微分方程模型.pptx

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1、通常，当体内能量守恒被破坏时，就会引起体通常，当体内能量守恒被破坏时，就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于新陈代谢和运动肪等，导致体重增加；又由于新陈代谢和运动消耗热量，引起体重减少。消耗热量，引起体重减少。减肥计划应以不伤害身体为前提。因此吸收热减肥计划应以不伤害身体为前提。因此吸收热量不可过少，减少体重不可过快。当然，增加量不可过少，减少体重不可过快。当然，增加体育运动量，是加速减肥的有效手段。制定减体育运动量，是加速减肥的有效手段。制定减肥计划以周为单位。肥计划以周为单位。1.1.设某人每天从食物中摄取的热量

2、为设某人每天从食物中摄取的热量为aJ,aJ,其中其中bJbJ用于新陈代谢，而从事工作、生活每天每用于新陈代谢，而从事工作、生活每天每kgkg体重必须消耗体重必须消耗J J的热量，进行体育锻炼每天的热量，进行体育锻炼每天每每kgkg体重消耗体重消耗J J的热量（的热量（与运动的形式与运动的形式有关）；有关）；模型假设模型假设第1页/共44页 2 2、某人以脂肪的形式储存的热量是百分百有效，、某人以脂肪的形式储存的热量是百分百有效，而而1kg1kg脂肪含热量脂肪含热量42000J42000J；3 3、设体重、设体重w=w(t)w=w(t)是时间的连续可微函数。是时间的连续可微函数。由于某人每天体重

3、的变化等于输入热量所产生由于某人每天体重的变化等于输入热量所产生的体重减去输出热量所消耗的体重，即：的体重减去输出热量所消耗的体重，即：由此得体重变化模型为：由此得体重变化模型为：模型建立模型建立第2页/共44页运用分离变量法，有：运用分离变量法，有：模型求解模型求解第3页/共44页 第4页/共44页 1.1.体重增加正比于吸收的热量体重增加正比于吸收的热量,平均每平均每8000kcal8000kcal增加体重增加体重1kg,(kcl1kg,(kcl为非国际单位为非国际单位,1kcal=4.2kJ).,1kcal=4.2kJ).2.2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周正常代谢引起的体重减

4、少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在每公斤体重消耗热量一般在200kcal200kcal320kcal320kcal之间，且因人而异。这相当于体重之间，且因人而异。这相当于体重70kg70kg的人每的人每天消耗天消耗2000kcal2000kcal3200kcal3200kcal。3 3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。形式有关。4.4.为了安全与健康为了安全与健康,每周体重减少不宜超过每周体重减少不宜超过1.5kg,1.5kg,每周吸收的热量不要小每周吸收的热量不要小10000kcal.10000kcal.模型假设模型假设减肥模型的

5、离散讨论减肥模型的离散讨论第5页/共44页 第第k k周体重记为周体重记为w(k)w(k)，吸收的热量记为，吸收的热量记为c(k)c(k)，热量转化系数，热量转化系数=1/8000(kg/kcal)=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数为代谢消耗系数为（因人而异），在不考虑运动的情况下体重变化的模型为：（因人而异），在不考虑运动的情况下体重变化的模型为：模型建立模型建立增加运动，只须将增加运动，只须将改为改为+1 1,1 1由运动形式决由运动形式决定。定。第6页/共44页 设某人身高设某人身高1.7m1.7m，体重为，体重为100kg100kg，则，则BMI=100/1.7=34.6B

6、MI=100/1.7=34.6，自述目前每周吸收，自述目前每周吸收20000kcal20000kcal热量，体重长期不变。试为他制定减热量，体重长期不变。试为他制定减肥计划，使他的体重减至肥计划，使他的体重减至75kg,75kg,并维持下去。并维持下去。减肥计划可分两步进行：减肥计划可分两步进行：第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1 kg1 kg，每周吸收的热量逐渐，每周吸收的热量逐渐减少，直至达到安全的下限（减少，直至达到安全的下限（10000kcal10000kcal）。）。第二阶段第二阶段,每周吸收的热量保持下限每周吸收的热量保持下限,减肥达到目减肥达到目标标.若要加快进程，第二阶段可

