线性方程组解结构.pptx

《线性方程组解结构.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性方程组解结构.pptx（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、-1-在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。第1页/共35页-2-4.1 线性方程组解的存在性定理1、非齐次方程组解的存在性定理2、齐次方程组解的存在性定理第2页/共35页-3-(4-1)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)(原始形式原始形式)第3页/共35页-4-一、非齐次方程组解的存在性定理定理定理4.1.14.1.1对于非齐次非齐次方程组(4-1)向量 可由A的列向量组线性表示。第4页/共35页-5-定理定理4.1.24.1.2设的线性方程组的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)第5

2、页/共35页-6-二、齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)(原始形式原始形式)第6页/共35页-7-定理定理4.1.34.1.3对于齐次齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)一定有非零解.齐次方程组解的存在性定理第7页/共35页-8-定理定理4.1.44.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)第8页/共35页-9-例：(1)如果非齐次线性方程组 有惟一解，则 只有零解？(2)如果 只有零解，则非齐次线性方程组 有惟一解吗？第9页/共35页-10-第四章线性方程组的解的结构4.4 线

3、性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理第10页/共35页-11-4.2 齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系基础解系)如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：第11页/共35页-12-性质1：若 是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里

4、称为基础解系。首先回答问题(1)第12页/共35页-13-设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。(取任意实数)从而也是(4-3)的解。第13页/共35页-14-通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B从行最简形能得到什么？第14页/共35页-15-第二步第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写

5、成向量形式 第15页/共35页-16-是解吗?线性无关吗?任一解都 可由 表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?第四步第四步:写出基础解系第16页/共35页-17-设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理定理4.2.14.2.1推论推论2 2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意 个线性无关的解向量均可构成基础解系。第17页/共35页-18-设 ,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论重要结论推论推论3 3第18页/共35页-19-例2设 ,是 的两个不同的解向量,k 取任意实数,则 Ax=0 的通解是第19页/共35页-20-且线性无关，则_

6、是AX=O的基础解系。(2),(3)练习练习1、第20页/共35页-21-练习2、求下列线性方程组的基础解系与通解.第21页/共35页-22-例3证明设 ,首先证明利用这一结论证重要结论重要结论第22页/共35页第四章线性方程组的解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理第23页/共35页-24-4.3 非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里第24页/共35页-25-性质性质性质(1 1)设 都是(1)的解,则是(2)的解.(2 2)设 是(1)的解,是(2)的解,

7、则 仍是(1)的解.设 是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解 x是(2)的解,从而存在 使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。第25页/共35页-26-定理定理4.3.14.3.1设 是(1)的任一解,则(1)的通解为例4解第26页/共35页-27-得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解第27页/共35页-28-练习求下列线性方程组的通解.第28页/共35页-29-设是非齐次方程组 Ax=b 的解,则是 Ax=0 的解是 Ax=b 的解例5第29页/共35页-30-例6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知

8、 是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取 ,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为自学书P.144-145 例2、3、5。第30页/共35页-31-小结：作业：P142 1 P147 4第31页/共35页第四章线性方程组的解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用4.3 非齐次线性方程组解的结构4.2 齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理第32页/共35页-33-4.4 线性方程组在几何中的应用第33页/共35页-34-例7求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的 A 放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成 的列(A 的行)即可.解 得基础解系设所求的齐次方程组为 ,则取即可.解第34页/共35页-35-感谢您的观看！第35页/共35页