无穷小无穷大.pptx

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1、当一、一、无穷小无穷小1、概念、概念定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小.时为无穷小.第1页/共14页说明:1、除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然 C 只能是 0!CC时,函数(或 )则称函数为定义定义1.若若(或 )时的无穷小.第2页/共14页说明说明2 2、强调、强调 ,当当 发生改变，则可能不是无穷小。发生改变，则可能不是无穷小。例如：例如：3 3、记法特殊。、记法特殊。、(或 )第3页/共14页思考：思考：1 1、无穷小是不是一个很小的数？、无穷小是不是一个很小的数？函数（变量）函数（变量）2 2、零是不是无穷小

2、？特殊函数。、零是不是无穷小？特殊函数。是是3 3、极限是不是数？、极限是不是数？是常数是常数4 4、无穷小与极限的和是不是数？、无穷小与极限的和是不是数？函数函数 由之，引入二者关系由之，引入二者关系第4页/共14页其中 为时的无穷小量.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系 定理定理 1.证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.P30例函数与其极限的差为一个无穷小量。第5页/共14页3、无穷小的性质、无穷小的性质1.定理定理2：有限个无穷小的和也是无穷小有限个无穷小的和也是无穷小.时,有证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第6页/共1

3、4页类似可证类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小.两无穷小的差呢？两无穷小的差呢？和与差在代数中可互相转和与差在代数中可互相转化化 因此结论同样成立因此结论同样成立第7页/共14页 2.定理定理3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当取则当时,就有即是时的无穷小.推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.上页问题可解推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.P31例第8页/共14页二、二、无穷无穷大大1、概念、概念定义2.若任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X),记作总存

4、在将x换为正整数n，即为数列无穷大的定义。第9页/共14页思考思考:1.无穷大是不是一个很大的数？无穷大是不是一个很大的数？它它是变量，描述函数的一种状态是变量，描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但无穷大与无界量 是否一样？不是。P32反例例如,函数当但所以时,不是无穷大!第10页/共14页例例.证明证明证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:第11页/共14页三、无穷小与无穷大的关三、无穷小与无穷大的关系系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(P40)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.P34思考定理4.在自变量的同一变化过程中,说明:第12页/共14页内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2第13页/共14页谢谢您的观看！第14页/共14页