7、增加运动。若要加快进程，第二阶段可增加运动。减肥计划的制定：减肥计划的制定：确定代谢消耗系数，由假设，每周吸收确定代谢消耗系数，由假设，每周吸收20000kcal20000kcal热量，体重热量，体重w=100kgw=100kg不变，得：不变，得：模型应用模型应用第7页/共44页（相当于每周每公斤体重消耗热量相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal200kcal）第一阶段，体重每周减少第一阶段，体重每周减少b=1kgb=1kg，吸收热量减至下，吸收热量减至下限限C Cminmin=10000kcal=10000kcal，则有：，则有：第8页/共44页 解之得；解之得；k10.k10.即第一阶

8、段共即第一阶段共1010周，按照周，按照c(k+1)=12000-200kc(k+1)=12000-200k吸吸收热量，可使体重每周减少收热量，可使体重每周减少1kg1kg，至第，至第1010周减少至周减少至90kg90kg。第二阶段，每周吸收热量保持下限第二阶段，每周吸收热量保持下限C Cminmin10000 10000(kcal),(kcal),由基本模型可得：由基本模型可得：第9页/共44页 解之得：解之得：n=19.n=19.即每周吸收热量保持下限即每周吸收热量保持下限10000kcal,10000kcal,再有再有1919周体重可减至周体重可减至75kg75kg。为了加快进程，第二

9、阶段可增加运动，经调查资为了加快进程，第二阶段可增加运动，经调查资料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量为下表：量为下表：记表中热量消耗为记表中热量消耗为，每周运动时间为，每周运动时间为t t，则只须，则只须运动运动跑步跑步跳舞跳舞乒乓乒乓自行车（中速）自行车（中速）游泳游泳热量消耗热量消耗7 73 34.44.42.52.57.97.9第10页/共44页 如每天坚持跑步如每天坚持跑步1 1小时，小时，解之得：解之得：n=11.32388n=11.32388。即经。即经11.3238811.32388周可使体重下降至周可使体重下降至7575公斤。

10、公斤。（ln(0.968875)=-0.03162,ln(0.699033)=-0.35806ln(0.968875)=-0.03162,ln(0.699033)=-0.35806）.第11页/共44页一、马尔萨斯（一、马尔萨斯（MalthusMalthus）人口模型）人口模型人口按几何级数增长的著名论断是马尔萨斯人口理人口按几何级数增长的著名论断是马尔萨斯人口理论的核心内容。他在研究英国人口统计资料时发现：论的核心内容。他在研究英国人口统计资料时发现：人口增长速度与已有人口数量成正比。为此，若设人口增长速度与已有人口数量成正比。为此，若设N(t)N(t)表示第表示第t t年的人口数，年的人口

11、数，k k为比例常数，并设为比例常数，并设N(0)=NN(0)=N0 0，则得马尔萨斯人口模型：，则得马尔萨斯人口模型：3.43.4现实生活中的一些微分方程模型现实生活中的一些微分方程模型例例1 1 人口模型人口模型上述模型也称为指数增长模型，当上述模型也称为指数增长模型，当k0k0时，人口时，人口将以指数规律无限增长将以指数规律无限增长.第12页/共44页马尔萨斯模型与马尔萨斯模型与1919世纪以前欧洲人口拟合得较好世纪以前欧洲人口拟合得较好,因为因为1919世纪以前人均占有资源丰富，人口数量世纪以前人均占有资源丰富，人口数量较小较小.但随着社会的发展，但随着社会的发展，MalthusMal

12、thus模型就不在准模型就不在准确确.我国早些年人口也是按指数增长模型（几何级数）我国早些年人口也是按指数增长模型（几何级数）计算的，如中学数学教材中的某些例子计算的，如中学数学教材中的某些例子.比如，在比如，在1700170019611961年间欧洲人口数按年间欧洲人口数按k=0.02k=0.02增长，若按这个增产率，现有人口按增长，若按这个增产率，现有人口按5105109 9计算，计算，再过再过100100年，人口数将为：年，人口数将为：即人口数将近即人口数将近370370亿，这是不可能的亿，这是不可能的.第13页/共44页 二、威赫尔斯特二、威赫尔斯特(Verhulst)(Verhuls

