微积分平面曲线的弧长.pptx

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1、1设设A、B是曲线是曲线在弧上插入分点依次用弦将记每条弦的长度为折线长度的极限如果当分点无限增加如果当分点无限增加,弧长(长度).弧上的两个端点,光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.则称则称此极限此极限为曲线弧为曲线弧 AB的的相邻两点联结起来,得到一条内接折线.一、平面曲线弧长的概念第1页/共14页2弧长元素弧长元素弧长弧长小切线段的长为小切线段的长为:弧段的长弧段的长,设曲线弧为设曲线弧为y=f(x)其中其中f(x)在在a,b上有上有一阶连续导数一阶连续导数.取积分变量为取积分变量为x,任取小区间任取小区间在在a,b上上二、直角坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.(弧微

2、分弧微分)以对应小以对应小切线段的长代替小切线段的长代替小第2页/共14页3解解所求弧长为所求弧长为例例 悬链线方程悬链线方程计算介于计算介于 之间一段弧长度之间一段弧长度.第3页/共14页4解解例例 计算曲线计算曲线的弧长的弧长第4页/共14页5曲线弧为曲线弧为弧长弧长其中其中在在a,b上上具有连续导数具有连续导数.三、参数方程情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.取参数取参数t为积分变量为积分变量,其变化区间为其变化区间为对应于对应于上任一小区间上任一小区间的小弧段的的小弧段的长度的近似值长度的近似值,即即弧长元素弧长元素为为第5页/共14页6解解 星形线的参数方程为星形线的参

3、数方程为对称性对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例 求星形线求星形线的全长的全长.第6页/共14页7证证 设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于s1设椭圆的周长为设椭圆的周长为s2证明正弦线证明正弦线例例的弧长的弧长等于椭圆等于椭圆的周长的周长.对称性对称性第7页/共14页8曲线弧为曲线弧为弧长弧长具有连续导数具有连续导数.四、极坐标情形现在计算这现在计算这曲线弧的长度曲线弧的长度.由直角坐标与极坐标的关系：由直角坐标与极坐标的关系：弧长元素弧长元素为为 为参数的为参数的参数方程参数方程第8页/共14页9解解求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线例例的长的长.第9页/共14页10解解求阿基米德螺线求阿基米德螺线例例第10页/共14页11平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下求弧长的公式四、小结第11页/共14页12思考题解答仅仅有曲线连续还不够仅仅有曲线连续还不够,不一定.必须保证曲线光滑才可求长.闭区间a,b上的连续曲线 y=f(x)是否一定可求长?第12页/共14页13作业习题7.4(265页)第13页/共14页14感谢您的观看！第14页/共14页