清华大学计算固体力学件 连续介质力学.pptx
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1、第第2 2讲讲 连续介质力学连续介质力学 1 1引言引言2 2变形和运动变形和运动3 3应变度量应变度量4 4应力度量应力度量5 5守恒方程守恒方程6Lagrangian守恒方程守恒方程7 7极分解和框架不变性极分解和框架不变性第1页/共90页1 引言 连续介质力学是非线性有限元分析的基石。连续介质力学是非线性有限元分析的基石。从描述从描述变形和运动变形和运动开始。在刚体的运动中开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色,许多更加困难和复杂学中扮演了中心的角色,许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。
2、的非线性连续介质力学问题都是源于转动。第2页/共90页1 1 引言引言 非非线线性性连连续续介介质质力力学学中中的的应应力力和和应应变变,有有多多种种方方式式定定义义。在在非非线线性性有有限元程序中应用最频繁的是:限元程序中应用最频繁的是:应变度量:应变度量:GreenGreen应变张量和变形率应变张量和变形率。应应力力度度量量:CauchyCauchy应应力力、名名义义应应力力和和第第二二PiolaPiolaKirchhoffKirchhoff应应力力,简简称为称为PK2PK2应力。应力。还还有有许许多多其其它它的的度度量量,过过多多的的应应力力和和应应变变度度量量是是理理解解非非线线性性连
3、连续续介介质质力力学学的的障障碍碍之之一一。一一旦旦理理解解了了这这一一领领域域,就就会会意意识识到到这这么么多多的的度度量量没没有有增增加基础的东西,也许只是学术过量的一种显示。加基础的东西,也许只是学术过量的一种显示。我我们们只只用用一一种种应应力力和和应应变变度度量量的的方方式式进进行行讲讲授授,也也涉涉及及到到其其它它的的方方式式,以便能够理解文献和软件。以便能够理解文献和软件。第3页/共90页1 1 引言引言 守守恒恒方方程程,通通常常也也称称为为平平衡衡方方程程,包包括括质质量量、动动量量和和能能量量守守恒恒方方程程。平平衡衡方方程程是是在在动动量量方方程程中中当当加加速速度度为为
4、零零时时的的特特殊殊情情况况。守守恒恒方方程程既既从从空空间域也从材料域中推导出来。间域也从材料域中推导出来。推推导导并并解解释释极极分分解解原原理理,检检验验CauchyCauchy应应力力张张量量的的客客观观率率,也也称称作作框框架架不不变变率率。解解释释了了率率型型本本构构方方程程要要求求客客观观率率的的原原因因,然然后后表表述述了了几几种种非非线性有限元中常用的客观率。线性有限元中常用的客观率。第4页/共90页2 变形和运动 它它们们的的属属性性和和响响应应可可以以用用空空间间变变量量的的平平滑滑函函数数来来表表征征,至至多多具具有有有有限限个个不不连连续续点点。它它忽忽略略了了非非均
5、均匀匀性性,诸诸如如分分子子、颗颗粒粒或或者者晶晶体体结结构构。晶晶体体结结构构的的特特性性有有时时也也通通过过本本构构方方程程出出现现在在连连续续介介质质模模型型中中,但但是是假假定定其其响响应应和和属属性性是是平平滑滑的的,只只具有有限个不连续点。具有有限个不连续点。连连续续介介质质力力学学的的目目的的就就是是提提供供有有关关流流体体、固固体体和和组组织织结结构的宏观行为的模型。构的宏观行为的模型。Kinematic description:应变是如何度量的?Kinetic description:应力是如何度量的?Mesh description:网格移动如何联系连续体的运动?第5页/共
6、90页2 2 变形和运动变形和运动 在初始域和当前域域之间的映射 初始构形 当前构形 材料点的位置矢量 ei 直角坐标系的单位基矢量,xi 位置矢量的分量。第6页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 运动描述运动描述空间坐标空间坐标 当当参参考考构构形形与与初初始始构构形形一一致致时时,在在 t t0 0 时时刻刻任任意意点点处处的的位置矢量位置矢量 x x 与其材料坐标一致与其材料坐标一致 一致映射一致映射 为为 常常 数数 值值 的的 线线 被被 蚀蚀 刻刻 在在 材材 料料 中中,恰恰 似似LagrangianLagrangian网网格格;它它们们随随着着物物体体变变形形,当当在在变变