13、t)的人口模型的人口模型地球上有限的资源和环境条件使人口总数受到地球上有限的资源和环境条件使人口总数受到限制。荷兰人口学家威赫尔斯特提出了一个新限制。荷兰人口学家威赫尔斯特提出了一个新的假设：设的假设：设NmNm表示自然资源和环境条件所能允表示自然资源和环境条件所能允许的最大人口数，人口增长速度与现有人口数许的最大人口数，人口增长速度与现有人口数 N N（t t）成正比，然而增长的比例因子（增长率）成正比，然而增长的比例因子（增长率）随着随着N(t)N(t)的增加而减小。由此，我们得到威赫的增加而减小。由此，我们得到威赫尔斯特（也叫尔斯特（也叫LogisticLogistic（逻辑斯蒂）增长模

14、型，（逻辑斯蒂）增长模型，即阻滞增长模型）的人口模型：即阻滞增长模型）的人口模型：第14页/共44页 模型分析模型分析应应用用某些生物学家估计，某些生物学家估计，r r的自然值为的自然值为0.0290.029，又当，又当人口总数人口总数3.06103.06109 9（19611961年的世界人口总数）年的世界人口总数）时，人口每年以时，人口每年以2%2%的速度增长，则由：的速度增长，则由：即世界人口总数的极限值为近即世界人口总数的极限值为近100100亿亿.第15页/共44页 威赫尔斯特模型对美国威赫尔斯特模型对美国1790179019301930年间的美年间的美国人口拟合得较好，但对国人口拟

15、合得较好，但对19301930年以后的人口年以后的人口估计不准，其原因在于对估计不准，其原因在于对NmNm这个极限人口数这个极限人口数估计不准。但威赫尔斯特（估计不准。但威赫尔斯特（Logistic Logistic）模）模型在生态系统中有着广泛的应用。型在生态系统中有着广泛的应用。第16页/共44页 当某个自然环境中只有一种生物群体（生态当某个自然环境中只有一种生物群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用学上称为种群）生存时，人们常用LogisticLogistic（逻辑斯蒂）增长模型（阻滞增长（逻辑斯蒂）增长模型（阻滞增长模型）模型）:来描述这个种群数量的演变过程。其中来描述这个种群数量的

16、演变过程。其中x(t)(t)是种群在时刻是种群在时刻t t 的数量，的数量，r r是固有增长率，是固有增长率，N N是环境资源允许的种群最大数量。是环境资源允许的种群最大数量。易得模型的平衡点为易得模型的平衡点为x=N=N，例例2 种群的相互竞争种群的相互竞争第17页/共44页 当一个自然环境中有两个或两个以上一个自然环境中有两个或两个以上种群生存时，它们之间的关系：相互竞种群生存时，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。争；相互依存；弱肉强食。当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力竞争时，常见的

17、结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。分析产生这种结局的条件。第18页/共44页 模型建立模型建立设有甲、乙两个种群，记设有甲、乙两个种群，记x1 1(t),(t),x2 2(t)(t)分别是甲、分别是甲、乙两个种群的数量，乙两个种群的数量，r r1 1,r,r2 2分别是它们的固有增长分别是它们的固有增长率，率，N N1 1,N,N2 2是它们的最大容量，当是它们的最大容量，当它们独自生存时它们独自生存时数量变化均服从数量变化均服从Logis

18、ticLogistic规律规律,如如种群甲的增长方种群甲的增长方程程：第19页/共44页 当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子（响，可以合理地在因子（1-1-x1 1/N/N1 1)中再减去一中再减去一项，该项与乙的数量项，该项与乙的数量x2 2(相对于相对于N N2 2）成正比）成正比,于于是得到种群甲的增长方程：是得到种群甲的增长方程：这里这里1 1的意义是：的意义是：对于消耗甲的资源而言，乙对于消耗甲的资源而言，乙(相对于相对于N N2 2)是甲

19、是甲(相对于相对于N N1 1)的的 1 1 倍。倍。类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的增长方程为：的增长方程为：第20页/共44页对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的竞争力强反之，甲的竞争能力强反之，甲的竞争能力强.由此，得：两个种群的相互竞争模型为：由此，得：两个种群的相互竞争模型为：第21页/共44页平衡点平衡点P P0 0(x1 10 0,x2 20 0)是代数方程是代数方程的根的根若从若从P P0 0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P P0 0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点

20、稳定平衡点仅当仅当 1,2 1时时，P3才有意义才有意义.第22页/共44页平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 P Pi i 稳定条件稳定条件：p 0 且 q 0第23页/共44页种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平 衡点 21,11,P1,P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11,21 11 21稳定条件第24页/共44页结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N N2 2)是甲是甲(相相对于对于N N1 1)的的 1 1 倍。倍。对甲

