平面向量的基本概念及线性运算平面向量高考一轮数学.pptx

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1、平面向量的基本概念及线性运算平面向量平面向量的基本概念及线性运算平面向量高考一轮数学高考一轮数学返回目录 1.向量的有关概念 (1)向量向量:既有既有 ,又有又有 的的量叫做向量量叫做向量,向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的 (或或模模).(2)零向量零向量:的向量叫做零向量的向量叫做零向量,其方向其方向是是 的的.(3)单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a 且且长度等于长度等于 的向量的向量,叫做向量叫做向量a的单位向量的单位向量.大小 方向 长度 长度为0 任意 同方向 1 考点分析第1页/共30页返回目录 (4)平行向量平行向量:方向方向 或或 的的 向量向

2、量.平行向量又叫平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定规定:0与任一向量与任一向量 .(5)相等向量相等向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)相反向量相反向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.2.向量的加法和减法 (1)加法加法 法则法则:服从三角形法则、平行四边形法则服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质运算性质:相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相等 相反 第2页/共30页返回目录 a+b=(交换律交换律);(a+b)+c=(结合律结合律);a+0=.(2)减法减法减法与加法互为逆运算减法与加法互为逆运

3、算;法则法则:服从三角形法则服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下长度与方向规定如下:|a|=;b+a a+(b+c)0+a a|a|第3页/共30页 当 时,a与a的方向相同;当 时,a与a的方向相反;当=0时,a=.(2)运算律:设,R,则 (a)=;(+)a=;(a+b)=.4.平行向量基本定理 向量a与b(b0)平行的充要条件是 .返回目录 有且只有一个实 0 0 0 ()a a+a a+b 数,使得a=b 第4页/共30页返回目录 判断下列各命题是否正确判断下列各命题是否正确.（1）若）若|a|=|b|，则，则a=b;（2）若）若A，B，C，D是不共线的四点，则是

4、不共线的四点，则AB=DC是是 四边形四边形ABCD是平行四边形的充要条件；是平行四边形的充要条件；（3）若）若a=b,b=c，则，则a=c;（4）两向量）两向量a,b相等的充要条件是：相等的充要条件是：|a|=|b|且且a b；考点一 向量的有关概念 题型分析第5页/共30页返回目录 【分析分析】从向量的模、相等向量的概念入手，逐个判 断其真假.（5）|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件；（6）AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合.【解析解析】（1）不正确.两个向量的长度相等，但它们 的方向不一定相同.（2）正确.AB=DC,|AB|=|DC|且ABDC.又A，B，C，D是不共

5、线的四点，第6页/共30页 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形，反之，反之，若四边形，若四边形 AB CD是平行四边形，则是平行四边形，则AB DC，且，且AB与与DC方向相同，方向相同，因此，因此，AB=DC.（3）正确）正确.a=b,a,b的长度相等且方向相同；的长度相等且方向相同；又又b=c,b,c的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同.a,c的长度相等且方向相同，故的长度相等且方向相同，故a=c.（4）不正确）不正确.当当a b，但方向相反，即使，但方向相反，即使|a|=|b|，也不，也不能得到能得到a=b.（5）正确）正确.这是因为这是因为|a|=|b|/a=b，但，但a

6、=b|a|=|b|，所以，所以|a|=|b|是是a=b的必要不充分条件的必要不充分条件.返回目录 第7页/共30页返回目录 【评析评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有：|AB|=|CD|,即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合，B与D重合.第8页/共30页对应演练对应演练给出下列命题给出下列命题:向量向量AB的长度与向量的长度与向量BA的长度相等的长度相等;向量向量a与向量与向量b平行平行,则则a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反;两个有共同起点并且相等的向量两个有共同起点并且相等的向量,

7、其终点必相同其终点必相同;两个有共同终点的向量两个有共同终点的向量,一定是共线向量一定是共线向量;向量向量AB与向量与向量CD是共线向量是共线向量,则点则点A,B,C,D必在同必在同一条直线上一条直线上;有向线段就是向量有向线段就是向量,向量就是有向线段向量就是有向线段.其中假命题的其中假命题的个数为个数为()A.2 B.3 C.4 D.5返回目录 第9页/共30页C(中中,向量向量AB与与BA为相反向量为相反向量,它们的长度相等它们的长度相等,此此命题正确命题正确.中若中若a或或b为零向量为零向量,则满足则满足a与与b平行平行,但但a与与b的方向不一的方向不一定相同或相反定相同或相反,此命题

8、错误此命题错误.由相等向量的定义知由相等向量的定义知,若两向量为相等向量若两向量为相等向量,且起点相同且起点相同,则则其终点也必定相同其终点也必定相同,该命题正确该命题正确.由由共线向量知共线向量知,若两个向量仅有相同的终点若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线则不一定共线,该命题错误该命题错误.共共线向量是方向相同或相反的向量，线向量是方向相同或相反的向量，若若AB与与CD是共线向是共线向量量,则则A,B,C,D四点不一定在一条直线上四点不一定在一条直线上,该命题错误该命题错误.零向量不能看作是有向线段零向量不能看作是有向线段,该命题错误该命题错误.故应选故应选C.)返回目录 第10页/共3

