平均数二数值平均数.pptx

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1、平均数二数值平均数平均数二数值平均数 设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含设某一资料包含n n个观测值：个观测值：个观测值：个观测值：x x1 1、x x2 2、x xn n，则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：其中，其中，其中，其中，为总和符号；为总和符号；为总和符号；为总和符号；表示从第一个观测值表示从第一个观测值表示从第一个观测值表示从第一个观测值x x1 1累加到第累加到第累加到第累加到第n n个观测值个观测值个观测值个观测值x xn n。当。当。当。当 在意义上已明确在意义上已明确在意义上已明确在意义上

2、已明确时，可简写为时，可简写为时，可简写为时，可简写为 x x，（，（，（，（3-13-1）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：）式可改写为：第1页/共45页 【例例例例3.13.1】某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得某种公牛站测得1010头成年公牛的体重头成年公牛的体重头成年公牛的体重头成年公牛的体重分别为分别为分别为分别为500500、520520、535535、560560、585585、600600、480480、510510、505505、490490（kgkg），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。），求其平均数。由于由于由于由于 x x=500+520+535

3、+560+58=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 +600+480+510+505+49 =5285 =5285，n n=10=10 第2页/共45页 得：得：得：得：即即即即1010头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为528.5 528.5 kgkg。（二）加权法（二）加权法 对于样本含量对于样本含量对于样本含量对于样本含量 n n30 30 以上且已分组的资料，可以上且已分组的资料，可以上且已分组的资料，可以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均

4、数，以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：计算公式为：计算公式为：计算公式为：第3页/共45页 式中：式中：第第i组的组中值；组的组中值；第第i组的次数；组的次数；分组数分组数 第第i组的次数组的次数fi是权衡第是权衡第i组组中组组中值值xi在资料中所占比重大小的数量，在资料中所占比重大小的数量，因此将因此将fi 称为是称为是xi的的“权权”，加权，加权法也由此而得名。法也由此而得名。【例例3.2】将将100头长白母猪的头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：仔猪一月窝重（单位：kg）资料）资料整理成次数分布表如下，求其加整理成次数分布表如

5、下，求其加权数平均数。权数平均数。第4页/共45页要点解释权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。权数例(1)(2)(3)X456合计频数 频率(%)10201025.050.025.040100.0X456合计频数 频率(%)20402025.050.025.080100.0X456合计频数 频率(%)20101050.025.025.080100.0=5 =5 =4.75 第5页/共45页 表表表表31 10031 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔

6、猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表第6页/共45页 利用（利用（32）式得：）式得：即这即这100头长白母猪仔猪一月头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为龄平均窝重为45.2kg。计算若干个来自同一总体的样计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。含量不等，也应采用加权法计算。第7页/共45页 【例例3.3】某牛群有黑白花奶某牛群有黑白花奶牛牛 1500头，其平均体重为头，其平均体重为750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛，而另一牛群有黑白花奶牛1200头，平均体重为头，平均体重为725 kg，如果将，如果将这两个牛

7、群混合在一起，其混合这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？后平均体重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即的加权平均数，即 第8页/共45页 即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。（三）平均数的基本性质（三）平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之、样本各观测值与平均数之差的和为零，即差的和为零，即离均差之和等于离均差之和等于零零。或简写成或简写

8、成第9页/共45页 2 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即即即即离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小离均差平方和为最小。(x xi i-)-)2 2 (x xi i-a-a)2 2 （常数（常数（常数（常数a a ）或简写为：或简写为：或简写为：或简写为：对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用 表示总体平均数，有限表示总体平均数，有限表示总体平均数，有限表示总体平均数，有限总体的平均数为：总体的平均

9、数为：总体的平均数为：总体的平均数为：第10页/共45页 式中，式中，N表示总体所包含的个表示总体所包含的个体数。体数。当一个统计量的数学期望等于当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的计量为该总体参数的无偏估计量无偏估计量。统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（）作为总体平均数（）的估计量，）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均并已证明样本平均数是总体平均数数的无偏估计量。的无偏估计量。第11页/共45页常用的几种数值平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点:容易理解，便于计算；灵敏度高；稳定性好；、和

