方向导数与梯度70253.pptx

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1、实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一、问题的提出第1页/共40页 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题二、方向导数的定义（如图）第2页/共40页当 沿着 趋于 时，是否存在？第3页/共40页记为第4页/共40页证明证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到第5页/共40页故有方向导数第6页/共40页解解第7页/共4

2、0页解解由方向导数的计算公式知第8页/共40页故第9页/共40页推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义第10页/共40页第11页/共40页解解令故方向余弦为第12页/共40页故第13页/共40页三、梯度的概念第14页/共40页第15页/共40页结论结论第16页/共40页在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等值线上的法向量第17页/共40页等值线的画法播放播放第18页/共40页例如,第19页/共40页梯度与等值线的关系：梯度与等值线的关系：第20页/共40页 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数第21页/共40页第22页/共40页解解 由梯度计算公式得故第23页/共40页1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结第24页/共40页思考题思考题第25页/共40页思考题解答思考题解答第26页/共40页第27页/共40页练练 习习 题题第28页/共40页第29页/共40页练习题答案练习题答案第30页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页