线性相关与回归简单线性相关与回归多重线性回归Spearman等级相关.pptx

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1、线性相关与回归线性相关与回归第1页/共62页内容：多重线性回归分析简单线性相关与回归Spearman等级相关特例第2页/共62页（一）直线回归（linear regression）1.定义：用直线方程表达X（自变量，independent variable；解释变量，explanatory variable；预测变量，predictor variable）和Y（因变量，dependent variable；响应变量，response variable；结局变量，outcome variable ）之间的数量关系。一、简单线性相关与回归第3页/共62页第4页/共62页：是Y（实测值）的预测值（p

2、redicted value），是直线上点的纵坐标。对于每一个X值，根据直线回归方程都可以计算出相应的Y预测值。（具体计算过程参见卫生统计学第4版）。第5页/共62页2.b和a的意义a：是回归直线在Y轴上的截距，即X0时Y的预测值。b：是回归直线的斜率，又称为回归系数。表示当X改变一个单位时，Y的预测值平均改变|b|个单位。3.b和a的估计最小二乘方法（the method of least squares）:各实测点到直线的纵向距离的平方和最小。第6页/共62页4.b的假设检验：b为样本回归系数，由于抽样误差，实际工作中b一般都不为0。要判断直线回归方程是否成立，需要检验总体回归系数是否为0

3、。只有当0时，才能认为直线回归方程成立（具有统计学意义）。H0：=0 H1：0方法一：t检验方法二：F检验两种方法等价，第7页/共62页5.直线回归方程的置信区间估计(1)总体回归系数的95置信区间估计(2)Y的均数的95置信区间估计当XX0时，以95的概率估计Y的均数的置信区间为(3)个体Y值的95容许区间估计当XX0时，以95的概率估计个体Y值的波动范围为第8页/共62页1.定义描述具有直线关系的两个变量之间的相互关系。（二）直线相关（linear correlation）r：相关系数，correlation coefficient用来衡量有直线关系的两个变量之间相关的密切程度和方向。-1

4、r1r0，正相关；r=1为完全正相关r 0，负相关；r=-1为完全负相关|r|越大，两变量相关越密切（前提：r有统计学意义）第9页/共62页2.相关类型正相关：0r1负相关-1r0第10页/共62页零相关 r=02.相关类型曲线相关第11页/共62页r为样本相关系数，由于抽样误差，实际工作中r一般都不为0。要判断两变量之间是否存在相关性，需要检验总体相关系数是否为0。只有当0时，才能根据|r|的大小判断相关的密切程度。3.r的假设检验H0：=0 H1：0第12页/共62页4.相关与回归的区别和联系（1）相关与回归的意义不同 相关表达两个变量之间相互关系的密切程度和方向。回归表达两个变量之间的数

5、量关系，已知X值可以预测Y值。从散点图上，散点围绕回归直线的分布越密集，则两变量相关系数越大；回归直线的斜率越大，则回归系数越大。（2）r与b的符号一致 同正同负。（3）r与b的假设检验等价第13页/共62页（4）可以用回归解释相关r2称为决定系数（coefficient of determination）,其越接近于1，回归直线拟和的效果越好。4.相关与回归的区别和联系第14页/共62页例1 为研究中年女性体重指数和收缩压的关系，随机测量了16名40岁以上的女性的体重指数和收缩压（见数据文件p237.sav）。变量说明：X:体重指数；Y:收缩压（mmHg）。1.绘制散点图散点图显示：收缩压与

6、体重指数之间有线性相关趋势，因此可以进一步做直线回归与相关第15页/共62页2.直线回归与相关分析Regression,回归 Linear,线性第16页/共62页2.直线回归与相关分析因变量自变量第17页/共62页P值相关系数r决定系数r2调整r2截距a回归系数bsb标准化回归系数t值P值F值第18页/共62页3.直线回归的预测及置信区间估计给定XX0，预测Y第19页/共62页3.直线回归的预测及置信区间估计因变量自变量统计保存（产生新变量，保存在当前数据库）第20页/共62页3.直线回归的预测及置信区间估计总体回归系数的置信区间估计第21页/共62页3.直线回归的预测及置信区间估计预测值非标

7、准化预测区间Y的均数个体Y值第22页/共62页总体回归系数的95置信区间预测值残差3.直线回归的预测及置信区间估计第23页/共62页3.直线回归的预测及置信区间估计X0Y的预测值Y的均数的置信区间的下限及上限个体Y值的容许区间的下限及上限第24页/共62页例2：由于改革开放政策，深圳特区中外来人口大幅度增加，为了考察特区中外来人口对本地经济发展的贡献，深圳特区统计局收集了所属的宝安县在1987年末18个镇的人口与工农业总产值数据（见数据文件reg.sav）。此处把工农业总产值当作因变量（W），而把外地及本地人口数当作两个自变量（Z1，Z2）。二、多重线性回归分析（有关统计方法的原理及计算参见孙

