无穷小量极限运算法则.pptx

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1、 主 要 内 容一.无穷小量及其运算性质二.无穷大量三.极限的运算法则第1页/共42页一、无穷小量及其运算性质 简言之,在某极限过程中,以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.第2页/共42页例1在任何一个极限过程中,常值函数 y=0 均为无穷小量.第3页/共42页1.无穷小量的定义定义定义定义定义第4页/共42页2.函数的极限与无穷小量的关系 分析反之亦然.由以上的分析,你可得出 什么结论?第5页/共42页 由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则.定理定理定理定理第6页/共42页 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.同一个极限过程中的有限个无

2、穷小量之积仍为无穷小量.3.3.无穷小量的运算法则无穷小量的运算法则第7页/共42页 常数与无穷小量之积仍为无穷小量.在某极限过程中,以极限不为零的函数除无穷小量所得到商仍为一个无穷小量.在某一极限过程中,无穷小量与有界量之积仍是一个无穷小量.第8页/共42页证明：在某极限过程中,两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量.证证第9页/共42页 证明:在某一极限过程中,无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量.证证第10页/共42页例2证证证明有界量与无穷小量的乘积第11页/共42页例3解第12页/共42页二二.无穷大量无穷大量第13页/共42页定义定义定义定义1.无穷大量的定义第14页/共42页例4第

3、15页/共42页例5无穷大量是否一定是无界量?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量?当 x 时,函数 sinx、cosx,是否为无穷大量？因为sinx、cosx 是有界函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.(iii),(iv)自己画画图会更清楚.第16页/共42页在某一极限过程中定理定理定理定理2.无穷大量与无穷小量的关系第17页/共42页无穷大量一定是同一极限过程中的无界量.反之不真3.无穷大量的运算性质第18页/共42页在某极限过程中,两个无穷大量之积仍是一个无穷大量.在某极限过程中,无穷大量与有界量之和仍为无穷大量.第19页/共42页不是无穷大量不是无穷大量是无穷大量是无穷大

4、量例7两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?考察第20页/共42页例8有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？不着急,看个例题:第21页/共42页结论:在某个极限过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量.两个无穷大量的和不一定是无穷大量.无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.第22页/共42页 极限运算法则的理论依据 依据无穷小量的运算法则定理定理法则法则三.极限运算法则第23页/共42页 由此你能不能写出极限四则运算公式？由此你能不能写出极限四则运算公式？1.极限运算法则第24页/共42页 设在某极限过程中,函数 f(x)、g(x)的极限 lim f(x)、lim g(x)存在,

5、则第25页/共42页 2.复合函数的极限有什么问题没有？有什么问题没有？第26页/共42页定理定理定理定理注意这个条件,缺了它定理不一定成立.第27页/共42页解例1求 求有理分式函数求有理分式函数 x x x x0 0 的极限时的极限时,若分母不等于零若分母不等于零,则可直接代值计算则可直接代值计算.?第28页/共42页解例2 因式分解第29页/共42页解例3 初等展开第30页/共42页解例4 有理化第31页/共42页解例5*并由此证明其中,n,mN.求第二问怎么做？第32页/共42页令则当 x 0 时,y 0,故下面证明.变量代换第33页/共42页例6证明原式由即得所证.证证第34页/共4

6、2页解例7这是两个无穷大量相减的问题.我们首先进行通分运算,设法去掉不定因素,然后运用四则运算法则求其极限.(通分通分 )第35页/共42页解例8*有理化第36页/共42页解例9或者用下面的方法 利用无穷小量与无穷大量的关系利用无穷小量与无穷大量的关系 涉及到两个无穷大量的差第37页/共42页解例10所以,由复合函数求极限法则这类复合函数的极限通常可写成第38页/共42页解例11*这是求幂指函数极限常用的方法:第39页/共42页解例12问 b 取何值时,存在,并求其值.若 由函数的极限与其左、右极限的关系,得 b=2,第40页/共42页例13*解第41页/共42页谢谢您的观看！第42页/共42页