21、增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱P P1 1稳定的条件稳定的条件：11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P P2 2稳定的条件稳定的条件：11,21 P3稳定的条件稳定的条件：11,21第25页/共44页 种群的相互依存种群的相互依存甲乙两甲乙两种群的相互依存有三种形式种群的相互依存有三种形式1)1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。生存时相互提供食物、促进增长。2)2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存甲乙均可以独自生存；甲乙一起生

22、存 时相互提时相互提供食物、促进增长供食物、促进增长。3)3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。供食物、促进增长。第26页/共44页模模型型假假设设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从LogisticLogistic规律规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用阻滞作用 (服从服从LogisticLogist

23、ic规律规律)。模型模型乙为甲提供食物乙为甲提供食物是甲消耗的是甲消耗的 1 1 倍倍甲为乙提供食物甲为乙提供食物是乙消耗的是乙消耗的 2 2 倍倍第27页/共44页种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点第28页/共44页种群的弱肉强食种群的弱肉强食(食饵食饵-捕食者模型捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益

24、虫。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)(Volterra)设食饵（甲）数量设食饵（甲）数量 x(t),捕食者（乙）数量捕食者（乙）数量 y(t)第29页/共44页乙使甲的增长率减小，减小量与乙使甲的增长率减小，减小量与 y y成正比成正比甲使乙的死亡率减小，减小量与甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比成正比由方程由方程(1),(2)(1),(2)所构成的模型就是弱肉强食模型所构成的模型就是弱肉强食模型.a 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力第30页/共44页两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱弱

25、肉肉强强食食第31页/共44页 假设某地区的总人口数为假设某地区的总人口数为N N，在短期不变，在短期不变，x(t)(t)表示知道消息的人数所占的百分比，初始表示知道消息的人数所占的百分比，初始时刻的百分比为时刻的百分比为x0 010,cd-ab0,及及cdabcdab时，平衡点是稳定的，否则不稳定。时，平衡点是稳定的，否则不稳定。当双方经济实力的制约程度大于对方军备刺激当双方经济实力的制约程度大于对方军备刺激的程度时，时间足够长以后，双方的军备将分的程度时，时间足够长以后，双方的军备将分别趋于一个有限值，即军备竞赛趋于稳定；反别趋于一个有限值，即军备竞赛趋于稳定；反之，军备竞赛无限地进行下去

26、，可能导致战争。之，军备竞赛无限地进行下去，可能导致战争。模型解释模型解释第36页/共44页3.6 传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型第37页/共44页 模型模型1 1（最简单的模型）（最简单的模型）设时刻设时刻t t已感染人数已感染人数 (病人病人)i(t t)是连续的可微函是连续的可微函数，并且每天每个病人有效接触的人数为

27、常数数，并且每天每个病人有效接触的人数为常数，考察，考察t t到到t+tt+t时间内病人人数的增加，有时间内病人人数的增加，有i(t+t)-(t+t)-i(t)=(t)=i(t)t,(t)t,再设再设t=0t=0时有时有i0 0个病人，个病人，即得微分方程模型：即得微分方程模型：这不符合实际这不符合实际必须区分已感染者必须区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)第38页/共44页 模型模型2(SI2(SI模型模型)区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)1 1）总人数）总人数N N不变，病人和健康人的比例分别为不变，病人和健康人的比例分别为i

28、(t),(t),s(t);(t);2 2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数为,且且使接触的使接触的健康人致病健康人致病.日接触率日接触率模模型型假假设设建立模型建立模型第39页/共44页 病人可以治愈！病人可以治愈！传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染康人可再次被感染模型模型3 3（SISSIS模型）模型）第40页/共44页 增加假设增加假设3 3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为，日日治愈率治愈率建建立立模模型型 日接触率日接触率1/感染期感染期这比较符合实际这比较符合实际.第41页/共44页模型模型4 4（SIRSIR模型模型）传染病有免疫性传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系病人治愈后即移出感染系统，称统，称移出者移出者.如如天花、甲肝、麻疹等治愈后均天花、甲肝、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者，有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者，也非病人，他们已退出传染系统。也非病人，他们已退出传染系统。模模型型假假设设1）总人数总人数N N不变，病人、健康人和移不变，病人、健康人和移出者的比例分别为出者的比例分别为2）病人的日接触率病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接接触数触数 =/第42页/共44页 建立模型第43页/共44页谢谢您的观看！第44页/共44页