10、 。缺点:易受极值影响；在偏斜分布和U形分布中，不具有代 表性。1.算术平均数（）标志总量与总体单位总数的比值简单：加权：第12页/共45页常用的几种平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点：灵敏度高；在某种不能计 算的条件下，可以代替算术 平均数。缺点：不易理解；易受极值影响；有“0”值时不能 计算。2.调和平均数（）标志值倒数平均数的倒数简单：加权：第13页/共45页调和平均数与算术平均数的区别频率分布变了，均值也变。因此，严格地说，权数应指频率。凡是掌握被平均指标的分母资料时，用算术平均法。凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法。平均指标分子：标志总量分母：总体单位总数几何平均等于

11、对数的算术平均 组距数列求中位数是用插值法对中位数组分割的结果。第14页/共45页价格（元）3.32.52.0合计销售量（斤）34512算术平均求某种商品三种零售价格的平均价格调和平均价格（元）3.32.52.0合计销售额（元）9.9101029.9例第15页/共45页三、几何平均数三、几何平均数 n 个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开 n 次方次方所得的方根，称为所得的方根，称为几何平均数几何平均数，记为记为G。它主要应用于畜牧业、水。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析及药物效价的统计分析。如畜禽如畜禽、水产养殖的、水产养殖的

12、 增长率，抗体的滴增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水平。其平均数更能代表其平均水平。其计算公式如下：计算公式如下：第16页/共45页 为了计算方便，可将各观测值为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以取对数后相加除以n，得，得lgG，再，再求求lgG的反对数，即得的反对数，即得G值，即值，即 【例例3.7】某波尔山羊群某波尔山羊群19972000年各年度的存栏数见年各年度的存栏数见表表33，试求其年平均增长率。，试求其年平均增长率。第17页/共45页 表表33 某波尔山羊群各年

13、度存栏某波尔山羊群各年度存栏数与增长率数与增长率第18页/共45页 利用（利用（37）式求年平均增长）式求年平均增长率率 G=lg-1（-0.368-0.3980.602）=lg-1（-0.456）=0.3501 即年平均增长率为即年平均增长率为0.3501或或35.01%。第19页/共45页例 求95%、93%、90%的几何平均数（计算误差：0.0007）第20页/共45页常用的几种平均数：概 念 计算 公 式 特 点优点:灵敏度高；受极值影响小于 和 适宜于各比率之积 为总比率的变量求 平均。缺点:有“0”或负值时 不能计算；偶数项数列只能 用正根。3.几何平均数（）几个变量值连乘积的几次

14、根简单：加权：第21页/共45页位置平均数与算术平均数的关系XfXfXf(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）在偏斜不大时1212(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）(对称分布)正偏态分布（右）(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布（左）（对称分布）正偏态分布（右）第22页/共45页应用平均指标的原则 1必须是同质的量方可平均；2总平均数与组平均数结合分析；3根据具体条件选择平均方法；4平均数与典型值和分配数列结合分析；5集中趋势与离散趋势结合分析。第23页/共45页第二节第二节 标准差标准差 一、标准差的意义一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其用平均数作为样本的代表，其

15、代表性的强弱受样本资料中各观代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统资料中观测值变异程度大小的统计量。计量。第24页/共45页 全距（极差）全距（极差）全距（极差）全距（极差）是表示资料中各观测值是表示资料中各观测值是表示资料中各观测值是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全变异程度大小最简便的统计量。但是全变异程度大小最简便的统计量。但是全变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值

16、和最小值，距只利用了资料中的最大值和最小值，距只利用了资料中的最大值和最小值，距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异并不能准确表达资料中各观测值的变异并不能准确表达资料中各观测值的变异并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅程度，比较粗略。当资料很多而又要迅程度，比较粗略。当资料很多而又要迅程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以速对资料的变异程度作出判断时，可以速对资料的变异程度作出判断时，可以速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。利用全距这个统计量。利用全距这个统计量。利用全距这个统计量。

17、第25页/共45页 为为 了了 准准 确确 地地 表示样本内各个表示样本内各个观测值的变异程度观测值的变异程度，人们，人们 首首 先会先会考虑到以平均数为标准，求出各个考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（观测值与平均数的离差，（），称为，称为离均差离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负均差有正、有负，离均差之和，离均差之和 为零，为零，即（即（）=0，因，因 而而 不不 能能 用离用离均差之和均差之和（）来）来 表表 示示 资料资料中所有观测值的总偏离程度。中所有观测值的总偏离