7、形形构构形形中中观观察察时时,这这些些线线就就不不再再是是CartesianCartesian型型。这这种种观观察察方方式式下下的的材材料料坐坐标标被被称称为为流流动动坐坐标标。但但是是,当当我我们们在在参参考考构构形形中中观观察察材材料料坐坐标标时时,它它们们不不随随时时间间改改变变。建建立立的的方方程程,是是在在参参考考构构形形上上观观察察材材料料坐坐标标,因因此此以以固固定定的的CartesianCartesian坐坐标标系系推推导导方方程程。另另一一方方面面无无论论怎样观察,空间坐标系都不随时间变化。怎样观察,空间坐标系都不随时间变化。材料坐标材料坐标第7页/共90页2 2 变形和运动
8、变形和运动 运动描述运动描述 在在流流体体力力学学中中,根根据据参参考考构构形形来来描描述述运运动动通通常常是是不不可可能能的的,并并且且没没有有必必要要。在在固固体体力力学学中中,应应力力一一般般依依赖赖于于变变形形和和它它的的历历史史,所所以以必必须须指指定定一一个个未未变变形形构构形形,普普遍遍采采用用Lagrangian描描述述,独独立立变量是材料坐标变量是材料坐标X X 和时间和时间t t。位移速度加速度速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数速度是材料点的位置矢量的变化率材料时间导数 第8页/共90页2 变形和运动 运动描述独立变量是空间坐标独立变量是空间坐标x x 和时间和时间
9、t t,称为空间或,称为空间或EulerianEulerian描述描述 通过链规则得到材料时间导数通过链规则得到材料时间导数 空间时间导数 对流项、迁移项 矢量场的左梯度 第9页/共90页 空空间间变变量量 x x 和和时时间间 t t 的的任任何何函函数数的的材材料料时时间间导导数数可可以以通过链规则得到通过链规则得到和张量函数其材料时间导数给出为其材料时间导数给出为对于标量函数2 变形和运动 运动描述左梯度矩阵 第10页/共90页变形梯度是运动函数的Jacobian矩阵 2 变形和运动 第一个指标代表运动,第二个指标代表偏导数 材料坐标左梯度的转置 直角坐标系下二维的变形梯度给出为F F
10、的行列式用的行列式用J J 表示,称作表示,称作JacobianJacobian行列式或变形梯度行列式行列式或变形梯度行列式第11页/共90页2 变形和运动 变形梯度将当前构形和参考构形上的积分联系起来 二维域 Jacobian行列式的材料时间导数给出为左散度第12页/共90页2 变形和运动 运动条件运动条件除了在有限数量的零度量集合上,假设描述运动和物体变形的映射除了在有限数量的零度量集合上,假设描述运动和物体变形的映射满足以下条件:满足以下条件:连续可微,一对一(F可逆),J 0 这这些些条条件件保保证证函函数数足足够够平平滑滑以以至至于于满满足足协协调调性性,即即在在变变形形物物体体中中
11、不不存存在在缝缝隙隙和和重重叠叠。运运动动及及其其导导数数可可以以是是非非连连续续或或者者在在零零尺尺度度集集合合上上具具有有非非连连续续的的导导数数(如如裂裂纹纹),所所以以它它是是分分段段连连续续可可微微的的。增增加加不不包包括括零零尺尺度度集集合合的的附附加加条条件件以以解解释释裂裂纹纹形形成成的的可可能能性性。在在形形成成裂裂纹纹的的表表面面上上,上上述述条条件件不不满满足足。零零尺尺度度集集合合在在一一维维情情况况中中是是点点,在在二二维维中中是是线线,三三维维中中是是平平面面,因因为为一一个个点点具具有有零零长长度度,一一条条线线具具有零面积,一个表面具有零体积。有零面积,一个表面
12、具有零体积。第13页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 运动条件运动条件 变变形形梯梯度度通通常常在在材材料料的的界界面面上上是是非非连连续续的的。在在某某些些现现象象中中,例例如如扩扩展展裂裂纹纹,运运动动本本身身也也是是非非连连续续的的。要要求求在在运运动动及及其其导导数数中中非非连连续续的的数数量量是是有有限限的的。实实际际上上发发现现,有有些些非非线线性性解解答答可可能能拥拥有有无无限限数数量量的的非非连连续续。然然而而,这这些些解解答答非非常常罕罕见见,不不能能被被有有限限元元有有效地处理,所以将不关注这些解答。效地处理,所以将不关注这些解答。第第二二个个条条件件,即即运运动动为
13、为一一对对一一的的,要要求求对对于于在在参参考考构构形形上上的的每每一一点点,在在当当前前构构形形上上有有唯唯一一的的点点与与之之对对应应,反反之之亦亦然然。这这是是F F规规则则的的必必要要充充分分条条件件,即即F F是是可可逆逆的的。当当变变形形梯梯度度F F是是正正常常的的,则则 ,因因为为当当且且仅仅 当当时时F F的的逆逆才才存存在在。因因此此,第第二二个个条条件件和和第第三三个个条条件件是是有有联联系系的的。更更强强的的条条件件是是J J 必必须须为为正正而而不不仅仅是是非非零零,在在第第3.5.43.5.4节节可可以以看看到到这这遵遵循循了了质质量量守守恒恒。这这个个条条件件在在
