数学应用学习.pptx

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1、4.1数学分析符号方程的求解极限导数与微分(重)积分曲线积分与曲面积分 空间解析几何与向量代数级数微分方程第1页/共153页4.1.1符号方程的求解 主要内容 线性方程 非线性方程第2页/共153页4.1.1符号方程的求解线性方程 常用solve()和linsolve()函数来解决线性方程问题。具体格式：X=solve(方程1,.方程n,变量1,.变量m)说明：可以求解方程组，单变量时变量声明可以省略。X=linsolve(A,B)%求解线性方程组AX=B，返回特解X 第3页/共153页4.1.1符号方程的求解例4.1.1求解方程：命令：clear;x=solve(x2-x-6=0)相当于：c

2、lear;syms x;f=x2-x-6;x=solve(f)x=3 -2第4页/共153页4.1.1符号方程的求解例4.1.2 求解方程组：命令：clear;x,y=solve(x2+y-6=0,y2+x-6=0,x,y)x=2 y=2 -3 -3 1/2-1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2+1/2*21(1/2)1/2-1/2*21(1/2)若将x,y=改用X=，则仅将返回一个解的结构。X=x:4x1 sym y:4x1 sym第5页/共153页4.1.1符号方程的求解例4.1.3 求解方程组：命令：clear;A=5,0,4,2;1,-1,2,1;4,1,2,0;

3、1,1,1,1;b=3;1;1;0;X=linsolve(A,b)(Ab)X=1.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000第6页/共153页4.1.1符号方程的求解非线性方程 常用fsolve()函数来解决非线性方程问题。具体格式：X=fsolve(fun,x0,options)说明：fun为定义好的非线性方程(组)的文件名，其中为调用函数符号；x0为求解方程的初始向量；options设置求解过程的各种参数，一般采用默认参数optimset(fsolve),其他参数可以查询帮助。第7页/共153页4.1.1符号方程的求解例4.1.4 求解方程组：x0=x(1),x(2)=0.1,

4、0.1第8页/共153页4.1.1符号方程的求解首先建立函数文件fun.m并保存在默认路径下：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2),.x(2)-0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);然后运行命令：clear;x0=0.1,0.1;x=fsolve(fun,x0,optimset(fsolve)x=0.5414 0.3310第9页/共153页4.1.2极限 主要内容单变量函数的极限多变量函数的极限第10页/共153页4.1.2极限单变量函数的极限首先进行符号变量说明:syms x y t h a 然后定义函数fun，再使

5、用下列命令格式求对应极限:limit(fun,x,a)%求函数fun当xa时的极限limit(fun,a)%默认变量x或唯一符号变量limit(fun)%默认变量x,且a=0limit(fun,x,a,right)%右极限 xa+limit(fun,x,a,left)%左极限 xa-第11页/共153页4.1.2极限例4.1.5 举例:结果 syms x h a f=sin(x)/x;limit(f)1 limit(f,inf)0 limit(x-2)/(x2-4),2)1/4 limit(1/x,x,0,right)inf limit(1/x,x,0,left)-inf limit(sin(

6、x+h)-sin(x)/h,h,0)cos(x)limit(1+a/x)*sin(x),x,a)2*sin(a)第12页/共153页4.1.2极限例4.1.6试求解极限问题:解：syms x a b;f=x*(1+a/x)x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)L=exp(a)*b第13页/共153页4.1.2极限多变量函数的极限 假设有二元函数求极限问题：则可以嵌套使用limit()函数:limit(limit（fun,x,x0),y,y0)或 limit(limit（fun,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，则顺序不能交换。注意：此种用法

7、只适用于极限存在的情况。第14页/共153页4.1.2极限例4.1.7 求出二元函数极限值:解：syms x y;f=sin(x*y)/x;L=limit(limit(f,x,0),y,0)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)L=0 L1=0第15页/共153页4.1.2极限例4.1.8 求出二元函数极限值:解 syms x y k;f=(x2-y2)/(x2+y2);(1)L=limit(limit(f,x,0),y,0)(2)L1=limit(limit(f,y,0),x,0)(3)L2=limit(limit(f,y,k*x),x,0)L=-1 L1=1 L2=-(-1+

