弯曲变形 概述梁弯曲变形的量—挠和转角挠曲线的近似微分方程积分法求梁变形叠加法求梁变形弯曲刚问题简单超静定梁.pptx

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1、5.1、概述概述在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。第1页/共47页5.1、概述概述摇臂钻床的摇臂变形过大，影响加工精度。第2页/共47页5.1、概述概述桥式起重机横梁变形过大，小车行走困难，出现爬坡现象。第3页/共47页5.1、概述概述另外，对某些构件，又要求有较大的变形，满足工作需要。例如车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓冲车辆受到的冲击和振动作用。第4页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角v挠度CCAB y x2、挠度：挠曲线上一点的纵坐标v，表示坐标为x的横截

2、面的形心沿y轴的位移，称为该点挠度。1、挠曲线：发生弯曲变形后的梁，轴线是一条xy平面内的曲线，称为挠曲线。挠度远小于梁的跨度，截面形心的水平位移略去。挠曲线方程v=f（x）第5页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角对于细长梁，平面假设仍然适用，忽略剪力的影响。ACCyB xv挠度 转角3、转角：横截面对其原来位置的角位移（转过的角度），称为转角。第6页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度和转角4、挠度与转角关系ACCyB xv挠度 转角转角近似等于挠曲线的斜率。第7页/共47页5.2、梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量挠度和转角挠度

3、和转角5、挠度与转角符号规定ACCyB xv挠度 转角挠度向上为正，向下为负。转角，自x轴逆时针转向切线方向为正，反之为负。第8页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程1、公式推导纯弯曲时，曲率与弯矩的关系横力弯曲时，M 和 都是x的函数（略去剪力的影响）第9页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程根据高数中曲率表达式小变形情况下，与 1 相比十分微小，忽略不计第10页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程曲线向上凸，oxvxov与的正负号相同曲线向下凸，第11页/共47页5.3、挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似

4、微分方程第12页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形梁挠曲线的近似微分方程积分等截面梁，EI为常量，可提出来。系数C、D如何确定？第13页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形积分常数的确定：边界条件与连续条件。简支梁的两铰支端挠度和都等于0悬臂梁的固定端挠度和转角都等于0ABAB挠曲线上任意一点有唯一的挠度与转角。第14页/共47页例5-1、抗弯刚度为 EI 的悬臂梁，自由端受集中力 F 作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。ABxFv5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第15页/共47页(1)弯矩方程为解：(2)挠曲线的近似微分方程为xvABxF对

5、挠曲线近似微分方程进行积分5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第16页/共47页梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件代入5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第17页/共47页BxvAF（）都发生在自由端截面处。和（）5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第18页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形例5-2、抗弯刚度为 EI 的简支梁，D处受集中力 F 作用。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。ABFDabl解：FAFBxx第19页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：第20页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁

6、变形梁的挠曲线微分方程，挠度与转角方程如下：第21页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形ABFDablFAFBD点的连续条件边界条件在 x=a 处在 x=0 处，在 x=l 处，代入第22页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形第23页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形将 x=0 和 x=l 分别代入转角方程当 a b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大第24页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁,令得当 a b时,x1 a 最大挠度确实在第一段梁中第25页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形梁中点 C 处的

7、挠度为结论：在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度是能满足工程要求的。第26页/共47页5.4、积分法求梁变形积分法求梁变形ABql l例5-3、抗弯刚度为 EI 的简支梁，受均匀分布载荷作用，载荷集度为 q。试求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。FAFB解：x第27页/共47页5.5、积分法求梁变形积分法求梁变形边界条件ABql l第28页/共47页5.5、积分法求梁变形积分法求梁变形x=0 和 x=l 截面有最大转角（绝对值最大，且相等）A BvmaxABqlx=l/2截面处，有最大挠度（绝对值最大）第2

8、9页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形在小变形及线弹性范围内，梁在几项荷载同时作用下的挠度和转角，等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当挠度为同一方向（如沿y 轴方向），转角在同一平面内（如xy 平面），则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一、叠加原理第30页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例5-4、按叠加原理求 A点转角和C点挠度。qFACaaB=FAB+ABq第31页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形FABABq第32页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例5-5、按叠加原理求梁中点C处挠度和支座A，B转角。ABCqmlBAmlAq

9、Bl+第33页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形CCBAmlAqBl+第34页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形例5-6、按叠加原理求C处挠度和转角。第35页/共47页5.6、叠加法求梁变形叠加法求梁变形第36页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题弯曲刚度条件应用：校核刚度，设计截面尺寸，确定外载。第37页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题例例57、工字钢简支梁，跨中受集中载荷、工字钢简支梁，跨中受集中载荷F=25 kN作用。作用。跨长跨长l=4 m，许可挠度为，许可挠度为l/400，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=206 GPa，许用应力，许用应力16

10、0MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。解解(1)按强度条件选择截面按强度条件选择截面 由附录由附录C可查得，可查得，No.18工字钢的几何特性为工字钢的几何特性为 最大弯矩发生在跨中截面最大弯矩发生在跨中截面 第38页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题梁的最大挠度在跨中截面梁的最大挠度在跨中截面 刚度符合要求。刚度符合要求。(2)按刚度条件校核按刚度条件校核 故可选用故可选用No.18a工字钢。工字钢。第39页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想提高弯曲刚度

11、,就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置第40页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题(1)增大梁的抗弯刚度EI工程中常采用工字形,箱形截面为了减小梁的位移,可采取下列措施(2)调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。第41页/共47页5.7、弯曲刚度问题弯曲刚度问题桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。ABql同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的AB跨产生向上的挠度,从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分,而有所减小。qqABl

12、增加梁的支座也可以减小梁的挠度。第42页/共47页5.8、简单超静定梁简单超静定梁一、静定梁一、静定梁 二、超静定梁二、超静定梁未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目。未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目。未知约束力的数目多于独立静力平衡方程的数目，未知约束力的数目多于独立静力平衡方程的数目，仅靠平衡方程不能确定全部未知力仅靠平衡方程不能确定全部未知力。三、变形比较法三、变形比较法 1)构造原超静定梁的构造原超静定梁的“相当系统相当系统”。假想地将多余约。假想地将多余约束去掉，代之以相应的约束力。束去掉，代之以相应的约束力。2)相当系统与原结构变形谐调的条件，建立与多余约相当系统与原

13、结构变形谐调的条件，建立与多余约束力数目相等的补充方程，进而解出全部未知力。束力数目相等的补充方程，进而解出全部未知力。第43页/共47页变形比较方法求解图示超静定梁。变形比较方法求解图示超静定梁。解解(1)视支座视支座B为多余约束为多余约束 建立相当系统建立相当系统(2)建立补充方程建立补充方程 查得查得 解得解得 5.8、简单超静定梁简单超静定梁第44页/共47页5.8、简单超静定梁简单超静定梁(4)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(3)求出其他的约束力求出其他的约束力 第45页/共47页解法二解法二(1)视支座视支座A的约束力偶为多余约束的约束力偶为多余约束 建立相当系统建立相当系统(2)建立补充方程建立补充方程 查得查得 解得解得 5.8、简单超静定梁简单超静定梁第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页