平面向量数量积及其应用.pptx

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1、平面向量数量积及其应用平面向量数量积及其应用知识回顾知识回顾1定义：平面内两个定义：平面内两个非零非零向量的数量积（内向量的数量积（内积）的定义积）的定义 =向量夹角的概念：平移两个非零向量使它向量夹角的概念：平移两个非零向量使它们们起点重合起点重合，所成图形中，所成图形中0 180 的的角称为两个向量的夹角角称为两个向量的夹角 规定规定 与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为0第1页/共20页2向量的数量积的几何意义：数量积向量的数量积的几何意义：数量积 等于等于 的长度与的长度与 在在 方向上投影方向上投影 的乘积的乘积 3两个向量的数量积的性质：两个向量的数量积的性质：设设 ，为两个为

2、两个非零向量非零向量，是单位向量，是单位向量，是是 与其它向量的夹角与其它向量的夹角（1）；（2）；（3）特别的特别的 或或 ；（4）=；第2页/共20页（1）设）设 则则 =（2）=（）=（3）cos =（4）非零向量）非零向量 =0 （注意与向量共线的坐标表示区别（注意与向量共线的坐标表示区别）4.平面向量数量积的坐标表示：平面向量数量积的坐标表示：（1）（2）=（）=（3）cos =（4）非零向量非零向量 =0 （注意与向量共线的坐标表示区别（注意与向量共线的坐标表示区别）第3页/共20页5.平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用（1）把几何学问题转化为向量问题）把几何学问题转化为向量

3、问题：如利：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向用向量证明平面几何问题；直线的方向向量等向量等（2）把物理学问题转化为向量问题）把物理学问题转化为向量问题：数学：数学中的向量就是物理中的矢量，所以利用中的向量就是物理中的矢量，所以利用向量可以解决物理学问题向量可以解决物理学问题第4页/共20页例一例一.解：=1-设向量设向量 ，是单位向量，且是单位向量，且 =0，求求 的最小值的最小值 例一例一.数量积一第数量积一第9题题第5页/共20页思考思考：设向量：设向量 是两个互相垂直的单位向是两个互相垂直的单位向量，若向量量，若向量 满足满足 =0，求，求 的最的最大值大值.答案：小结：小结：将

4、题给条件稍作变化，就能得到一个与将题给条件稍作变化，就能得到一个与原题类似的问题，且所用知识点也大致相同，原题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大家平时在学习时不妨用这个方法给自己出大家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题，以更好的理解知识点出题，以更好的理解知识点.第6页/共20页例二例二.（数量积一第（数量积一第15题第题第2问）问）已知已知 且向量且向量 与与 的夹角为的夹角为 ，试，试求求 的取值集合，使（的取值集合，使（）与（）与（）的夹角为钝角的夹角为钝角 例二例二.数量积一第数量积一第15题第题第2问问第7页/共20页分析：两向量分析：两向量 的夹角公式为的夹角公式为则当两向

5、量的夹角为钝角时有则当两向量的夹角为钝角时有-1 0解右边不等式可得解右边不等式可得 0,但左边不等式解但左边不等式解答比较复杂，所以，我们可以考虑在余答比较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小于弦小于0的情况下去掉夹角为的情况下去掉夹角为180度的情度的情况，即去掉两向量平行的情况，所以本况，即去掉两向量平行的情况，所以本题的解答如下：题的解答如下：第8页/共20页由题意：由题意：（）（）（）0且（且（）与（）与（）不平行）不平行即即 且且 且且 且且 思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？小结：小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于解题时若计算复

6、杂则容易出错，大家要善于化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算，化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算，使问题得以更好的解决使问题得以更好的解决.第9页/共20页例三例三.数量积二第数量积二第10题题已知向量已知向量 =，向量，向量 =，求，求 的最大值的最大值.解法一解法一（代数方法）（代数方法）例三例三.数量积二第数量积二第10题题第10页/共20页解法二（几何方法）解法二（几何方法）xyoB如图，用如图，用 表示表示 ，以以O为圆心，为圆心，2为半径作为半径作圆，则圆，则2 可看成以可看成以O为起点，终点在圆为起点，终点在圆O上上的向量，由向量减法的的向量，由向量减法的几何意义可知答

7、案为几何意义可知答案为4小结：小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合可使问题的解决更加方便可使问题的解决更加方便第11页/共20页例四例四例四例四.数量积二第数量积二第数量积二第数量积二第1515题题题题已知：已知：，存在实数，存在实数 和和 ，使，使得得 ，且，且 ，试求，试求 的的最小值。最小值。分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示，转变为关于其中一个字母的函数来处理表示，转变为关于其中一个字母的函数来处理.第12页

8、/共20页解答如下解答如下:由条件得：由条件得：，由，由 ，得，得 =0，即，即 =0，则有则有 则则 =则当则当 =-2时，时，有最小值有最小值 第13页/共20页小结：小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，有一些解答题看似字母比较多，比较复杂，但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都稍作化简，联系稍作化简，联系“已知的是什么已知的是什么?”,“所求的所求的是什么？是什么？”，“中间搭哪一座桥？中间搭哪一座桥？”，很多问，很多问题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题，这类涉

9、及关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题往往从（问题往往从（1）基本不等式（）基本不等式（2）等量代换这）等量代换这两个方面去考虑两个方面去考虑.第14页/共20页例五例五例五例五 .向量应用第向量应用第向量应用第向量应用第1010题题题题在在 中，中，为中线为中线 上的一个动点，若上的一个动点，若=2，求，求 的最小值的最小值 ABCMO分析：如图，因为分析：如图，因为 为为 的中点，所以的中点，所以 ,则本题可转化成两个反向则本题可转化成两个反向向量数量积的最小值问题，向量数量积的最小值问题，解答如下：解答如下：第15页/共20页 =2 =-2 由基本不等式，得由基本不等式，得 =1,所

10、以，所求最小值为所以，所求最小值为-2 小结：小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利于计算于计算.第16页/共20页例六例六例六例六 .向量应用第向量应用第向量应用第向量应用第1515题题题题给定两个长度为给定两个长度为1的平面向量的平面向量 和和 ，它们，它们的夹角为的夹角为 .如图所示，点如图所示，点 在以在以 为圆心为圆心的圆弧的圆弧 上变动上变动.若若 其中其中 ,求求 的最大值的最大值.OABC分析：因为三个向量的模分析：因为三个向量的模均为均为1，

11、且已知，且已知 与与 的夹角，所以，本题可的夹角，所以，本题可以考虑利用向量数量积以考虑利用向量数量积将向量转化为实数，同将向量转化为实数，同时可将时可将 用三角函用三角函数表示出来，解答如下：数表示出来，解答如下：第17页/共20页设设 ，则有，则有即即 ，则，则 小结：小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为实数计算，从而有利于问题的解决实数计算，从而有利于问题的解决.第18页/共20页小小小小结结结结 平面向量数量积是高考的重点考察平面向量数量积是高考的重点考察内容，直接考察的是数量积的概念、内容，直接考察的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以填空题向量的夹角与模等，主要以填空题的形式出现，在解题时除了要熟练的形式出现，在解题时除了要熟练掌握基本知识外，也要注重利用数掌握基本知识外，也要注重利用数形结合解决问题。形结合解决问题。第19页/共20页