数值计算方法1.pptx

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1、引言 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。第1页/共58页引言关于线性方程组的数值解法一般有两类。直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的

2、方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题第2页/共58页例题1例3.1.1.求过三点(1,1),(2,-1),(3,1)的抛物线第3页/共58页例题2例3.1.2.第4页/共58页第5页/共58页3.1 高斯消元法设线性方程组简记 AX=b第6页/共58页高斯消元法其中第7页/共58页高斯消元法克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在实际应用中存在很大的困难，当n=20时,万亿次计算机计算D需要一年.在线性代数中，为解决这一困难给出了高斯消元法。第8页/共58页例题例3.3.3.用消元法解方程组第9页/共58页例题第一步：-2 x

3、（1）+(3)得第10页/共58页例题第二步：1 x（2）+（4）回代得：x=1,2,3T第11页/共58页3.1.1下三角形方程求解 设 （1）第12页/共58页由（1）得第13页/共58页高斯顺序消元法算法：第14页/共58页高斯顺序消元法 第15页/共58页上三角方程组的解法上三角方程组的解法设 第16页/共58页由（2）式回代得 第17页/共58页第18页/共58页3.1.2.高斯顺序消去法设 Ax=b.记A(1)=A b(1)=b1、第一次消元。设第19页/共58页高斯顺序消去法 第20页/共58页高斯顺序消去法设第k-1次消元得A(k)x=b(k)其中第21页/共58页高斯顺序消去

4、法 则第k次消元:第22页/共58页高斯顺序消去法最后第23页/共58页高斯顺序消去法也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：第24页/共58页高斯顺序消去法 第25页/共58页高斯顺序消去法 第26页/共58页高斯顺序消去法第27页/共58页高斯顺序消去法第28页/共58页高斯顺序消去法算法框图 第29页/共58页高斯消去法的计算量 第30页/共58页高斯顺序消去法条件 第31页/共58页3.1.3.高斯主元素消去法Gauss列主元消元法从第一列中选出绝对值最大的元素交换第32页/共58页高斯列主元消去法第33页/共58页高斯列主元消去法第k步 从 的第k列 ，中选取绝对值最大项，记录所在行，即

5、 若 交换第k行与l行的所有对应元素，再进行顺序消元。第34页/共58页框图第35页/共58页高斯列主元消去法第36页/共58页高斯列主元消去法第37页/共58页高斯列主元消去法第38页/共58页例题2例3.1.2.第39页/共58页第40页/共58页2.全主元消去法例如.求解方程组 第41页/共58页全主元消去法第42页/共58页全主元消去法第43页/共58页全主元消去法第44页/共58页全主元消去法第45页/共58页全主元消去法第46页/共58页全主元消去法第47页/共58页第48页/共58页Gauss全主元消元算法第49页/共58页Gauss全主元消元算法第50页/共58页Gauss全主

6、元消元算法第51页/共58页3.高斯-约当消去法与一般消去法相比，高斯约当消去法是一种无回代过程的算法设方程组AX=b经过（k-1）次消元得第52页/共58页高斯-约当消去法第53页/共58页算法第54页/共58页选列主元的Gauss-Jordan消去法第55页/共58页Guass-Jordan消去法形式上比Guass消去法简单,求解无回代过程,但从工作量角度看前者大约需要O(),而后者需要量 O(),比有回代的Guass消去法多O()工作量.第56页/共58页小节比较而言,Gauss顺序消去法条件苛刻,且数值不稳定;Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比较 个元素及行列交换工作，算法复杂；对于Gauss-Jordan消去法形式上比其他消元法简单，且无回代求解，但计算量大,比Gauss顺序消去法多 计算量。因此从算法优化的角度考虑，Gauss列主元消去法比较好。第57页/共58页感谢您的观看。第58页/共58页