微积分一导数的基本公式与运算法则.pptx

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1、一、函数的和、差、积、商的求导法则 如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)特别地 cu(x)cu(x)公式的推广(u1u2 un)u1u2 un(u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un 第1页/共40页二、反函数的导数 设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f(x)并且其反函数xf 1(y)在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且 简要证明 这是因为 第2页/共40页三、基本初等函数的导数 1 常数的导数 (c)0 这是因为 第

2、3页/共40页 1(c)0 2 幂函数的导数 这是因为 第4页/共40页 1(c)0 3 指数函数的导数 (ax)axln a(ex)ex 这是因为 第5页/共40页4 对数函数的导数 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 第6页/共40页5 三角函数的导数(sin x)cos x 这是因为 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 第7页/共40页5 三角函数的导数 这是因为 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 第8页/共40页 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 6 反三角函数的导数 这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反

3、函数的求导公式得 5(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(sec x)sec xtan x(csc x)csc xcot x 第9页/共40页 5(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx 1(c)0 3(ax)axln a(ex)ex 基本导数公式基本导数公式 第10页/共40页课前复习1.导数的几何意义？切线方程？2.可导与连续的关系？可导可导连续连续反之不成立！反之不成立！第11页/共40页例1.计算下列函数的导数.0 0 1）4）5）

4、6）7）8）2）3）_)(2=e第12页/共40页解：解：解：解：例2.第13页/共40页解：解：解：解：=第14页/共40页解：解：解：解：第15页/共40页解：解：解：解：四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达式适当变形后再应用公式.注.第16页/共40页引例引例1 1引例引例2 2?第17页/共40页四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 简要证明 第18页/共40页推广 设 yf(u)u(v)v(x)则 复 合 函 数y(x)对x的导数是四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u)在

5、对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 第19页/共40页因此因此四、复合函数的导数 第20页/共40页 若yf(x)u(x)则 解 设yln u usin x 则 例11 求函数ylnsin x的导数 解 例12 求函数yarcsin(3x2)的导数 解 y(ax)例10 求函数yax的导数 axln a axln a(x)第21页/共40页 解 解 第22页/共40页练 习第23页/共40页五、隐函数的导数 显函数显函数隐函数隐函数第24页/共40页 解 例15 求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数 将方程两边同时对x求导 得 2yy2p 解出y即得隐函

6、数的求导法则第25页/共40页 解 将方程两边同时对x求导 得 例16 求由方程yxln y所确定的隐函数yf(x)的导数 解出y即得 解 将方程两边同时对x求导 得解出y 得 例17 求由方程e y xy所确定的隐函数y的导数 e yy yxy 第26页/共40页 解 例18 由方程x2xyy24确定y是x的函数 求其曲线上点(2,2)处的切线方程 将方程两边同时对x求导 得2xyxy2yy0 解出y即得所求切线的斜率为 ky|x2,y21 于是所求切线为 y(2)1(x2)即yx4 第27页/共40页求下列隐函数的导数：1 1）2 2）3 3）练 习第28页/共40页六、取对数求导法 将函

7、数yf(x)两边取对数 转化为隐函数求导 这种方法称之为“取对数求导法取对数求导法”解 例19 求函数yxx的导数 法一.yxxexln x xx(ln x1)exln x(ln x1)将yxx两边取对数 ln yxln x 两边对x求导数 得 于是得 yy(ln x1)xx(ln x1)法二.第29页/共40页 解 先在两边取对数 得 上式两边对x求导 得 例20.第30页/共40页思考：思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？1.幂指函数2.多个因子相乘除的函数练 习求下列函数的导数：第31页/共40页2.对数求导法(1)适用的函数类型？(2)方法？课前复习1.隐函数求导法 （1）方法

8、？（2）特别要注意的地方？练 习求下列函数的导数：第32页/共40页七、由参数方程所确定的函数的导数 设x(t)有连续反函数t1(x)又(t)与(t)存在 且(t)0 则：第33页/共40页解：解：例21.练 习第34页/共40页八、综合举例 例22 y3xx333xx 求y 解 3xln33x20exln x(xln x)3xln33x2xx(ln x1)y(3x)(x 3)(33)(xx)证 所以 y(a)y(a)例23.第35页/共40页 例24 已知f(u)可导 求f(ln x)f(xa)n及f(xa)nf(xa)nf(xa)nn(xa)n1(xa)n(xa)n1f(xa)n f(xa)n(xa)nf(xa)nnf(xa)n1f(xa)nf(xa)n1f(xa)(xa)nf(xa)n1f(xa)第36页/共40页例25.第37页/共40页 解 当x0时 当0 x1时 f(x)1f(x)2 在x0处f(x)不连续 故f(0)不存在 在x1处 有 故 f(1)2 当x1时 f(x)2x 例26.第38页/共40页 例27 设球半径R以2厘米/秒的速度等速增加 求当球半径R10厘米时 其体积V增加的速度 答 当R10厘米时 体积V的增加速度为800(厘米)3/秒 第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页