9、0页返回目录 如图如图4-1-1,若若ABCD是一个等腰梯形是一个等腰梯形,AB DC,M,N分别分别是是DC,AB的中点的中点,已知已知AB=a,AD=b,DC=c,试用试用a,b,c表表示示BC,MN,DN+CN.【分析分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.考点二考点二 向量的线性表示向量的线性表示 第11页/共30页【解析解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c.MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN,2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN=-AD+CB=-b-(-a+b+c)=a-2b-c,MN=a-b-c.DN+CN=DM+MN

10、+CM+MN=2MN=a-2b-c.返回目录 第12页/共30页返回目录 【评析评析】(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量,能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.第13页/共30页返回目录 对应演练对应演练如图如图4-1-2，以向量，以向量OA=a,OB=b为边作为边作 OADB,BM=BC,CN=CD,用用a,b表示表示OM,ON,MN.第14页/共30页BA=OA-OB=a-b,BM=BA=a-b.OM=OB+BM=b+a-b

11、=a+b.又OD=a+b,ON=OC+CD=OD+OD=OD=a+b.MN=ON-OM=a+b-a-b=a-b.即有OM=a+b,ON=a+b,MN=a-b.返回目录 第15页/共30页返回目录 设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线.(1)若若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证求证:A,B,D三点共线三点共线;(2)试确定实数试确定实数k,使使ka+b和和a+kb共线共线.【分析分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=b(b0).考点三考点三 向量的共线问题向量的共线问题 第16页/共30页返回目录【解析解析】(1)证明:AB=a+b,BC

12、=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线,又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)ka+b与a+kb共线,存在实数,使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.第17页/共30页返回目录 【评析评析】(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数使两向量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思

13、想.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.第18页/共30页返回目录 对应演练对应演练设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线.(1)如果如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证求证:A,C,D三点共线三点共线;(2)如果如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且且A,C,D三点共线三点共线,求求k的值的值.第19页/共30页返回目录(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=-(-

14、8e1-2e2)=-CD,AC与与CD共线共线.又又AC与与CD有公共点有公共点C,A,C,D三点共线三点共线.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A,C,D三点共线三点共线,AC与与CD共线共线,从而存在实数从而存在实数使得使得AC=CD,即即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理由平面向量基本定理,得得 3=2 -2=-k,解得=,k=.第20页/共30页返回目录 如图如图4-1-3所示所示,在在ABO中中,OC=OA,OD=OB,AD与与BC相交于点相交于点M,设设OA=a,OB=b.试用试用a和和b表示向量表示向量OM.【分析分析

15、】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a,b之间的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可.考点四考点四 向量知识的综合应用向量知识的综合应用 第21页/共30页返回目录【解析解析】设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA=OB-OA=-a+b.又A,M,D三点共线,AM与AD共线.存在实数t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t(-a+)b.(m-1)a+nb=-ta+tb.m-1=-t n=,消去t得m-1=-2n.第22页/共30页即m+2n=1.又CM=OM-OC=ma+nb-

16、a=(m-)a+nb,CB=OB-OC=b-a=-a+b.又C,M,B三点共线,CM与CB共线.存在实数t1,使得CM=t1CB,(m-)a+nb=t1(-a+b),m-=-t1 n=t1,消去t1得4m+n=1.由得m=,n=,OM=a+b.返回目录 第23页/共30页 【评析评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以下几种方法:(1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论;(2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定系数法求出它们的系数,即可得出结论.返回目录 第24页/共30页由，可得AP 对应演练对应演练O是平面上一定点

17、是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点,动点动点P满足满足 0,+),则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A.外心外心 B.内心内心 C.重心重心 D.垂心垂心返回目录 B(如图，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得 B第25页/共30页式中式中 都是单都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作位向量，以这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1，这时这时AB1P1C1是菱形，对角线是菱形，对角线AP1平分平分B1AC1，且，且AB1=,AC1=.由由可知可知AP=AP1,返回目录 再由0,+)可知，P点的轨迹是射线AP,所以，P点的轨

18、迹一定通过ABC的内心.故应选B.)第26页/共30页返回目录 1.1.将向量用其他向量将向量用其他向量(特别是基向量特别是基向量)线性表示线性表示,是十分重要的技能是十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础也是向量坐标形式的基础.2.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点,最后的终点为终点的向量最后的终点为终点的向量;若这两点重合若这两点重合,则和为零向量则和为零向量.3.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.4.0 4.0与实数与实数0 0有区别有区别,0,0的模为数的模为数0,0,它不是没有方向它不是没有方向,而是方向不定而是方向不定.0.0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行.高考专家助教第27页/共30页 5.5.由由a a b,bb,b c c不能得到不能得到a a c.c.取不共线的向量取不共线的向量a a与与c,c,显然有显然有a a 0,c0,c 0.0.6.6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系.返回目录 第28页/共30页第29页/共30页