14、零零尺尺度度集集合合上上也也可可以以违违背背。例例如如,在在一一个个裂裂纹纹的的表表面面上上,每每一一个个点点都都成成为为了了两两个点。个点。第14页/共90页运动条件运动条件 一个Lagrangian网格的刚体转动,显示在参考(初始、未变形)构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。转转动动是是正正交交变变换换的的一一个个例例子子,R R是是正正交交矩矩阵阵。一一个个矩矩形形单单元元的的LagrangianLagrangian网网格格的的刚刚体体转转动动,如如图图所所示示。可可以以看看出出,在在刚刚体体转转动动中中单单元元的的边边发发生生转转动动,但但是是边边与与边边之之间间的的夹夹角角保保
15、持持不不变变。单单元元的的边边是是X X 或或Y Y 坐坐标标为为常常数数的的直直线线,所所以以在在变变形形构构形形中中观观察察时,当物体转动时材料坐标也转动。时,当物体转动时材料坐标也转动。一一个个刚刚体体的的运运动动包包括括平平动动和和绕绕原原点点的的转转动动,刚刚体体转转动动和和坐坐标标转换的关系为转换的关系为 第15页/共90页2 2 变形和运动变形和运动 二维问题 角速度 空间坐标 角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量 二维问题 动力学教材中的刚体运动方程 第16页/共90页例3.13节点三角形有限元,设节点的运动为求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数,当J
16、acobian行列式保持常数时求出a和b的值。2 2 变形和运动变形和运动(1)第17页/共90页三角形3节点线性位移单元的构形 解:在初始构形中,t=0 面积坐标 2 变形和运动(2)第18页/共90页将未变形构形中的节点坐标代入上式 在初始构形中,t=0 得到三角形坐标与材料坐标之间的关系 即 得到运动的表达式 变形梯度为 2 变形和运动 将(1)和(3)代入(2)(3)第19页/共90页 在在单单元元中中的的位位移移是是材材料料坐坐标标的的线线性性函函数数,变变形形梯梯度度仅仅为为时时间间函数,若给定时间,函数,若给定时间,F F 为常数。为常数。JacobianJacobian行列式给
17、出为行列式给出为变形梯度为 当 J的行列式为常数,这种运动是没有变形的转动;当 一个剪切变形和一个转动,其中单元的面积保持常数。这种类型的变形称为等体积变形;不可压缩材料的变形就是等体积变形。2 变形和运动 J行列式也保持常数,这种情况对应于第20页/共90页例3.3 一一个个单单位位正正方方形形4 4节节点点单单元元,其其中中3 3个个节节点点固固定定。求导致求导致JacobianJacobian行列式等于零时节点行列式等于零时节点3 3位置的轨迹。位置的轨迹。除节点除节点3 3之外所有节点均固定,矩形单元的位移场由双线性场给之外所有节点均固定,矩形单元的位移场由双线性场给出出2 2 变形和
18、运动变形和运动 第21页/共90页沿着由节点沿着由节点1 1和和2 2以及节点以及节点1 1和和4 4所定义的边界上位移场为零,运动为所定义的边界上位移场为零,运动为 变形梯度 则Jacobian行列式为检验什么时候Jacobian行列式为零,只需考虑单元未变形构形中材料点的Jacobian行列式,即单位正方形 显然 且J是最小 当 对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定对应的点的轨迹由节点位移的线性函数给定 节点节点3 3越过未变形单元的对角线越过未变形单元的对角线 2 2 变形和运动变形和运动 第22页/共90页例3.4小变形情况下一个扩展裂纹周围的位移场给出为小变形情况下一个扩展裂纹周围
19、的位移场给出为 初始未开裂的构形和裂纹沿轴扩展的两个随后构形 2 2 变形和运动变形和运动 这这个个位位移移场场对对应应于于沿沿着着X X轴轴的的开开口口裂裂纹纹,且且裂裂尖尖速速度度为为c c。求求出出沿沿着着直直线线 上上的的位位移移间间断断。并并问问这这个个位位移移场场是是否满足运动连续性要求?否满足运动连续性要求?第23页/共90页解:2 2 变形和运动变形和运动 运动为运动为 ,。位移场的间断是在公式中关于位移场的间断是在公式中关于 和和 的差值:的差值:所以位移的跳跃或间断为所以位移的跳跃或间断为其它任何地方的位移场都是连续的。其它任何地方的位移场都是连续的。这这个个运运动动满满足