8、尚拱，医学多变量统计与统计软件，北京医科大学出版社，2000）第25页/共62页数据文件reg.sav第26页/共62页1.如何估计自变量与因变量之间的相互关系？（估计回归方程）2.哪些自变量对因变量有影响？（影响因素分析）3.哪一个自变量对因变量的影响更重要？（自变量的相对重要性分析）4.如何用自变量预测因变量？（预测分析）（一）多重回归分析的任务第27页/共62页（二）多重回归分析的适用条件1.自变量与因变量之间存在线性关系2.残差的正态性3.残差的等方差性4.剔除强影响点（突出点，outliers）5.自变量之间不应存在共线性6.独立性第28页/共62页关于独立性：所有的观测值是相互独立

9、的。如果受试对象仅被随机观测一次，那么一般都会满足独立性的假定。但是出现下列三种情况时，观测值不是相互独立的：时间序列、重复测量等情况。SPSS软件在“Linear Regression：Statistics”对话框中，提供了Durbin-Watson统计量d，以检验自相关系数是否为0。当d值接近于2，则残差之间是不相关的。第29页/共62页1.如何估计自变量与因变量之间的相互关系？（估计回归方程）其中y为实测值，为预测值（predicted value）估计模型中系数的方法：最小二乘方法（Least Square，LS），即残差平方和最小。b1，b2.bm称为偏回归系数（partial re

10、gression coefficient）：当固定其他变量时，xm每增加一个单位，y的增加值都是bm。（一）多重回归分析的任务第30页/共62页模型拟和的优良性指标R：复相关系数，反映了Y与M个自变量的总体相关系数；R2：决定系数（R Square）R2c：调整决定系数（Adjusted R square），是对决定系数的修正，是更客观的指标。这些指标越接近于1，说明回归模型拟合越好。除了上述指标，还有残差标准误s，残差标准差越小，说明回归模型拟合越好。第31页/共62页2.哪些自变量对因变量有影响？（影响因素分析）对回归模型的统计检验当P0.05,则认为此回归模型有显著性。对自变量的统计检验

11、当P0.05,则认为此自变量对因变量有影响。第32页/共62页自变量的筛选实际应用中，通常从专业知识出发，建立一个简约（parsimonious）的回归模型，即用尽可能少的自变量拟合模型。常用方法：1.前进法（Forward）：逐步增加变量到模型中（由少到多），对已经进入的变量不再剔除；SPSS中默认的选入自变量的检验水准为0.05。2.后退法（Backward）：从模型中逐步剔除变量（由多到少），对已经剔除的变量不再进入；SPSS中默认的剔除自变量的检验水准为0.10。3.逐步法（Stepwise）：结合了前进法和后退法，变量边进入边剔除。第33页/共62页3.哪一个自变量对因变量的影响更重

12、要？（自变量的相对重要性分析）当自变量的量纲相同时，衡量自变量相对重要性的指标：偏回归系数；若偏回归系数的绝对值越大，则相应自变量对因变量的影响就越大。第34页/共62页当自变量的量纲不同时，衡量自变量相对重要性的指标：标准化偏回归系数（Standardized regression coefficient）、偏相关系数（Partial Correlation）和部分相关系数（Part Correlation）。上述指标的绝对值越大，则相应自变量对因变量的影响就越大。第35页/共62页标准化偏回归系数：对自变量、因变量作标准化处理后计算的回归系数。偏相关系数：因变量与自变量均扣除其他自变量影响

13、之后，二者之间的相关系数。与简单相关系数（Pearson相关系数）不同；例如：考察因变量Y与自变量X1、X2的多元回归分析，Y与X1的偏相关系数为扣除X2影响后的Y与X1的相关性。Y与X1的简单相关系数为忽略X2影响后的Y与X1的相关性。部分相关系数：自变量扣除其他自变量影响之后，因变量与自变量之间的相关系数。与偏相关系数不同，部分相关系数中因变量未扣除其他自变量的影响。第36页/共62页4.如何用自变量预测因变量？（预测分析）当自变量取某个数值时，y的预测值为Y的均数的95置信区间个体Y值的95容许区间预测分析时，（x10，x20 xm0）应该在样本的自变量取值范围内。第37页/共62页1.

