数列极限的定义B.pptx

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1、第二节 数列极限的定义一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、总结第1页/共58页一、概念的引入一尺之椎，日取其半，永世不竭.第2页/共58页1 1、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第3页/共58页“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽第4页/共58页正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积第5页/共58页二、数列的定义数列定义 按照某一法则,对每个自然数 n,都有确定的实数xn与之对应，这列有序的数：x1,x2,.,xn,.称为数列(sequence),数列中的每个数叫做数列的项，第 n 项

2、xn 叫做数列的一般项或通项,数列简记为第6页/共58页例如第7页/共58页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列实质上是定义在正整数集上的函数：xn=f(n)，n Z+第8页/共58页三、数列的极限播放播放第9页/共58页问题:当 n 无限增大时,xn 的变化趋势如何？把n无限增大这个重要的变化过程记为 n。第10页/共58页第11页/共58页问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.第12页/共58页定定义义 若存在常数 a，使对任意的 0，总存在自然数 N 0，当 n N 时，恒有|xn a|0，N存在.证明的过程就是寻找 N

3、 的过程，证明的方法是从分析|xn a|(),于是可取 ()为 N.由于N 不唯一，不要求最小的N，故可把|xn a|适当放大，得到一个新的不等式，再寻找 N.从|xn a|找 N 与解不等式|xn a|意义不同.第21页/共58页说明：1.是用来刻划 xn 与常数 A 的接近程度.具有任意性和稳定性的双重意义，的任意性刻划了xn 与 A 无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就确定了，这样用有限形式|xn A|来表示 xn 无限接近于 A 的过程。第22页/共58页2.N 用来刻划 n 的增大程度，要|xn A|N 表明了比 N 大的各项：xN+1，xN+2,.都满足|xn A|0，

4、这样的 N 是否存在。3.一般地，N 与 有关，取得越小，相应地 N 就越大。如果 N 存在，这样的 N 就不唯一。第23页/共58页四、数列极限的性质定理1 若极限 存在，则极限是惟一的.1.极限的惟一性第24页/共58页证证不妨设 a b,由定义,对故收敛数列极限唯一.第25页/共58页1)数列的有界性2.收敛数列的有界性对数列 ,若存在正数 M,使得对一切自然数 n,恒有 成立,则称数列 有界,否则,称为无界.例如,有界无界数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间 上.第26页/共58页2 2）定理2 2 收敛的数列必定有界.证证由定义,第27页/共58页定理2 2 收敛的数列必定有界.推

5、论 无界数列必定发散.注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.例如：第28页/共58页定理33.极限的保号性第29页/共58页4.4.子数列的归并性(子数列的收敛性)在数列 中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中的先后顺序,这样得到的数列记为 ,称为数列 的子数列.定理4 4 如果数列收敛，则它的任一个子数列也收敛，且极限相同.第30页/共58页四.小结数列数列:研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;性质.第31页/共58页思考题思考题证明要使只要使从而由得取当 时，必有 成立第32页/共58页思考题解答思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值第33页/共58页从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为第34页/共58页练练 习习 题题第35页/共58页谢谢您的观看！第58页/共58页