18、程度。第26页/共45页 为了解决离均差有正为了解决离均差有正为了解决离均差有正为了解决离均差有正 、有负，离均差之、有负，离均差之、有负，离均差之、有负，离均差之和为零的问和为零的问和为零的问和为零的问 题题题题 ，可先求可先求可先求可先求 离离离离 均均均均 差的绝差的绝差的绝差的绝 对对对对 值值值值 并并并并 将将将将 各各各各 离离离离 均均均均 差差差差 绝对绝对绝对绝对 值值值值 之之之之 和和和和 除以除以除以除以 观观观观 测测测测 值值值值 个个个个 数数数数 n n 求求求求 得得得得 平平平平 均均均均 绝绝绝绝 对对对对 离差，离差，离差，离差，即即即即|/n|/n。

19、虽然平均绝对离差可以表示。虽然平均绝对离差可以表示。虽然平均绝对离差可以表示。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度资料中各观测值的变异程度资料中各观测值的变异程度资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均，但由于平均，但由于平均，但由于平均绝对离差包含绝对值符号绝对离差包含绝对值符号绝对离差包含绝对值符号绝对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，使用很不方便，使用很不方便，使用很不方便，在统计学中未被采用。在统计学中未被采用。在统计学中未被采用。在统计学中未被采用。第27页/共45页 我们还可以采用将离均差平方的我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离办法来解决离均差有

20、正、有负，离均差之和为零的问题。均差之和为零的问题。先将各先将各 个离个离 均差平方，即均差平方，即()2，再求，再求 离均差平方和离均差平方和，即即 ，简称，简称平方和平方和，记为，记为SS；由由 于于 离离差平方和差平方和 常常 随随 样样 本本 大大 小小 而而 改改 变变，为，为 了了 消消 除除 样样 本大小本大小 的的 影影 响响，用平方和用平方和 除除 以以 样样 本本 大大 小，小，即即 ，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数；第28页/共45页 为了使所得的统计量是相应总体为了使所得的统计量是相应总体参数的无参数的无 偏估计量，统计学证明，偏估计量，统计学证明，

21、在求离均差平方和的平均数时，分在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量母不用样本含量n，而用自由度，而用自由度 n-1，于是，我们于是，我们 采采 用统计量用统计量 表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。统计量统计量 称称 为为 均均 方方（mean square缩写为缩写为MS）,又又称称样本方差样本方差，记为，记为S2，即，即 S2=第29页/共45页 相应的总体参数叫相应的总体参数叫 总体方差总体方差，记，记为为2。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，2的计算的计算公式为：公式为：第30页/共45页 由于由于由于由于 样本方差样本方差样本方差样本方差 带有原观测单位的带有原观测单

22、位的带有原观测单位的带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测平方单位，在仅表示一个资料中各观测平方单位，在仅表示一个资料中各观测平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时值的变异程度而不作其它分析时值的变异程度而不作其它分析时值的变异程度而不作其它分析时 ，常常常常需要与平均数配合使用需要与平均数配合使用需要与平均数配合使用需要与平均数配合使用 ，这，这，这，这 时应时应时应时应 将平将平将平将平方单位还原，即应求出样本方差的平方方单位还原，即应求出样本方差的平方方单位还原，即应求出样本方差的平方方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差根。统计学

23、上把样本方差根。统计学上把样本方差根。统计学上把样本方差 S S2 2 的平方根叫的平方根叫的平方根叫的平方根叫做做做做样本标准样本标准样本标准样本标准 差差差差，记为，记为，记为，记为S S，即：，即：，即：，即：第31页/共45页 由于由于 所以上式可改写为：所以上式可改写为：第32页/共45页 相应的总体参数叫相应的总体参数叫相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体标准差总体标准差总体标准差总体标准差，记，记，记，记为为为为。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，的计算公式的计算公式的计算公式的计算公式为：为：为：为：在统计学中，常用样本标准差在统计学