14、自变量与因变量之间存在线性关系通过绘制y与每个自变量的偏相关散点图，可以判断y与自变量之间是否存在线性关系。2.残差的正态性通过绘制标准化残差的直方图以及正态概率图（P-P图），可以判断y是否服从正态分布。此条件可以放宽，只要不是严重偏离正态即可。3.残差的等方差性通过绘制标准化残差与预测值的散点图，若标准化残差在零水平线上下波动，无明显的规律性，则可以判断y满足等方差的假定。（二）多重回归分析的适用条件第38页/共62页通过标准化残差（Standardized Residuals）、学生氏残差（Studentlized Residuals）来判断强影响点。当指标的绝对值大于3时，可以认为样本

15、存在强影响点。删除强影响点应该慎重，需要结合专业知识。以下两种情况可以考虑删除强影响点：1.强影响点是由于数据记录错误造成的；2.强影响点来自不同的总体。4.剔除强影响点（Influential cases；或称为突出点，outliers）第39页/共62页5.自变量之间不应存在共线性（Collinear）当一个（或几个）自变量可以由其他自变量线性表示时，称该自变量与其他自变量间存在共线性关系。常见于：1.一个变量是由其他变量派生出来的，如：BMI由身高和体重计算得出；2.一个变量与其他变量存在很强的相关性。当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、预测值的精度降低以及对y有影响的重

16、要自变量不能选入模型。第40页/共62页共线性诊断方法：1.TOL（容许度，Tolerance）法：TOL越接近零，共线性越大。2.VIF（方差膨胀因子，Variance Inflation Factor，VIF）法：VIF越大，共线性越大。3.特征根（Eigenvalue）法：如果自变量相关矩阵的特征根近似于零，则自变量之间存在共线性。4.CI（条件指数，Condition Index）法：CI越大，共线性越大。当自变量之间存在共线性时，可以剔除某个自变量或者采用岭回归分析（Ridge Regression Analysis）。第41页/共62页1.数据预处理：根据经济学专业知识，需要先对Z

17、1、Z2、W作对数变换，分别记为X1、X2、Y。（三）多重线性回归：实例分析变换后的数据第42页/共62页回归线性2.多重回归分析第43页/共62页因变量自变量第44页/共62页Statistics对话框回归系数的估计模型拟和共线性诊断部分相关与偏相关系数统计描述第45页/共62页Plots对话框标准化残差图直方图正态概率图，P-P图绘制所有的偏相关图 第46页/共62页Save对话框第47页/共62页分别给出Y、X1、X2的均数与标准差相关系数阵简单相关系数(Pearson相关)P值从简单相关系数可见：Y与X1、X2存在较强相关性，X1、X2存在中等相关性。3.输出结果解释第48页/共62页

18、复相关系数 决定系数调整决定系数F值P值此模型的复相关系数为0.857，调整决定系数为0.699，反映此模型拟和较好；模型经统计学检验，F=20.738，P0.05，说明此多元回归模型有显著性。第49页/共62页非标准化系数 标准化系数 t值 P值简单相关 偏相关 部分相关TolVIF经统计学检验，X1与X2均有显著性，因此回归模型为 ；根据偏回归系数的大小，可以认为X2对Y的影响比X1大。第50页/共62页特征根条件指数,CI方差比例共线性诊断共线性诊断：两个自变量之间不存在共线性。第51页/共62页因为标准化残差、学生化残差的绝对值小于3，所以从统计学上认为样本不存在强影响点。残差统计量学

19、生化残差标准化残差第52页/共62页直方图及P-P图从残差直方图及P-P图可见：残差正态性不太好，可能与样本量太小有关。第53页/共62页通过绘制y与X1的偏相关散点图，可以判断y与X1之间存在线性关系。第54页/共62页通过绘制y与X2的偏相关散点图，可以判断y与X1之间存在线性关系。第55页/共62页检查残差的等方差性：由图可见：残差满足等方差性。第56页/共62页重要提示：经典的多元线性回归：自变量和因变量均为连续变量。多元线性回归分析允许自变量为分类变量，但当自变量为多分类变量时，需要以“哑变量（dummy variables）”的方式引入模型。如：某个自变量为“文化程度”：1=文盲，

20、2=小学，3=中学，4=大学及以上。若以“大学及以上”为参照，关心文盲、小学、中学分别与大学及以上的比较，则进行回归分析时，此自变量须用3个哑变量表达：x1:1=文盲，0=其他；x2:1=小学，0=其他；x3:1=中学，0=其他。第57页/共62页三、Spearman等级相关Spearman等级相关是基于秩次的非参数相关分析。主要适用于以下情况：1.对于数值型变量，X及Y严重偏离正态分布；2.等级资料的相关分析。第58页/共62页变量说明：X：大骨节病阳性率；Y：发硒。相关两变量例3 为探讨硒与大骨节病之间的关系，分别检测了19901999年某地712岁儿童中大骨节病X线阳性率和发硒的平均水平（见数据文件P249.sav），试对其进行等级相关分析。第59页/共62页例Pearson相关系数（r）Spearman等级相关系数第60页/共62页例Pearson相关系数（r）P值Spearman相关系数P值第61页/共62页感谢您的观看！第62页/共62页