8、k2)/(1+k2)第16页/共153页4.1.3导数和微分 主要内容导数和高阶导数高阶混合偏导数复合函数求导隐函数求偏导参数方程求导导数的应用梯度计算和方向导数第17页/共153页4.1.3导数和微分导数和高阶导数首先进行符号变量说明:syms 然后定义函数f，再使用下列命令格式求对应导数:diff(f)%f对默认变量x求一阶导数diff(f,v)%f 对变量v求一阶导数diff(f,n)%f对默认变量x 求n阶导数diff(f,v,n)%f 对变量v 求n阶导数显然，用以上命令可以实现求各阶纯偏导。微分与导数是共通的，只须将求导答案变形一下即可！第18页/共153页4.1.3导数和微分例4

9、.1.9 命令：syms a x y;f=x3+y2+a*x*y-3*x+7;f1=diff(f)结果：f1=3*x2+a*y-3 f2=diff(f,y)f2=2*y+a*x f3=diff(f,2)f3=6*x f4=diff(f,y,2)f4=2 第19页/共153页4.1.3导数和微分高阶混合偏导数假设有多元函数求偏导问题：则可以嵌套使用diff()函数:命令格式:diff(difft(f,x,m),y,n)或 diff(diff(f,y,n),x,m)第20页/共153页4.1.3导数和微分例4.1.10 求：命令：syms x y;z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y

10、);zxzy=diff(diff(z,x),y)zxzy=(2*x-2)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)+(x2-2*x)*(-2*x-y)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)第21页/共153页4.1.3导数和微分化简一下：命令：zxzy1=simple(zxzy)zxzy1=exp(-x2-y2-x*y)*(-4*x*y-3*x2+4*y+4*x +5*x3*y+2*x4+2*x2*y2-10*x2*y-4*x3-4*x*y2)第22页/共153页4.1.3导数和微分例4.1.11 求：命令：syms x y

11、;f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y);ydx=-diff(f,x)/diff(f,y)ydx=(-(2*x-2)*exp(-x2-y2-x*y)-(x2-2*x)*(-2*x-y)*exp(-x2-y2-x*y)/(x2-2*x)/(-2*y-x)/exp(-x2-y2-x*y)第23页/共153页4.1.3导数和微分复合函数求导例4.1.12 已知：求：命令：syms t x y;t=exp(sin(x);y=sin(exp(t);ydx=diff(y,x)ydx=cos(exp(exp(sin(x)*cos(x)*exp(sin(x)*exp(exp(sin(x)注意不能

12、将t=exp(sin(x);y=sin(exp(t);输入顺序颠倒，否则结果0。第24页/共153页4.1.3导数和微分隐函数求偏导假设有隐函数表达式f(x1,x2,xn)=0,求偏导问题：可以使用diff()函数,命令格式:F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)第25页/共153页4.1.3导数和微分例4.1.13 已知 求：命令：clear;syms x y;F=atan(y/x)-log(sqrt(x2+y2);ydx=-diff(F,y)/diff(F,x)ydx=(-1/x/(1+y2/x2)+1/(x2+y2)*y)/(-y/x2/(1+y2/x2)-1/(x2+y2)*

13、x)simple(ydx)ydx=(x-y)/(y+x)第26页/共153页4.1.3导数和微分参数方程求导假设有参数方程表达式y=f(t),x=g(t),求导数：可以使用diff()函数的递归调用,命令格式:dk=diff(dk-1,t)/diff(x,t)其中dk-1表示k-1阶导数注意不能用：dk=diff(y,t,k)/diff(x,t,k)第27页/共153页4.1.3导数和微分例4.1.14 已知 求：命令：syms a b t x y;x=a*cos(t);y=b*sin(t);d1=diff(y,t)/diff(x,t)d1=-b*cos(t)/a/sin(t)pretty(s

14、imple(d1)b -a tan(t)第28页/共153页4.1.3导数和微分d2=diff(d1,t)/diff(x,t)d2=-(b/a+b*cos(t)2/a/sin(t)2)/a/sin(t)pretty(simple(d2)b -2 2 a (-1+cos (t)sin(t)第29页/共153页4.1.3导数和微分若改用：xd2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2)xd2=b*sin(t)/a/cos(t)pretty(simple(xd2)b tan(t)-a显然不同。第30页/共153页4.1.3导数和微分导数的应用例4.1.15 讨论函数 的极值、单调性和其导数函数

