方向导数与梯度.pptx

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1、 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比一、方向导数一、方向导数 1.问题的提出问题的提出 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属受热在(3,2)处有一个蚂蚁，问：这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题1第1页/共58页问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行.问题2l第2页/共58页2.方向导数的定义方向导数的定义设l 是xOy 平面上以是与l 同方向的为始点的定义8.8 单位向量.函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域 一条射线，内有定义，为l上

2、另一点，且 射线l 的参数方程为第3页/共58页存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点P0沿方向 l 的方向导数，记作 即第4页/共58页1 方向导数的其他形式：注注第5页/共58页2 方向导数的几何意义 过点P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，与曲面 z=f(x,y)的交线在曲面上相应点M 处的切线MTl(若存在)关于l 方向的斜率:该平面lTlz=f(x,y)第6页/共58页3.方向导数的计方向导数的计算算则本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算(1)用定义第7页/共58页例例1在点(1,2)处沿方向的方向导数.解当函数f(x,y)在点可微时,又有如下的计算方向导数的办法.第8页

3、/共58页定理定理8.9证 由函数且有得则函数在该点沿任一方向 的方向导数存在,在点 可微,(2)用公式第9页/共58页故第10页/共58页解例例2第11页/共58页第12页/共58页方向导数概念可方向导数概念可推广到推广到三元函数：三元函数：第13页/共58页同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，且有第14页/共58页例例3解第15页/共58页(1)方向导数与偏导数的关系存在4.概念之间的关系概念之间的关系存在，且第16页/共58页证xyoPlPPPP第17页/共58页xyoPlP第18页/共58页？即但存在存在反例：（自己证）第19页/共58页(2)可微可偏导

4、沿任意方向的方向导数存在反例1第20页/共58页反例2不存在.第21页/共58页设从x轴正方向到射线 l的转角为，求函数的方向导数.并问:l是怎样的方向时，此方向导数(1)取得最大值;(2)取得最小值;(3)等于零？解由方向导数的计算公式知例例4 沿射线 l 方向在点P(1,1)第22页/共58页故方向导数达到最小值方向导数达到最大值第23页/共58页二、梯度二、梯度 从例4 看到,到最大值函数在点P 沿哪一个方向增加的速度最快？zoPxy=5/4第24页/共58页观察向量：恰好与同方向，最大.这是巧合吗？不是！第25页/共58页1.定义定义8.9设二元函数为函数 z=f(x,y)在点 P 处

5、的梯度记作 (gradient),在点具有偏导数，称向量第26页/共58页(1)(2)可微函数 z=f(x,y)的梯度有下列性质：2.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系第27页/共58页证(1)第28页/共58页(2)取得最大值:注 1第29页/共58页沿梯度相反方向，2 梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.方向：是函数值增加最快的方向模:等于函数的方向导数最大值第30页/共58页求函数在点处的梯度.解则注意 x,y,z 具有轮换对称性例例5第31页/共58页称为函数3.梯度的几何意义梯度的几何意义(1)等高线 z=f(x,y)的等高(值)线.第32

6、页/共58页xyoxyzoz=c2z=c1f(x,y)=c1f(x,y)=c2 第33页/共58页(2)等高线等高线 f(x,y)=c 的法的法向量向量第34页/共58页(3)等高线上的法向量与梯度的关系等高线上的法向量与梯度的关系第35页/共58页 0 故 z=f(x,y)在点 P(x,y)的梯度恰为等高线 f(x,y)=c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数第36页/共58页等高线梯度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线.第37页/共58页函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数

7、同样,对应三元函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,等值面上 点P处的法向量为增大的方向.第38页/共58页第39页/共58页例例6解(方法1)恰为等高线(u=0)xyoM内第40页/共58页第41页/共58页(方法2)xyoM第42页/共58页4.梯度的基本运算公梯度的基本运算公式式第43页/共58页5.梯度的应用梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1)计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2)在热力学中，引出热流向量：(其中U(P)为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3)在电磁场学中的电位 u 与电场强度 有关系：第44页/共58页例例7证试证处矢径 r 的模,第

8、45页/共58页例例8已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点试证明：证 利用例6的结果 处所产生的电位为这说明：场强垂直于等位面,且指向电位减少的方向.第46页/共58页内容小结内容小结1.方向导数计算公式 三元函数 在点沿方向 l(方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l(方向角为可微时方可用第47页/共58页2.梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.第48页/共58页思考题思考题设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(

9、1)中切线方向 的夹角 .第49页/共58页曲线在点解解 (1)函数沿 l 的方向导数M(1,1,1)处切向量为第50页/共58页第51页/共58页备用题备用题在点P(2,3)沿曲线在该点的切线，朝 x 增大方向的方向导数.解 将已知曲线用参数方程表示为它在点 P 的切向量为例2-1 求函数第52页/共58页沿点A指向 点B(3,2,2)方向的方向导数在点A(1,0,1)处例例3-1 求函数求函数解则第53页/共58页解令故方向余弦为例例3-2+外侧第54页/共58页故第55页/共58页例例3-3 求函求函数数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解 向量 l 的方向余弦为第56页/共58页例例5-1解第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页