20、足第第1414页页所所给给出出函函数数连连续续性性准准则则,因因为为不不连连续续仅仅仅仅发发生生在在一一条条线线上上,在在二二维维中中这这是是一一个个零零尺尺度度的的集集合合。从从图图中中可可以以看看出出,在在这这个个运运动动中中裂裂纹纹尖尖端端后后面面的的线线被被分分成成两两条条线线。在在设设计计运运动动时时也也可可能能该该线线并并不不分分离离,只只是是在在切切线线位位移移场场上上发发生生间间断断。现现在在这这两两种种运运动动都都常常常常应应用用在在非非线性有限元分析中。线性有限元分析中。第24页/共90页3 3 应变度量应变度量1.1.GreenGreen应变应变E E2.2.变形率张量变
21、形率张量D D 许许多多应应变变和和应应变变率率度度量量出出现现在在连连续续介介质质力力学学的的文文献献中中;然然而而,在在有有限限元元方方法法中中应应用用最最普普遍遍的的是是上上面面两两种种度度量量。在在描描述述本本构构方方程程时,如果需要,有时使用其它度量更加有利。时,如果需要,有时使用其它度量更加有利。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动),应应变变度度量量必必须须为为零零。如如果果在在刚刚体体转转动动中中应应变变度度量量不不为为零零,预预示示着着有有非非零零应应变变,结结果果导导致致非非零应力。下面看一个例子零应力。下面看一个例子3.63.6。第25页/共90页一个单
22、元绕着原点转动了一个单元绕着原点转动了角。计算线性应变角。计算线性应变 例3.6取它们对材料坐标求导取它们对材料坐标求导 如果如果较大,伸长应变不为零。较大,伸长应变不为零。对对于于任任何何刚刚体体运运动动(含含刚刚体体转转动动),应应变变度度量量必必须须为为零零。这这就就是是为为什什么么在在非非线线性性理理论论中中放放弃弃一一般般的的线线性性应应变变位位移移方方程程的的关关键因素。键因素。3 3 应变度量应变度量第26页/共90页3 3 应变度量应变度量 下下面面将将看看到到在在刚刚体体转转动动中中E E和和D D为为零零。应应变变度度量量也也应应该该满满足足其其它它的的准准则则,比比如如,
23、当当变变形形增增大大时时它它也也相相应应的的增增大大,等等等等。然然而而,能能够够表表示示刚刚体体运运动动是是至至关关重重要要的的,并并且且指指明明什什么么时时候候使使用用几几何何非非线性理论。线性理论。到底多么大的转动需要进行非线性分析?到底多么大的转动需要进行非线性分析?说说明明在在转转动动中中线线性性应应变变的的误误差差是是二二阶阶的的,线线性性分分析析的的适适用用性性在于容许误差的量级,最终取决于感兴趣的误差大小。在于容许误差的量级,最终取决于感兴趣的误差大小。因此,线性应变张量不能用于大变形问题。因此,线性应变张量不能用于大变形问题。第27页/共90页 线线性性分分析析的的适适用用性
24、性则则在在于于能能够够容容许许误误差差的的量量级级,最最终终取取决决于于感感兴兴趣趣的的应应变变的的大大小小。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变量量级级是是1010-2-2,那那么么1 1的的误误差差是是能能够够接接受受的的(几几乎乎总总是是这这样样)。如如果果感感兴兴趣趣的的应应变变更更小小,可可接接受受的的转转动动更更小小,对对于于1010-4-4量量级级的的应应变变,为为满满足足1 1的误差,转动必须是的误差,转动必须是1010-3-3 弧度量级的。弧度量级的。这这些些指指导导数数据据假假设设平平衡衡解解答答是是稳稳定定的的,即即不不可可能能发发生生屈屈曲曲。然然而而,屈屈曲曲是是可可能能
25、的的,即即使使是是在在很很小小的的应应变变下下,所所以以当当可能发生屈曲时,应该使用能适合应付大变形的度量。可能发生屈曲时,应该使用能适合应付大变形的度量。3 3 应变度量应变度量第28页/共90页3 3 应变度量应变度量GreenGreen应变张量定义应变张量定义 材材料料矢矢量量dXdX长长度度平平方方的的变变化化。GreenGreen应应变变度度量量了了当当前前(变变形形)构构形形和和参参考考(未未变变形形)构构形形中中一一个个微微小小段段长长度度的的平平方方的的差差。利利用用变变形形梯度公式梯度公式,将公式左边重新写成为矩阵形式将公式左边重新写成为矩阵形式 整理上面公式为提出相同的项得
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