15、的关系。命令：clear;syms x y dy d2y;y=x2/(1+x2);dy=simple(diff(y);pretty(dy)x 2 -2 2 (1+x )第31页/共153页4.1.3导数和微分Px=solve(dy)Px=0 d2y=simplify(diff(y,2)d2y=-2*(-1+3*x2)/(1+x2)3 P2x=solve(d2y)P2x=-1/3*3(1/2)1/3*3(1/2)第32页/共153页4.1.3导数和微分lims=-5,5;subplot(3,1,1);ezplot(y,lims);hold on;line(0,0,-0.5,1.5),line(-

16、sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-0.5,1.5);line(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-0.5,1.5);subplot(3,1,2);ezplot(dy,lims);hold on;line(0,0,-1,1.5);line(-5,5,0,0);%同时绘制横轴subplot(3,1,3);ezplot(d2y,-5,5);hold on;line(-5,5,0,0);line(-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3,-1,1.5);line(sqrt(3)/3,sqrt(3)/3,-1,1.5);第33页/共153页4.1.3导数和微分第34页/共153页4.1

17、.3导数和微分梯度计算和方向导数jacobian(fun,v)%v是求导变量向量，表示fun对 v求偏导矩阵即梯度gridient(F)%求F的数值梯度，一维时可用diff代替dot（jacobian(fun)，v）=jacobian(fun)v%v是某方向的单位向量，数量积就是方向导数第35页/共153页4.1.4积分 主要内容不定积分定积分与无穷积分重积分数值积分第36页/共153页4.1.4积分不定积分 不定积分问题：可以使用int()函数:F=int(fun,x)或 F=int(fun)%当fun中只有一个自变量x，则x可省 最终答案应为：F(x)+C第37页/共153页4.1.4积分

18、例4.1.16 用diff()diff()函数求的4 4阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。命令：syms x;y=sin(x)/(x2+4*x+3);y4=diff(y,4);y0=int(int(int(int(y4);pretty(simple(y0)%对导数积分应该得出原函数 sin(x)-(x+1)(x+3)第38页/共153页4.1.4积分例4.1.17证明：命令：syms a x;f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x);f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+.(3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(

19、2*a*x);simple(f-f1)%求两个结果的差 -3/16/a4 结果是一个常数，表明答案正确。第39页/共153页4.1.4积分例4.1.18不可积问题：命令：syms x;int(exp(x2)ans=-1/2*i*pi(1/2)*erf(i*x)结果中的erf是一个定义的函数：表明不可积！第40页/共153页4.1.4积分定积分与无穷积分 定积分问题：可以使用int()函数:int(fun,x,a,b)若为无穷积分问题，则只需将命令中a(或b)改为-inf(或inf)即可。如求：用：int(fun,x,a,inf)第41页/共153页4.1.4积分例4.1.19不可积问题 的定积

20、分 可积。命令：syms x;int(exp(-x2/2),x,0,inf)ans=1/2*2(1/2)*pi(1/2)命令：syms x;I=int(exp(-x2/2),x,0,1)I=1/2*erf(1/2*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2)可以使用vpa()函数显示数值：vpa(I,5)=0.85565第42页/共153页4.1.4积分例4.1.20变限积分也可使用定积分求解：命令：syms x t;F=int(exp(t),t,2*x,sin(x)F=exp(sin(x)-exp(2*x)命令：Fx=diff(F,x)Fx=cos(x)*exp(sin(x)-2*exp(2*

21、x)第43页/共153页4.1.4积分重积分 重积分问题可以先化为累次积分的方式再使用 int()函数的嵌套来解决:例4.1.21求二重积分：第44页/共153页4.1.4积分 clear ;syms x y;f=x2*sin(x*y);a1=int(f,x,y,1)a1=(-y2*cos(y)+2*cos(y)+2*y*sin(y)+y4*cos(y2).-2*cos(y2)-2*y2*sin(y2)/y3 I=int(a1,y,0,1)I=-1/2*sin(1)+1/2a2=int(f,y,0,x)a2=-cos(x2)*x+x I1=int(a2,x,0,1)I=-1/2*sin(1)+

22、1/2第45页/共153页4.1.4积分数值积分 一元函数数值积分：q=quad(fun,a,b,tol)-采用辛普森计算积分q=quad8(fun,a,b,tol)-采用newton cotes方法计算积分q=quadl(fun,a,b,tol)-采用lobatto方法计算 tol表示绝对误差限，默认10-6，a,b是确定值;fun可以是字符串、内联函数或M函数名。二重数值积分：q=dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)inmin,inmax是内变量下限和上限，outmin,outmax是外变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形

