微积分基本公式57134.pptx

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1、(设所列定积分都存在)(k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定定积分的性质(定积分对积分区间具有可加性)第1页/共19页推论1.若在 a,b 上则6.设则5.若在 a,b 上则7.定积分中值定理则至少存在一点使推论2.(ab时也成立)第2页/共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 若f(x)在 a,b 上连续,证明且若则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,),当x属于U(x0,)时,f(x)第3页/共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证.首先若由(1)得,矛盾,

2、所以(3)令F(x)=g(x)f(x)由(1)得,F(x)=g(x)f(x)0即g(x)=f(x)第4页/共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分中值定理(推广)证明:则至少存在一点若f(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)证:不妨设g(x)0,若g(x)0则命题显然成立,若g(x)0,则设f(x)在a,b上的最小(大)值为m(M).m g(x)f(x)g(x)M g(x)在a,b上积分得,再由介值定理得第5页/共19页二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 莱布尼兹公式 一、引例 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 微积分的基本公式 第

3、五章(微积分的基本公式)第6页/共19页一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数则物体在时间间隔内经过的位移为这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 在这里s(t)是v(t)的原函数，即第7页/共19页二、积分上限的函数及其导二、积分上限的函数及其导数数则变上限函数证:则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.若(介于x与x+h之间)第8页/共19页说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束(推导在后面)第9页/共19页三、

4、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:根据定理 1,故因此得记作定理2.函数,则第10页/共19页例例1.计算计算解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=例2.计算解:原式=第11页/共19页例4.计算正弦曲线的面积.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.计算解:|第12页/共19页例例5.汽车以每小时汽车以每小时 36 km 的速度行驶的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?第13页/共19页例例6.求求解:原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例7.确定常数 a,b,c 的值,使解:原式=c 0,故又由,得第14页/共19页例例8.证明在内为单调递增函数.证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9.设求在,的表达式.解:时,时,总之第16页/共19页内容小结内容小结则有1.微积分基本公式3.变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 2.定积分中值定理的推广(a,b)或(b,a)所以(保号的保持在积分内)第17页/共19页作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P243 3;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);11,12第18页/共19页感谢您的观看。第19页/共19页