数值分析非线性方程求根.pptx

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1、第7章 非线性方程求根求根的基本问题及分析方法求根的基本问题及分析方法 迭代法迭代法Newton法法弦截法与抛物线法弦截法与抛物线法第1页/共38页7.1 求根的基本问题及分析方法 方程的求根大致包括方程的求根大致包括方程的求根大致包括方程的求根大致包括3 3个基本问题：个基本问题：个基本问题：个基本问题：根的存在性 方程有没有根？有的话，有几个？根的隔离 求出几个互不相交的区间，使每个区间中只有一个根。根的精确化 在求出精度不高的近似根的基础上，逐步将根精确化，直到满足预先要求的精度为止。基本方法：基本方法：基本方法：基本方法：分析法搜索法二分法第2页/共38页求根的基本问题及分析方法 1、

2、分析法p利用连续函数的性质，函数的增减性、极值等性质判定根的范围。p特别是当 f(x)连续，且 ，则a,b间至少有一个实根。这点在判定根的范围中很重要。p对于n次多项式方程至多有n个实根。p有时可以辅以图像来更直观地观察分析问题。第3页/共38页求根的基本问题及分析方法 例 对 之根进行隔离。解 显然，由得驻点 。因 故 分别为 极大值和极小值。从而 内各有一个实根。由 y=f(x)的草图可以直观地看到这点。又显然有因而，三个根的更好的隔离区间为y=f(x)的草图第4页/共38页求根的基本问题及分析方法 2、搜索法如果我们判定方程 f(x)=0 的某一个根的大致范围，则可用搜索法加以缩小，使根

3、进一步精确化。设 ，且 ，则可判定 。不妨设 ，且 。我们从左端开始，按预先选定的步长h，一步一步地向右边走，每走一步检查一下终点的函数值是否取正号。如果 ，则表明根 。如果精度不够，可将 看成 a,b再次进行搜索，并从左端点开始向右搜索，直到满足精度为止。在具体实施中，步长的选择是个关键，步长较小时精度高，但搜索次数增加。第5页/共38页求根的基本问题及分析方法 例题 试求方程 的唯一正根，要求误差不超过0.1。解 从 x=0 开始，取步长 h=1,则有故根 。再去 h=0.2，因 ，故根从而取近似根为2.1，即 即可满足精度要求。注意注意：搜索法的实施是很灵活的，哪怕没有给出根的存在范围，

4、搜索法的实施是很灵活的，哪怕没有给出根的存在范围，也也可进行搜索。可进行搜索。第6页/共38页求根的基本问题及分析方法 3、二分法把搜索的步长取为含有根区间 a,b 的1/2，便得到二分法。例题 用二分法将 在（2,3）内的根精确到小数点后第二位。解kakbkxkf(xk)的符号0232.5+122.52.25+222.252.215+322.1252.0625-42.06252.1252.09375-52.093752.1252.109375+62.093752.1093752.1015625+72.093752.10156252.09765625第7页/共38页求解方程 的问题，可将方程变

5、形写成 的形式。显然，前者的根 必满足后者，即 。反之亦然。这表明：求方程 的根，可转化为求方程 的根。为此，可选定某个初值 ，按迭代格式进行迭代运算。（*）称为求方程之根的迭代格式求方程之根的迭代格式求方程之根的迭代格式求方程之根的迭代格式。在 中，称 为函数 的一个不动点。从而，求方程之根，即求函数 的零点，又等价于求迭代函数 的不动点。7.2 迭代法 第8页/共38页例题1求方程 在0.4附近的有五位有效数字的近似根。解将方程变形为则迭代格式为取初始值为0.4，可算得各次近似根为 第9页/共38页 收敛迭代格式的建立例题 求方程 在1.5附近的近似值。解 将方程变为 ，建立迭代格式前者是

6、收敛的，后者是发散的。后者与前者的最大不同点在于后者的导数 ，而前者的 。这表明：迭代格式的收敛性，与迭代函数的导数 的大小有关。第10页/共38页 定理设迭代函数 ，且满足（1）任给 ，总有（2）存在正数q 1，使则对于任意初值 ，当 时，迭代格式所得的数列 收敛于a,b内唯一的实根 ，并有估计式注意：定理中在函数的整个定义区间上满足 的条件是相当苛刻的，实际应用中局部收敛即可。第11页/共38页 例题 求方程 的一个正根，精度为10-3。迭代格式的收敛速度迭代加速公式第12页/共38页7.3 Newton法NewtonNewton迭代法的基本思想迭代法的基本思想将曲线的问题转化为直线来解决

7、，即将非线性方程转化为线性方程来求解。NewtonNewton迭代格式迭代格式由于它是基于切线方程而得到的，因而也叫切线法切线法。第13页/共38页例题 用Newton法求方程 在0.5附近的根。解因为 ，故迭代格式为取初值 ，经迭代演算，得到前四次的近似根为第14页/共38页Newton法的应用对于给定的正数C，应用Newton法解二次方程因为 故得求 的近似值的迭代格式例题 计算解 凡是迭代算法，初值的选取都会影响到收敛速度。取 ，利用上面的迭代格式计算4次的结果为第15页/共38页习题 应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式。第16页/共38页简化Newton法迭代公式为Newto

8、n下山法迭代公式为第17页/共38页7.4 弦割法与抛物线法Newton法具有收敛快的优点，但也有要计算导数 的缺点，这对求导比较麻烦的函数，牛顿迭代格式用起来是不方便的。为避开计算导数，取2个初值点 ，过作割线，则得到割线的斜率为一般地，用割线的斜率代替牛顿法中切线的斜率，即用 则得新的迭代格式用（*）式求近似根称为双点弦割法。第18页/共38页 在用双点弦割法中计算 次近似值 时，要用到前面两点 的信息，公式启动时要提供两个初值。单步迭代法和多步迭代法单步迭代法和多步迭代法凡是计算 次近似只用到前面一点 的信息的迭代法称为单步单步迭代法迭代法，而要用到前面两点或两点以上的信息的迭代法则称为

9、多多步迭步迭代法。代法。有时为了简化双步迭代法，可用固定的点 代替得迭代格式 如下所示，称为单点弦割法如下所示，称为单点弦割法 第19页/共38页 习题 用双点弦割法计算 在 附近的根。根的精确值 要求计算结果有四位有效数字。计算时取 。第20页/共38页 抛物线法设已知方程 的三个近似根 ，我们以这三点为节点构造二次插值多项式 ，并适当选取 的一个零点 作为新的近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。基本思想是用抛物线 与x轴的交点 作为所求根的近似值。第21页/共38页 插值多项式有两个零点：式中注意：根式前正负号的取舍是根式前的符号与 的符号相同即可。第22页/共38页 习题习题 第23页/共38页 习题习题 第24页/共38页 习题习题 第25页/共38页 习题习题 第26页/共38页 习题习题 第27页/共38页 习题习题 第28页/共38页 习题习题 第29页/共38页 习题习题 第30页/共38页 习题习题 第31页/共38页 习题习题 第32页/共38页 习题习题 第33页/共38页 习题习题 第34页/共38页 习题习题 第35页/共38页 习题习题 第36页/共38页 习题习题 第37页/共38页数值分析感谢您的观看。第38页/共38页