23、域上的积分。第46页/共153页4.1.4积分例4.1.21(2)求积分：比较下列三种结果：syms x;i=int(exp(-x2),x,0,1),vpa(i,15)i=1/2*erf(1)*pi(1/2)0.746824132812427f=inline(exp(-x.2,x);q1=quad(f,0,1)q1=0.74682418072642q2=quadl(f,0,1)q2=0.74682413398845第47页/共153页4.1.5曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分总是可以通过类似于重积分的处理方法转化为定积分方式来求解。关键是掌握好转化公式和对积分限的要求。第48页/共153

24、页4.1.5曲线积分与曲面积分例4.1.22求对坐标的曲线积分：C是圆周x2+y2=ax的上半部分顺时针方向。命令：clear ;syms x y a;y=sqrt(a*x-x2);ydx=diff(y,x);f=x2+y2+4*x*y*ydx;L=int(f,x,0,a)L=1/6*a3第49页/共153页4.1.6空间解析几何与向量代数 主要内容有关向量的计算：模、方向余弦和方向角有关向量的计算：数量积、向量积空间曲线和曲面的绘制第50页/共153页4.1.6空间解析几何与向量代数有关向量的计算：模、方向余弦和方向角例4.1.23求向量 的模、方向余弦和方向角。命令：clear;a=2,-

25、3,5;mo=sqrt(sum(a.2)%模Mo=sqrt(a*a)cx=2/mo;cy=-3/mo;cz=5/mo;c=cx,cy,cz%方向余弦ax=acos(cx);ay=acos(cy);az=acos(cz);%方向角A=ax,ay,az*180/pi%将弧度变为角度mo=6.1644c=0.3244 -0.4867 0.8111 A=71.0682 119.1216 35.7958第51页/共153页4.1.6空间解析几何与向量代数有关向量的计算：数量积、向量积例4.1.24求向量 和 的数量积、向量积。命令：clear;a=2,-3,1;b=1,-1,3;s=dot(a,b)%数

26、量积等同于a*b ch=a*bs=8 ch=8 xlj1=cross(a,b)%a和 b向量积 xlj1=-8 -5 1xlj2=cross(b,a)%b和 a向量积 xlj2=8 5 -1第52页/共153页4.1.6空间解析几何与向量代数空间曲线和曲面的绘制 plot3(X,Y,Z)、mesh()、meshgrid()、surf()、ezmesh()等请参考具体的章节和帮助。例4.1.25绘制函数：y=1/xy=1/x围绕y y轴旋转所形成的旋转曲面。命令：clear;x=0.2:0.001:0.5;y=1./x;X,Y,Z=cylinder(y,30);%命令 cylinder(x,n)

27、生成 绕母线x的旋转曲面，n定义母线的分格线条数 mesh(X,Y,Z)第53页/共153页4.1.7级数 主要内容级数的求和与审敛泰勒展开傅立叶展开 第54页/共153页4.1.7级数级数的求和与审敛 级数的求和与审敛实际是同一问题，只要可以求和，自然收敛。级数求和命令格式：symsum(fun,变量，起点，终点)省略变量则对默认变量求和。例4.1.26求（1）（2）命令：clear;syms n;f1=(2*n-1)/2n ;f2=1/(n*(2*n+1);I1=symsum(f1,n,1,inf)I1=3%收敛I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=2-2*log(2)第55页/

28、共153页4.1.7级数级数的求和与审敛例4.1.27求：命令：clear;syms n m;f1=symsum(1/m,m,1,n);limit(f1-log(n)n,inf)ans=eulergamma%欧拉常数vpa(ans,20)ans=0.57721566490153286061第56页/共153页4.1.7级数级数的求和与审敛例4.1.28求（1）（2）命令：clear;syms n x;f1=sin(x)/n2 ;f2=(-1)(n-1)*xn/n;I1=symsum(f1,n,1,inf)I1=1/6*sin(x)*pi2 I2=symsum(f2,n,1,inf)I2=log

29、(1+x)第57页/共153页4.1.7级数 泰勒展开 命令格式：taylor(fun,n，变量，a)fun为待展函数；n为展开阶数，缺省是6阶；变量为声明fun中的变量，省略变量则对默认变量展开；a为变量求导的取值点，缺省为0，即麦克劳林展开。例4.1.29将 展开成幂级数。命令：clear;syms x;f=1/(1+x2);taylor(f)ans=1-x2+x4taylor(f,20)ans=1-x2+x4-x6+x8-x10+x12-x14+x16-x18第58页/共153页4.1.7级数例4.1.30将 展开成(x-1)的幂级数。命令：clear;syms x;f=1/(x2+4*

