因为在 D 内曲线积分与路线无关,所以 因直线段 BC 平

5、行于 x 轴,故 ,从而由积分中 值定理可得 其中 根据 在 D 上连续,于是有 第18页/共30页16 16 三月三月 2023 20232020同理可证所以证得 (iii)(iv)设存在函数使得因此 于是由 一点处都有 以及 P,Q 具有一阶连续偏导数,便可知道在 D 内每 第19页/共30页16 16 三月三月 2023 20232121(iv)(i)设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线,记 L 所围的区域为.由于 D 为单连通区域,所以区域 含在 D 内.应用格林公式及在 D 内恒有 的 条件,就得到 上面我们将四个条件循环推导了一遍,这就证明了 它们是相互等价的.第20页/共30页

6、16 16 三月三月 2023 20232222例解应用定理1 中的条件(iv)考察2 中的两个例子 第21页/共30页16 16 三月三月 2023 20232323问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第22页/共30页16 16 三月三月 2023 20232424例解第23页/共30页16 16 三月三月 2023 20232525第24页/共30页16 16 三月三月 2023 20232626问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第25页/共30页16 三月 202327使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第26页/共30页16 三月 202328使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第27页/共30页16 三月 202329使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有！第28页/共30页16 16 三月三月 2023 20233030注 由定理1 可见,若 原函数可用公式 或则求全微分的第29页/共30页