24、中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差S S估计估计估计估计总体标准差总体标准差总体标准差总体标准差。第33页/共45页二、标准差的计算方法二、标准差的计算方法二、标准差的计算方法二、标准差的计算方法 （一）直接法（一）直接法（一）直接法（一）直接法 对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料 ，可直可直可直可直接利用（接利用（接利用（接利用（311311）或（）或（）或（）或（3-123-12）式来计）式来计）式来计）式来计算标准差。算标准差。算标准差。算标准差。第34页/共45页 【例例3.9】计算计算10只辽宁

25、绒山只辽宁绒山羊产绒量：羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的标准差。）的标准差。此例此例n=10，经计算得：，经计算得：x=5400，x2=2955000，代入，代入（312）式得：）式得：即即10只辽宁绒山羊产绒量的只辽宁绒山羊产绒量的 标准差标准差 为为65.828g。第35页/共45页 （二）加权法（二）加权法 对于已制成次数分布表的大样对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式用加权法计算标准差。计算公式为：为：式中，式中，f为各组次数；为各组次数；x

26、为各组为各组的组中值；的组中值；f=n为总次数。为总次数。第36页/共45页 【例例3.10】利用某纯系蛋鸡利用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表（见表枚蛋重资料的次数分布表（见表3-4）计算标准差。）计算标准差。将表将表3-4中的中的f、fx、代入代入（314）式得：）式得：即某即某 纯纯 系系 蛋蛋 鸡鸡200枚枚 蛋蛋 重的重的标准差为标准差为3.5524g。第37页/共45页 表表表表34 34 某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡200200枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布 及标准差计算表及标准差计算表及标准差计算表及标准差计算表第38

27、页/共45页 三、标准差的特性三、标准差的特性三、标准差的特性三、标准差的特性 （一）（一）（一）（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。（二）（二）（二）（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去一在计算标准差时，在各观测值加上或减去一在计算标准差时，在各观测值加上或减去一在计算标准差时

28、，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。个常数，其数值不变。个常数，其数值不变。个常数，其数值不变。（三）（三）（三）（三）当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数a a，则所，则所，则所，则所得的标准差是原来标准差的得的标准差是原来标准差的得的标准差是原来标准差的得的标准差是原来标准差的a a倍或倍或倍或倍或1 1/a/a倍。倍。倍。倍。第39页/共45页 （四）（四）在资料服从正态分布的在资料服从正态分布的条件下，资料中约有条件下，资料中约有68.26%的观的观测值在平均数左右一倍标准差（测值在平均数左右一

29、倍标准差（S）范围内；约有）范围内；约有95.43%的观测的观测值在平均数左右两倍标准差（值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有）范围内；约有99.73%的观的观测值在平均数左右三倍标准差（测值在平均数左右三倍标准差（3S）范范 围内。也就是说全距近围内。也就是说全距近似地等于似地等于6倍标准差，可用（全距倍标准差，可用（全距/6）来粗略估计标准差。）来粗略估计标准差。第40页/共45页第三节第三节 变异系数变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量程度的另一个统计量程度的

30、另一个统计量程度的另一个统计量 。标标标标 准差与平均数的比值称为准差与平均数的比值称为准差与平均数的比值称为准差与平均数的比值称为 变异系数变异系数变异系数变异系数，记为记为记为记为CVCV。变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位 和和和和 （或）平（或）平（或）平（或）平 均均均均数不同对两个或多个资料变异程度比较的数不同对两个或多个资料变异程度比较的数不同对两个或多个资料变异程度比较的数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。影响。影响。影响。第41页/共45页 变异系数的计算公式为：变异系数的计算公式为：【例例3.11】已知某良种猪场长已知某良

31、种猪场长白成年母猪平均体重为白成年母猪平均体重为 190kg，标准差为标准差为10.5kg，而大约克成年，而大约克成年母猪平均体重为母猪平均体重为196kg，标准差为，标准差为8.5kg，试问两个品种的成年母猪，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。那一个体重变异程度大。第42页/共45页 由于，长白成年母猪体重的变由于，长白成年母猪体重的变异系数：异系数：大约克成年母猪体重的变异系大约克成年母猪体重的变异系数：数：所以，长白成年母猪体重的变所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。异程度大于大约克成年母猪。第43页/共45页 注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。第44页/共45页