30、x+3);taylor(f,10,x,1)ans=7/32-3/32*x+7/128*(x-1)2-15/512*(x-1)3+31/2048*(x-1)4-63/8192*(x-1)5+127/32768*(x-1)6-255/131072*(x-1)7+511/524288*(x-1)8-1023/2097152*(x-1)9第59页/共153页4.1.7级数 傅立叶展开 将函数展开为如下格式：可以结合MATLAB的积分命令int()计算：即可进行傅立叶展开。第60页/共153页4.1.8微分方程 求解微分方程（组）由命令dsolve()完成。格式：dsolve(方程1,方程n,条件1，条

31、件m,变量1,.,变量k)其中方程i为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省为默认。注意：在输入形式中，y记为Dy，y为D2y，,y(n)为Dny。t,x=ode23(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数)t,x=ode45(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数)分别采用二阶三级和四阶五级的RKF方法计算常微分方程的数值解，plot(t,x)为解曲线。第61页/共153页4.1.8微分方程例4.1.31求解微分方程：(1)(2)命令：clear;syms x y;Y1=dsolve(Dy=1/(x+y),x)Y1=-lambertw(-C1*exp(-1

32、-x)-1-x%lambertw(x)表示一种函数关系y*exp(y)=xY2=dsolve(D2y*y-Dy2=0,x)%若D2y*y改为y*D2y会提示出错，不符合某种规则 Y2=0 或exp(C1*x)*C2第62页/共153页4.1.8微分方程例4.1.32求解微分方程：命令：clear;syms x y;f=(1+x2)*D2y=2*x*Dy;c1=y(0)=1,Dy(0)=3;Y=dsolve(f,c1,x)Y=1+3*x+x3第63页/共153页4.1.8微分方程例4.1.33求解微分方程：命令：clear;syms x y;Y=dsolve(D2y-5*Dy+6*y=x*exp

33、(2*x),x)Y=exp(3*x)*C2+exp(2*x)*C1-1/2*x*exp(2*x)*(2+x)第64页/共153页4.1.8微分方程例4.1.34求解微分方程组：命令：clear;syms t x y;x,y=dsolve(Dx=x-y,Dy=x+y,t)x=exp(t)*(C1*cos(t)-C2*sin(t)y=exp(t)*(C1*sin(t)+C2*cos(t)第65页/共153页4.2 概率统计随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征参数估计假设检验方差分析第66页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n超几何分布H(n,M,N)命令1：Fx=hygecd

34、f(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现次品不多于x件的概率Fx=P次品数Xx=F(x)命令2：x=hygeinv(p,M,N,K)功能：在已知参数M、N、K和p的情况下计算随机量x，使得p=P0次品数Xx命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)功能：在已知参数M,N,K的情况下产生m*n维符合超几何分布的随机数矩阵X第67页/共153页4.2.1 随机变量及其分布命令4：Px=hygepdf(x,M,N,K)功能：总共M件产品，其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现恰好x件次品的概率Px=PX=x命令5：stairs(x

35、,Px)功能：绘制以 x为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图；当Px是分布列(或密度)时，绘制概率密度分布图；当Px是累积分布时，绘制概率分布函数图注：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数X；cdf-产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数p(x)或分布列Px=PX=xinv-计算x=F-1(p)p=F(x)第68页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 二项分布B(n,p)命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=binoinv(y,n,p)功能：计算随机量x，使得y=PXx命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产

36、生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X命令4：Px=binopdf(x,n,p)功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率第69页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 泊松分布XP()命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=poissinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率Px=PX=x第70页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 正态分布XN(,2)命令1：Fx

37、=normcdf(x,mu,sigma)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=norminv(p,mu,sigma)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=normpdf(x,mu,sigma)功能：计算分布密度p(x)在x的值补充：randn()-标准正态分布随机数第71页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 指数分布Xexp()命令1：Fx=expcdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=expinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得

38、p=PXx命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=exppdf(x,lambda)功能：计算分布密度p(x)在x的值第72页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 均匀分布XU(a,b)命令1：Fx=unifcdf(x,a,b)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=unifinv(p,a,b)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=unifpdf(x,a,b)功能：计算分布密度p(x)在x的值补充：rand()-(0,1)均匀分布随机数第73页

