数学蒙特卡罗积分方法.pptx

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1、蒙特卡罗方法蒙特蒙特卡罗方法（卡罗方法（Monte Carlo methodMonte Carlo method），也称统计模拟方法，），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，与它对应的是确定性算法。解决很多计算问题的方法，与它对应的是确定性算法。第1页/共42页蒙特卡罗

2、方法的提出蒙特卡罗方法于蒙特卡罗方法于2020世纪世纪4040年代美国在第二次世界大战中研制原年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的子弹的“曼哈顿计划曼哈顿计划”计划的成员计划的成员S.M.S.M.乌拉姆和乌拉姆和J.J.冯冯诺伊曼首诺伊曼首先提出。数学家冯先提出。数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的摩纳哥的Monte Monte CarloCarlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。蒙特卡罗方法就已经存在。17771777年，法国数学家浦丰提出用投年，法国数学家浦丰提出用投针实验

3、的方法求圆周率针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。第2页/共42页蒙特卡罗方法的基本思想当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种量的期望值时，通过某种“实验实验”的方法，以这种事件出现的的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解数字特征，并将其作为问题的解第3页/共42页蒙特卡罗方法的应用蒙特卡罗方法在，金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算蒙

4、特卡罗方法在，金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学等领域应用广泛物理学等领域应用广泛 。通常蒙特通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特数值解的方法。一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。蒙特卡罗积分。第4页/共42页蒙特卡罗积分第5页/共42页

5、Monte Carlo Integration第6页/共42页投点法(频率法)第7页/共42页第8页/共42页第9页/共42页第10页/共42页第11页/共42页第12页/共42页第13页/共42页一个具体的例子第14页/共42页第15页/共42页第16页/共42页投点法（频率法）所需采样量的估计第17页/共42页第18页/共42页第19页/共42页第20页/共42页第21页/共42页平均值法（期望法）第22页/共42页第23页/共42页第24页/共42页第25页/共42页我们还是利用上面所说的那个具体例子，此时，的平均值估计就是：第26页/共42页第27页/共42页一个简单的例子设有一个函数

6、如下：对该函数在0,1上积分，下面利用蒙特卡罗积分法估计其积分值。第28页/共42页根据上面所介绍的方法，我们可以令 为0,1上的均匀分布，则 ，故：下面利用R软件来模拟计算积分值，程序如下：第29页/共42页 h=function(x)(cos(50*x)+sin(20*x)2 par(mar=c(2,2,2,1),mfrow=c(2,1)curve(h,xlab=Function,ylab=,lwd=2)integrate(h,0,1)x=h(runif(104)estint=cumsum(x)/(1:104)esterr=sqrt(cumsum(x-estint)2)/(1:104)pl

7、ot(estint,xlab=Mean and error range,type=l,lwd=+2,ylim=mean(x)+20*c(-esterr104,esterr104),ylab=)lines(estint+2*esterr,col=gold,lwd=2)lines(estint-2*esterr,col=gold,lwd=2)第30页/共42页减小方差的技术第31页/共42页第32页/共42页第33页/共42页第34页/共42页第35页/共42页第36页/共42页第37页/共42页第38页/共42页第39页/共42页第40页/共42页以上就是对蒙特卡罗积分的介绍以上就是对蒙特卡罗积分的介绍第41页/共42页感谢您的观看。第42页/共42页