39、/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 分布命令:gamcdf(x,a,lambda),gaminv(p,a,lambda)gampdf(x,a,lambda),gamrnd(a,lambda,m,n)第74页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 2 2分布命令:chi2cdf(x,k),chi2inv(p,k),chi2pdf(x,k)chi2rnd(k,m,n)第75页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n T T分布命令:tcdf(x,k),tinv(p,k),tpdf(x,k)trnd(k,m,n)第76页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n F F分布命令:fcd

40、f(x,p,q),finv(F,p,q),fpdf(x,p,q)frnd(p,q,m,n)第77页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 例4.2.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：(1)试计算x=45的概率和x45的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算x=45的概率 px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算x45的概率 fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(

41、分布函数图)第78页/共153页4.2.1 随机变量及其分布p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r);title(概率分布图)第79页/共153页4.2.1 随机变量及其分布n 例4.2.2设XN(2,0.25)(1)求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);ho

42、ld on;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数,正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5)第80页/共153页4.2.1 随机变量及其分布第81页/共153页4.2.2 随机变量函数的分布根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量X的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密度函数为：fY(x)=fX(h(y)|h(y)|,其中x=h(y)是y=g(x)的反函数。如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论。也可利用：据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程第82页/共153页n 例4.2.

43、3设随机变量X服从均匀分布U0,1，求Y=eX的分布。程序：clear;x=solve(y=exp(x)x=log(y)dy=diff(x,y)dy=1/yfy=1*abs(dy)fy=1/|y|注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！4.2.2 随机变量函数的分布第83页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 随机变量的数学期望1.数组的平均值-Y=mean(X)功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或m=mean(X(:)与此类似的有：求和(sum),最大(max),

44、最小(min)等2.离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3.连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望第84页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 例4.2.4设随机变量X的分布列，求期望。程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750X-1023P1/81/43/81/4第85页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 例4.2.5设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。程序：clear;syms a

45、b x;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*a F=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*b f1=EX-3/5;f2=f-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/5第86页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 例4.2.6设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。程序：clear;syms x;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=1第87页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 随机变量

46、的方差1.统计数据的方差-D=var(X,1)功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：var(var(X)缺省1，计算：否则计算：2.统计数据的标准差-S=std(X,1)功能：用法和1的解释同上3.一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分或级数编程计算第88页/共153页4.2.3 随机变量的数字特征n 例4.2.7设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=

47、int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2 第89页/共153页n 例4.2.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1);或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha)运行一次：mh=15.1076 sh=2.4038 mc=14.347815.8674 sc=1.97093.07034.2.4 参数估计第95页/共153页n 例4.2.9设从一大批产品中抽取100个产品，经

48、检验知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度95%)。程序：clear;alpha=0.05;N=100;X=60;Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：Ph=0.6000 Pc=0.49720.6967 4.2.4 参数估计第96页/共153页4.3 插值与拟合插值数据拟合第121页/共153页在科学与工程研究中经常会遇到通过实验测出一些数据，根据这些数据对某种规律进行研究。可以将这些数据看成是样本点，所谓数据插值就是在样本点的基础上求出不在样本点上的其他点处的函数值。4.3.1 插值第122页/共153页一维数据的插值问题二维网格数据的插值问题二维一般分布数据的

49、插值问题高维插值问题4.3.1 插值第123页/共153页4.3.1 插值一维数据的插值问题 假设已知在n个自变量值x1,x2,.,xn处的函数值为y1,y2,.,yn，或称有n个样本点：(x1,y1),(x2,y2),.,(xn,yn)，由这些样本点的信息获得在其他点上的函数值称为插值，如果在给定点的范围内进行插值，称为内插；否则称为外插（预报）。命令:y1=interp1(x,y,x1,方法)功能:x,y 是相同长度的已知样本点坐标数组，不要求x单调；x1为需要插值处的自变量值，可以为标量、数组或矩阵，y1为对应的插值结果；方法可以选：linear(线性插值，默认),nearest(最近点

50、等值方式),cubic(三次hermite插值),spline(三次分段样条插值)等，一般建议使用三次样条插值第124页/共153页例4.3.1在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境数据温度分别为：12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测中午一点时的温度。程序：clear;x=0:2:24;y=12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13;y1=interp1(x,y,13,spline)4.3.1 插值第125页/共153页4.3.1 插值二维网格数据的插值问题 命令:z1=interp2(x,y,z,x1,y1,方